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陕西省西工大附中2013届高三上学期第二次适应性训练数学理试题


2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练

数 学(理科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小 题,每小题 5 分,共 50 分)
2 1.已知集合 P= y y ? ? x ? 2, x ? R , Q ? y y ? ?

x ? 2, x ? R ,则 P ? Q ? (

?

?

?

A.(0,2),(1,1)

B.{1,2}

C.{(0,2),(1,1)}

? D. ? x x ? 2?

)

2.已知方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 ? a ? R ? 有实根 b ,且 z ? a ? bi ,则复数 z 等于( A. 2 ? 2i B. 2 ? 2i C. ?2 ? 2i D. ?2 ? 2i



3.若向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为( A.

?

?

?

?

?

? ?
5? 6

?

?



? 2

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

4.若一个三棱柱的底面是正三角形,其正(主)视图如图所示, 则它的体积为( ) A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 4
1 1

1

5.已知 m 和 n 是两条不同的直线, ? 和 ? 是两个不重合的平面,那么下面给 出的条件中一定能推出 m ? ? 的是( ) A. ? ? ? ,且 m B. m ∥ n ,且 n ? ? ? C. ? ? ? ,且 m ∥ ? D. m ? n ,且 n ∥ ?
6.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?
2

A.

3 2

B. 5

C.

3 5 或 2 2

y2 ? 1的离心率为( m 3 D. 或 5 2



7.右图是两组各 7 名同学体重(单位: kg )数据的 茎叶图.设 1 , 2 两组数据的平均数依次为 x1 和 x2 ,标准 差依次为 s1 和 s 2 ,那么( (注:标准差 s ? )
1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] , n 其中 x 为 x1 , x2 , ?, xn 的平均数)

A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2
2

B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

8.已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 1 的定义域为 (?2,3) , 则函数 y ? f (| x |) 的单调递增区 间是( ) A. (??, ?1) 和 (0,1) B. (?2, ?1) 和 (0,1) C. (?3, ?1) 和 (0,1) D. (?1, 0) 和 (1,3)

ì x? ? ? 9.若整数 x, y 满足 ? x + í .. ? ? ? y? ? ?
A.1 B.2

y 1 y 1 ,则 2x + y 的最大值是(
3 2



C.5

D.6.5

10.为了得到函数 y = log2 ( ) A.纵坐标缩短到原来的

x - 1 的图象,可将函数 y = log2 x 的图象上所有的点的

1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 B.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2 C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填写在答题卡相应的 位置) 11. 已知 ( x ? 1)10 ? a1 ? a2 x ? a3 x2 ? ? ? a11 x10 .且数列 a1 , a2 , a3 ,?, ak 是一个单调递增数 列,则 k 的最大值是 ;

12.在面积为 9 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则能使 ?PAB 的面积大于 率是 ;

3 的概 2

13.在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ? 2 , A ?

π ,则 B ? __ 3


__;

14.若 f ?(3) ? 2 ,则 lim
x ?1

f (3) ? f (1 ? 2 x) ? x ?1

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A(不等式选做题)若存在实数 x 使 x ? m ? x ? 1 ? 2 成立,则实数 m 的取值范围 是 ;

1 ? ?x ? t ? B(坐标系与参数方程)曲线 ? ? 3cos? 与 ? t 交点 ?y ?1 ?
的个数为: ; C.如图,直线 PC 与圆 O 相切于点 C ,割线 PAB 经过圆 O , 弦 CD ⊥ AB 于 点 E , PC ? 4 , PB ? 8 , 则 心 CE ? .

三.解答题(共 6 个小题,共 75 分) 16(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos ( x ? ) ? sin x .
2 2

π 6

(Ⅰ)求 f (

π ) 的值; 12 π 2

(Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? c ,求实数 c 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)如图,矩形 AMND 所在的平 面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直, MB ∥ NC , MN ? MB ,且 MC ? CB , BC ? 2 , MB ? 4 , DN ? 3 . (Ⅰ)求证: AB // 平面 DNC ; (Ⅱ)求二面角 D ? BC ? N 的余弦值.

18. (本小题满分 12 分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中, 3 甲答对其中每道题的概率都是 ,乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备 5 选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答对一题加 10 分,答错一题(不答视为 答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

19.本小题满分 12 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 3 = a4 + 6 , ( S 且 a1 , a4 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和公式. Sn

y

A

M

C x

O

F

20. (本小题满分 13 分)已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,
2

B

过点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点.

