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高中数学经典解题技巧和方法:(函数、基本初等函数的图象与性质)


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高中数学经典的题技巧(函数、基本初等函数的图象与性质)
【编者按】集合跟常用逻辑用语是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试的热点跟增长点,无 论是期中、期末还是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一。因此,马博士教育网数学频道编辑部特 意针对这两个部分

的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们,让同 学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了,下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻 辑用语的经典解题技巧。 首先,解答函数、基本初等函数这两个方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题, 同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题: 1.函数 (1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。 (3)了解简单的分段函数,并能简单应用。 (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。 (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质。 2.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景。 (2)理解有理指数幂的含义,了解褛指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点。 (4)知道指数函数是一类重要的函数模型。 3.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了 解对数在简化运算中的作用。 (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。 (3)知道对数函数是一类重要的函数模型。 (4)了解指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x 互为反函数( a ? 0, 且a ? 1 ) 。
x

4.幂函数 (1)了解幂函数的概念
1 1 (2)结合函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? , y ? x 2 的图象了解它们的变化情况。 x 2 3

好了,搞清楚了函数、基本初等函数的基本内容之后,下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题 第 1 页(共 5 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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技巧。 一、基本初等函 数问题

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考情聚焦:1.一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数,在每年高考 中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。 2.常与函数的性质、方程、不等式综合命题,多以选择、填空题的形式出现,属容易题。 解题技巧:1.一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是 解决此类题目的关键,同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。 2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。 例 1: (2010·全国高考卷Ⅱ文科·T4)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 (A) y= e (C) y= e
x ?1

-1(x>0) -1(x ? R)

(B) )y= e (D)y= e

x ?1

+1(x>0)

x ?1

x ?1

+1 (x ? R)

【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。 【思路点拨】运用求反函数的方法解。 【规范解答】 选 D,y=1+ln(x-1) ,ln(x-1)=y-1,x-1=e 【方法技巧】求反函数的步骤: (1)反 解 x,即用 y 表示 x. (2)把 x、y 互换, (3)写出反函数的定义域,即原函数的值域。本题注意指数式与对数式的互化。
2 例 2: (2010·天津高考文科·T6)设 a ? log5 4,b ? (log5 3) ,c ? log45 ,则(
y-1

,所以反函数为 y= e

x ?1

+1 (x ? R)



(A)a<c<b

(B) )b<c<a

(C) )a<b<c

(D) )b<a<c

【命题立意】考查利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小。 【思路点拨】根据对数的性质及对数函数 y ? log5 x 的图像,可得 0 ? log5 3 ? log5 4 ? 1,

c ? log4 5 ? 1 。
【规范解答】选 D,由对数函数 y ? log5 x 的图像,可得 0 ? log5 3 ? log5 4 ? 1,

? b ? (log5 3)2 ? log5 4 ,又 c ? log4 5 ? 1,?b ? a ? c 。
【方法技巧】比较对数函数值的大小问题,要特别注意分清底数是否相同,如果底数相同,直接利用函数 的单调性即可比较大小;如果底数不同,不仅要利用函数的单调性,还要借助中间量比较大小。 二、函数与映射概念的应用问题 考情聚焦:1.该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义域、映射个数、函数值、解析式 第 2 页(共 5 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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的确定与应用。

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2.常结合方程、不等式及函数的有关性质交汇命题,属低、中档题。 解题技巧:1.求函数定义域的类型和相应方法。 2.求 f(g(x))类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,面对于分段函数的求值问题,必须依据条件 准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性。 3.求函数的解析式,常见命题规律是:先给出一定的条件确定函数的解析式,再研究函数的有关性质; 解答的常用方法有待定系数法、定义法、换元法、解方程组法、消元法等。 4.映射个数的计算一般要分类计数。

例 3: (2010·天津高考理科·T8)若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2

范围是

(

) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞)

【命题立意】考查对数函数的图像和性质。 【思路点拨】对 a 进行讨论,通过图像分析 f(a)>f(-a)对应的实数 a 的范围。 【规范解答】 选 C, 当 a>0, 即-a<0 时, 由 f(a)>f(-a)知 log 2 a ? log 1 a , 在同一个坐标系中画出 y ? log 2 x
2

和 y ? log 1 x 函数的图像,由图像可得 a>1;当 a<0,即-a>0 时,同理可得-1<a<0,综上可得 a 的取值
2

范围是(-1,0)∪(1,+∞) 。 三、函数图象问题 考情聚焦:1.函数图象作为高中数学的一个“重头戏” ,是研究函数性质、方程、不等式的重要武器, 已成为各省市高考命题的一个热点。 2.常以几类初等函数的图象为基础,结合函数的性质综合考查,多以选择、填空题的形式出现。 解题技巧:1.基本初等函数的图象和性质,函数图象的画法以及图象的三种变换。 2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系、结合图象研究。 3.在研究一些陌生的方程和不等式时常用数形结合法求解。 例 4: (2010·山东高考理科·T11)函数 y ? 2 ? x 的图象大致是(
x 2



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【命题立意】本题考查函数的图象,函数的基础知识以及数形结合的思维能力, 考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力。 【思路点拨】利用特殊值对图象进行估计分析. 【规范解答】选 A, 因为当 x=2 或 4 时,2 ? x ? 0 ,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2 - x =
x 2
x

2

1 ? 4<0 , 4

故排除 D,所以选 A. 四、函数性质问题 考情聚焦:该考向是各省市高考命题大做文章的一个重点。常与多个知识点交汇命题,且常考常新, 既有小题,也有大题,主要从以下三个方面考查: 1.单调性(区间)问题,热点有: (1)确定函数单调性(区间) ; (2)应用函数单 调性求函数值域(最 值) 、比较大小、求参数的取值范围、解(或证明)不等式。 2.奇偶性、周期性、对称性的确定与应用。 3.最值(值域)问题,考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合。 例 5: (2010 辽宁文数) (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax ? 1.
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | . 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a ?

?

a ?1 )时, f ?( x ) >0; 2a

x∈( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0, 2a

a ?1 a ?1 )单调增加,在( ? ,+ ? )单调减 2a 2a
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少.

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(Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2, 即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则 g ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2ax +4= . x x

于是 g ?( x ) ≤

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即

f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .

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