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用导数研究函数的单调性、极值与最值


第 2 讲 用导数研究函数的单调性、 极值与最值
分层 A 级 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2012· 长春名校联考)已知定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f′(x)的大致图象 如图所示,则下列叙述正确的是 ( ).

A.f(b)>f(c)>f(d) C.f(c)>f(b)>f(a) 解析

/>
B.f(b)>f(a)>f(e) D.f(c)>f(e)>f(d)

依题意得,当 x∈(-∞,c)时,f′(x)>0;当 x∈(c,e)时,f′(x)<0;

当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0.因此,函数 f(x)在(-∞,c)上是增函数,在(c, e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,又 a<b<c,所以 f(c)>f(b)>f(a),选 C. 答案 C k k 2.(2013· 济宁模拟)若函数 h(x)=2x-x+3在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的 取值范围是 A.[-2,+∞) C.(-∞,-2] 解析 B.[2,+∞) D.(-∞,2] ( ).

2 k 2x +k 由条件得 h′(x)=2+x2= x2 ≥0 在(1, +∞)上恒成立, 即 k≥-2x2

在(1,+∞)上恒成立,所以 k∈[-2,+∞). 答案 A ). 3.(2012· 青岛模拟)函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是( A.-2 C.2 解析 B.0 D.4 f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,得 x=0 或 2.

1

∴f(x)在[-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1]上是减函数. ∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2. 答案 C 4. 已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值, 则实数 a 的取值范围 是 A.(-1,2) C.(-3,6) 解析 ( B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) ).

f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因为函数有极大值和极小值,所以 f′(x)

=0 有两个不相等的实数根,所以 Δ=4a2-4×3(a+6)>0,解得 a<-3 或 a >6. 答案 B x2+a 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.若函数 f(x)= 解析

2x(x+1)-(x2+a) 由 f′(x)= =0, (x+1)2

∴x2+2x-a=0,x≠-1,又 f(x)在 x=1 处取极值, ∴x=1 是 x2+2x-a=0 的根,∴a=3. 答案 3 f′(x)=ex-2.当 x<ln 2 时,f′(x)<0; 6.已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 解析

当 x>ln 2 时,f′(x)>0.∴f(x)min=f(ln 2)=2-2ln 2+a, 则函数有零点,即 f(x)min≤0. ∴2-2ln 2+a≤0,∴a≤2ln 2-2. 答案 (-∞,2ln 2-2]

三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)(2013· 浙江五校联考)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且函 2 数 f(x)在 x=1 和 x=-3处都取得极值. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间. 解 (1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f′(x)=3x2+2ax+b.

2

2? ? ?f′? ?-3?=0, ? 由题易知,? ? ? ?f′(1)=0,

4 4 ? ? - a+b=0, 即?3 3 ? ?3+2a+b=0,

1 ? ?a=- , 2 解得? ? ?b=-2.

(2)由(1)知,f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 2? ? ∵当 x∈?-1,-3?时,f′(x)>0; ? ? ? 2 ? 当 x∈?-3,1?时,f′(x)<0; ? ? 当 x∈(1,2]时,f′(x)>0. 2? ? ∴f(x)的单调递增区间为?-1,-3?和(1,2]. ? ? 8.(13 分)(辽宁卷)已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax2+1. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)设 a<-1,如果对任意 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求实 数 a 的取值范围. 解 a+1 2ax2+a+1 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= x +2ax= . x

当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= ? 所以当 x∈?0, ? ? ? ? a+1 - 2a .

a+1? - 2a ?时,f′(x)>0,此时函数 f(x)单调递增;当 x∈ ?

? a+1 - 2a ,+∞?时,f′(x)<0,此时函数 f(x)单调递减. ?

(2)不妨设 x1≥x2,而 a<-1,由(1)知 f(x)在(0,+∞)上单调递减,从而对于 任意的 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立,它等价于对任意的 x1, x2∈(0,+∞),有 f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1. ① a+1 令 g(x)=f(x)+4x,则 g′(x)= x +2ax+4,①式等价于 g(x)在(0,+∞)上 a+1 -4x-1 单调递减,即 x +2ax+4≤0 在(0,+∞)上恒成立,从而 a≤ 2 = 2x +1 (2x-1)2 (2x-1)2 -2 在(0,+∞)上恒成立,由于 2 -2≥-2,故 a 的取值范围 2x2+1 2x +1 是(-∞,-2].
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分层 B 级

创新能力提升

1.(2013· 蚌埠质检)若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域内的一个子区间(k-1,k +1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 A.[1,+∞) C.[1,2) 解析 3? ? B.?1,2? ? ? ?3 ? D.?2,2? ? ? ( ).

1 1 因为 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x- x,由 f′(x)=0,得 x=2. 3 解得 1≤k<2.故选 B.