(Ⅰ)若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ) 设点 M 在线段 AB 上运动, 原点 O 关于点 M 的对称点为 C , 求四边形 OACB 面 积的最小值.

??? ?

??? ?

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 a 为常数,e 为自然对数的底 数. (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 ? 0, e? 上的最大值为 ?3 ,求 a 的值; (Ⅲ)当 a ? ?1 时,判断方程 | f ( x) |? 有实根请给出根的个数.

ln x 1 ? 是否有实根?若无实根请说明理由,若 x 2

2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练

数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题: 题 号 答 案 二、填空题: 11.6; 12. 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 D 7 D 8 C 9 C 10 A

2 ; 3
B.1;

13.45°;

14.―4.

15.A [?3,1] ;

C.

12 . 5

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ) f ( :

π π π π 3 ) ? cos2 (? ) ? sin 2 ? cos ? .……………………(5 分) 12 12 12 6 2 1 π 1 (Ⅱ) f ( x) ? [1 ? cos(2 x ? )] ? (1 ? cos 2 x) 2 3 2 1 π 1 3 3 ? [cos(2 x ? ) ? cos 2 x] ? ( sin 2 x ? cos 2 x) 2 3 2 2 2 3 π ? sin(2 x ? ) .……………………………………………………(9 分) 2 3 π π π 4π π π π ] , ∴当 2 x ? ? ,即 x ? 时, ∵ x ? [0, ] ,∴ 2 x ? ? [ , 2 3 3 3 3 2 12 π 3 3 f ( x) 取得最大值 ? c. .∴ ?x ? [0, ] , f ( x) ? c 等价于 2 2 2

故当 ?x ? [0, ] , f ( x) ? c 时, c 的取值范围是 [ 17. (本小题满分 12 分) 【解】 : (Ⅰ) 证明: 因为 MB // NC ,MB

π 2

3 , ??) .…………………(12 分) 2

? 平面 DNC ,NC ? 平面 DNC , 所以 MB //

平面 DNC . 因为 AMND 为矩形,所以 MA // DN . 又 MA ? 平面 DNC , DN ? 平面 DNC , 所以 MA //平面 DNC . 又 MA ? MB ? M ,且 MA , MB ? 平面 AMB , 所以平面 AMB //平面 DNC .又 AB ? 平面 AMB , 所以 AB // 平面 DNC . ………………………………(5 分) (Ⅱ) 解: 由已知平面 AMND ? 平面 MBCN ,且平面 AMND ? 平 面 MBCN ? MN , DN ? MN , 所以 DN ? 平面 MBCN ,又 MN ? NC ,故以点 N 为坐标原 点,建立空间直角坐标系 N ? xyz . 由已知得 MC ? 2 3, ?MCN ? 30? ,易得 MN ? 3 , NC ? 3 . 则 D(0,0,3) , C (0,3, 0) , B( 3, 4,0) .

z D A

N M x

C y B

???? ?n1 ? DC ? 0, ? 设平面 DBC 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? n1 ? CB ? 0. ?
即?

???? ??? ? DC ? (0,3, ?3) , CB ? ( 3,1,0) .

? 3 y ? 3 z ? 0, ? 令 x ? ?1 ,则 y ? 3 , z ? 3 . n1 ? (?1, 3, 3) . ? 3 x ? y ? 0. ?

又 n2 ? (0, 0,1) 是平面 NBC 的一个法向量, 所以 cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 3 21 . ? ? n1 n2 7 7
21 .……………………………………(12 分) 7

故所求二面角 D ? BC ? N 的余弦值为

18. (本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ)设乙答题所得分数为 X ,则 X 的可能取值为 ?15, 0,15,30 . :

P( X ? ?15) ? P( X ? 15) ?
X
P

C3 1 5 ? ; 3 C10 12
2 C1 C5 5 5 ? ; 3 C10 12

P( X ? 0) ?

