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数列总结复习与题型分类讲义(学生版)

时间:2013-05-08


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数列总结复习与题型分类
一、 考点回顾 1.数列的概念,数列的通项公式与递推关系式,等差数列和等比数列的概念、有关 公式和性质。 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法: ① an ? a1 ?

(n ?1)d ? ak ? (n ? k )d ,则 ?an ? 为等差数列; 若 ② 若 ,则 ?an ? 为等比数列;

③ 中项公式法:验证 都成立。 3.在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 a1 ? 0 ,d<0 时,满足 (2)当 a1 ? 0 ,d>0 时,满足 的项数 m 使得 Sm 取最大值. 的项数 m 使得 Sm 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 4.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、 累加累积法、归纳猜想证明法等。 5.数列的综合应用: ⑴ 函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。 ⑵ 数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。 6.注意事项: a a ⑴ 证明数列 ?an ? 是等差或等比数列常用定义, 即通过证明 an?1 ? an ? an ? an?1 或 n?1 ? n an a n?1 而得。 ⑵ 在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运 用性质,可使运算简便。 ⑶ 对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷ 注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸ 注意 s n 与 an 之间关系的转化。如:

s n ? s n ?1 , n ? 2 7.知识网络

an =

s1 ,

n ?1

, an = a1 ? ? (ak ? ak ?1 ) .
k ?2

n

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? ?数列的分类 ? 数列 ? ?的概念 ?数列的通项公式 ? 函数角度理解 ?数列的递推关系 ? ? ? ? ? ?等差数列的定义an ? an ?1 ? d (n ? 2) ? ? ? ? ? ?等差数列的通项公式an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?等差数列 ? n n(n ? 1) ? ? ? ?等差数列的求和公式S n ? 2 (a1 ? an ) ? na1 ? 2 d ? ? ? ? ? ?等差数列的性质an ? am ? a p ? aq (m ? n ? p ? q ) ? ? ? ?两个基 ? an ? ? ? ?等比数列的定义 an ?1 ? q ( n ? 2) 本数列 ? ? ? n ?1 ? ? ?等比数列的通项公式an ? a1q ? ? ? ? a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? ?等比数列 ? 数列 ? ? ?等比数列的求和公式Sn ? ? 1 ? q ? 1 ? q ( q ? 1) ? ? ? ? ?na ( q ? 1) ? ? 1 ? ? ? ? ?等比数列的性质a a ? a a (m ? n ? p ? q ) n m p q ? ? ? ? ?公式法 ? ?分组求和 ? ? ? ?错位相减求和 ? 数列 ? ? 裂项求和 ?求和 ? ?倒序相加求和 ? ? ? ?累加累积 ? ?归纳猜想证明 ? ? ? ?分期付款 ? ?数列的应用 ?其他 ? ?
二、 经典例题剖析

1、定义在 (??, 0) ? (0, ?? ) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } , { f (an )} 仍是等 比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ? x 2 ; ② f ( x) ? 2 x ; ③ f ( x) ? | x | ; ) D.② ④ ) ④ f ( x) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为( A.①② B.③ ④ C.① ③

1 a ?a 2、已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? ( 2 a7 ? a8

A. 1 ? 2

B. 1 ? 2

C. 3 ? 2 2

D3? 2 2
2

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变式训练: 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差 数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第五节的容积为 升 3、设 x ? R, 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列
5 ?1 5 ?1 5 ?1 },[ ], ( 2 2 2



B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正 方形数的是( A.289 ) B.1024 C.1225 D.1378

5、已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ )求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和. 6、 成等差数列的三个正数的和等于 15, 并且这三个数分别加上 2、 13 后成为等比数列 ? b n ? 5、 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 。 (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式;
5? ? (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 ? S n ? ? 是等比数列。 4? ?

7、已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m2) ,其中有部分旧住房需要拆除。 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房,同事也拆除面积为 b(单位: m2)的旧住房。 (Ⅰ )分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式: (Ⅱ )如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%,则每年拆 除的旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.15=1.6)
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8、已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55, (Ⅰ )求数列{an}的通项公式: (Ⅱ )若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== 前 n 项和 Sn

a2+a7=16.

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数列{bn}的 2 2 2 2n

2 9、已知数列{an}和{bn}满足:a1= ? ,an+1= a n ? n ? 4 ,bn=(-1)n(an-3n+21),其中 ? 为实数, 3 n 为正整数。 (I)证明:对任意实数 ? ,数列{an}不是等比数列;

(II)证明:当 ? ? ?18时,数列{bn }是等比数列;

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