1 ? ?k-1< <k+1, 2 据题意得? ? ?k-1≥0, 答案 B

2.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最 大值等于 A.2 C.6 解析 ∵f′(x)=12x2-2ax-2b, Δ=4a2+96b>0,又 x=1 是极值点, ∴f′(1)=12-2a-2b=0,即 a+b=6, (a+b)2 ∴ab≤ 4 =9,当且仅当 a=b 时“=”成立,所以 ab 的最大值为 9. 答案 D x 3 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 3 ,则 a 的值为________. x +a
2

( B.3 D.9

).

3.若函数 f(x)= 解析

x2+a-2x2 a-x2 f′(x)= 2 = 2 . (x +a)2 (x +a)2

当 x> a时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当- a<x< a时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 a<1 时,则 f(x)在[1,+∞)单调递减. 则 f(x)max=f(1)= 1 3 = 3 ,a= 3-1. 1+a

当 a>1 时,则 f(x)在[1, a]单调递增, 在[a,+∞)单调递减.
4

a 3 3 所以 f(x)max=f( a)= 2a = 3 ,a=4<1,不合题意舍去,所以 a= 3-1. 答案 3-1

1 4.(2013· 深圳调研)设函数 f(x)=ln x-2ax2-bx,若 x=1 是 f(x)的极大值点,则 a 的取值范围为________. 解析 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 f′(x)=x -ax-b,由 f′(1)=0,得 b=1-a. -(ax+1)(x-1) 1 ∴f′(x)= -ax+a-1= . x x ①若 a≥0, 当 0<x<1 时,f′(x)>0,此时 f(x)单调递增; 当 x>1 时,f′(x)<0,此时 f(x)单调递减; 所以 x=1 是 f(x)的极大值点. 1 ②若 a<0,由 f′(x)=0,得 x=1 或-a. 1 因为 x=1 是 f(x)的极大值点,所以-a>1, 解得-1<a<0.综合①②得 a 的取值范围是 a>-1. 答案 (-1,+∞) 5.(重庆)已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在 x=2 处取得极值为 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[-3,3]上的最小值. 解 (1)因 f(x)=ax3+bx+c,故 f′(x)=3ax2+b,

由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ?f′(2)=0, ?12a+b=0, 故有? 即? ?f(2)=c-16, ?8a+2b+c=c-16. ?12a+b=0, ?a=1, 化简得? 解得? ?4a+b=-8, ?b=-12. (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12. 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 2,当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故 f(x)在(- ∞,-2)上为增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在(-2,2)上为减函数;
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当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,f(x)在 x=2 处取得极小 值 f(2)=c-16. 由题设条件知,16+c=28,解得 c=12, 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16=-4,因此 f(x)在[- 3,3]上的最小值为 f(2)=-4. 6.(富阳模拟)已知函数 f(x)=-x2+ax-ln x(a∈R). ?1 ? (1)当 a=3 时,求函数 f(x)在?2,2?上的最大值和最小值; ? ? ?1 ? (2)当函数 f(x)在?2,2?上单调时,求 a 的取值范围. ? ? 解 - 2x2-3x+1 1 (1)a=3 时,f′(x)=-2x+3-x =- = x (2x-1)(x-1) ?1 ? ?2,2?上仅有极大值点 x=1,故这个极大值 ,函数 f ( x ) 在区间 x ? ?

?1 ? 点也是最大值点,故函数 f(x)在?2,2?上的最大值是 f(1)=2. ? ? ?1? ?5 ? 3 又 f(2)-f?2?=(2-ln 2)-?4+ln 2?=4-2ln 2<0, ? ? ? ? ?1? 故 f(2)<f?2?, ? ? ?1 ? 故函数在?2,2?上的最小值为 f(2)=2-ln 2. ? ? 1 1 (2)f′(x)=-2x+a-x ,令 g(x)=2x+ x, 1 ?1 ? 2 ? 2? ?1? 则 g′(x)=2-x2, 则函数 g(x)在? , ?上递减, 在? ,2?上递增, 由 g?2?= ? ? ?2 2 ? ?2 ? 9? 9 ? 2? ?1 ? ? 3,g(2)=2,g? ?=2 2,故函数 g(x)在?2,2?的值域为?2 2,2?. ? ? ? ? ?2? 1 ?1 ? ?1 ? 若要 f′(x)≤0 在?2,2?上恒成立, 即 a≤2x+ x 在?2,2?恒成立, 只要 a≤2 2; ? ? ? ? 1 ?1 ? ?1 ? 若要 f′(x)≥0 在?2,2?上恒成立,即 a≥2x+x 在?2,2?上恒成立,只要 a ≥ ? ? ? ? 9 2, ?9 ? 即 a 的取值范围是(-∞,2 2 ]∪?2,+∞?. ? ?

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