2 C5 C1 5 5 ? ; 3 C10 12

P( X ? 30) ?
0

C3 1 5 ? . 3 C10 12
15 30

乙得分的分布列如下:

?15

1 12

5 12

5 12

1 12

……………… (6 分)

1 5 5 1 15 ? (?15) ? ? 0 ? ? 15 ? ? 30 ? . 12 12 12 12 2 (Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,记甲入选为事件 A ,乙入选 为事件 B . 2 3 81 2 3 则 P( A) ? C3 ( ) 2 ( ) ? ( )3 ? , 5 5 5 125 5 1 1 P( B) ? ? ? . 12 12 2 故甲乙两人至少有一人入选的概率 44 1 103 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? ? ? .……………………………………………… 125 2 125 EX ?
(12 分) 19.(本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ)设等差数列 {an }的公差为 d ? 0 . : 因为 S3 = a4 + 6 ,

3创2 d = a1 + 3d + 6 . 2 因为 a1 , a4 , a13 成等比数列,
所以 3a1 + 所以 a1 (a1 + 12d ) = (a1 + 3d )2 . 由①,②可得: a1 = 3, d = 2 .





所以 an = 2n + 1 .…………………………………………………………(6 分) (Ⅱ)由 an = 2n + 1 可知: S n =

(3 + 2n + 1) n = n 2 + 2n 2 1 1 1 1 1 所以 = = ( ) Sn n(n + 2) 2 n n + 2 1 1 1 1 1 所以 + + + ?+ + S1 S2 S3 Sn- 1 Sn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( - + - + - + ?+ + ) 2 1 3 2 4 3 5 n- 1 n + 1 n n + 2 1 1 1 1 1 3n2 + 5n . = ( + )= 2 1 2 n+ 1 n+ 2 4(n + 1)(n + 2)
……………………(12 分)

3n2 + 5n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 . Sn 4(n + 1)(n + 2)

20.(本小题满分 13 分) 【解】(Ⅰ)依题意 F (1, 0) ,设直线 AB 方程为 x ? my ? 1 . : 将 直 线 AB 的 方 程 与 抛 物 线 的 方 程 联 立 , 消 去 x 得
y A

y 2 ? 4my ? 4 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 所以 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 . ① ??? ? ??? ? 因为 AF ? 2 FB ,

M

C x

O

F

B

所以 y1 ? ?2 y2 .



联立①和②,消去 y1 , y2 ,得 m ? ?

2 . 4

所以直线 AB 的斜率是 ?2 2 .………………………………………………………(6 分) (Ⅱ) 解: 由点 C 与原点 O 关于点 M 对称, M 是线段 OC 的中点, 得 从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等, 所以四边形 OACB 的面积等于 2S? AOB . 因为 2 S ? AOB ? 2 ? ? | OF | ? | y1 ? y2 | ? 分) 21. (本小题满分 14 分)

所以 m ? 0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4 ,………………………(13

1 2

( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 4 1 ? m 2 ,

1 1? x ? x x 当 0<x<1 时, f ?( x ) >0;当 x>1 时。 f ?( x ) <0,∴ x ? 1 是 f ( x) 在定义域 (0, ??) 上唯一的极(大)值点,则 f ( x)max ? f (1) ? ?1 …………………………………
【解】(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? x ? ln x , f ?( x) ? ?1 ? :

(4 分)
(Ⅱ)∴ f ?( x ) ? a ? ①当 a??

1 ?1 1 ? , x ? ? 0, e? , ? ? , ?? ? x x ?e ?

1 时 , f ?( x ) ≥ 0 , 从 而 f ( x ) 在 ? 0, e? 上 单 调 递 增 , ∴ e f ( x)max ? f (e) ? ae ? 1 ? 0 舍; 1 ② 当 a?? 时 , f ( x ) 在 (0, ? 1 ) 上 递 增 , 在 (? 1 , e) 上 递 减 , a a e 1 , 令 f ( x)max ? f (? 1 ) ? ?1 ? ln(? 1 ) ?1 ?l n ? , ? 得) ? ( a a a

3

a ? ?e2 ………………………………(10 分) (Ⅲ)由(Ⅰ)知当 a ? ?1 时, f ( x)max ? f (1) ? ?1,∴| f ( x) |≥1, ln x 1 1 ? ln x ? , ?( x) ? ? 又令 ? ( x) ? , ( x) ? ? (e) ? 1 ? 1 ? 1 , ∴方程无解. …… ? e 2 x 2 x2
(14 分)


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