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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第2课时 一元二次不等式的解法


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第七章 不等式及推理与证明

第七章

不等式及推理与证明

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第2课时 一元二次不等式的解法

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1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次 函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式, 会设计求解的程序框图.

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请注意!
一元二次不等式是高中数学的基本内容,是高考热 点,命题形式多在选择题、填空题考查基本解法,在解答 题中作为一个数学工具来解决一些问题.

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二次函数的图像、一元二次方程的根与一元二次不等 式的解集之间的关系 判别式 二次函数 y=ax2 + bx + c(a>0) 的 图像 Δ>0 Δ=0 Δ<0

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判别式 一元二次方程
2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相异实根 有 两 相 等 b __________ 没有实数根 ax + bx + c = x1,x2(x1<x2) - —————— 实根 2a 0(a>0)的根

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判别式 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 ax2+bx+ c<0(a>0)的解集

Δ>0
(-∞,x1)∪ ____________

Δ=0 b {x|x≠- } 2a
? ____

Δ<0 R

(x2,+∞) ___________
{x|x1<x<x2} __________

? ____

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1.不等式 x(1-2x)>0 的解集是( 1 A.(-∞, ) 2 1 C.(-∞,0)∪( ,+∞) 2
答案 B

)

1 B.(0, ) 2 1 D.( ,+∞) 2

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x+1 2.(2011· 上海)不等式 ≤3 的解为________. x
1 答案 x<0 或 x≥2

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3.已知不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|-1<x<2}, 则不等式 2x2+bx+a<0 的解集为( 1 A.{x|-1<x< } 2 C.{x|-2<x<1}
答案 A

)

1 B.{x|x<-1 或 x> } 2 D.{x|x<-2 或 x>1}

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解析 由题意知 x=-1, x=2 是方程 ax2+bx+2=0 的根. b ? ?-1+2=-a 由韦达定理? ??-1?×2=2 a ?
?a=-1 ? ?? ?b=1, ?

∴不等式 2x2+bx+a<0,即 2x2+x-1<0. 1 可知 x=-1,x= 2是对应方程的根,∴选 A.

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4.已知(ax-1)(x-1)≥0 的解集为 R,则实数 a 的值 为________.
答案 1

解析 原不等式为 ax2-(a+1)x+1≥0,
?a>0 ? ∴? 2 ?Δ=?a+1? -4a≤0 ?

?a=1.

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1 5.若不等式 x +ax+1≥0 对 x∈(0, ]恒成立,求 a 2
2

的最小值.

5 答案 - 2

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解析

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①Δ=a2-4<0 即-2≤a≤2 成立.

a ②a<-2 时,- >1, 2 12 1 只须( ) +a·+1≥0, 2 2 5 即 a≥- . 2 a ③a>2 时,- <-1 恒成立. 2 5 综上所述,a≥- . 2
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另解

1 1 由 x +ax+1≥0 得 a≥-x- ,x∈(0, ] 2 x
2

1 1 1 令 f(x)=-x- (x∈(0,2])=-(x+ ) x x 1 1 5 5 当 x= 时,f( )=- ,∴f(x)max=- . 2 2 2 2 5 要使原命题成立,则 a≥- 2 5 即 a 的最小值为- . 2

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题型一

一元二次不等式的解法

例 1 解关于 x 的不等式. (1)-2x2+4x-3>0; (2)12x2-ax>a2(a∈R); a?x-1? (3) >1(a>0). x-2

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【解析】 (1)原不等式可化为 2x2-4x+3<0. 又判别式 Δ=42-4×2×3<0 ∴原不等式的解集为 ?. a (2)由 12x -ax-a >0?(4x+a)(3x-a)>0?(x+ 4)(x
2 2

a -3)>0, a a a a ①a>0 时,- < ,解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 4 3

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②a=0 时,x2>0,解集为{x∈R 且 x≠0}; a a a a ③a<0 时,- > ,解集为{x|x< 或 x>- }. 4 3 3 4 a?x-1? ?a-1?x+2-a (3) -1>0? >0?[(a-1)x+2- x-2 x-2 a](x-2)>0. ①当 a=1 时,不等式的解为 x>2. a-2 ②当 a≠1 时,关键是比较 与 2 的大小. a-1
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a-2 -a ∵ -2= ,又 a>0, a-1 a-1 a-2 ∴当 a<1 时, >2, a-1 a-2 不等式的解为 2<x< ; a-1 a-2 当 a>1 时, <2, a-1 a-2 不等式的解为 x< 或 x>2. a-1
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综 上 所 述 , 当 0<a<1 时 , 原 不 等 式 的 解 集 为 a-2 {x|2<x< };当 a=1,原不等式的解集为{x|x>2}; a-1 a-2 当 a>1 时,原不等式的解集为{x|x< 或 x>2}. a-1

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探究 1

①解决二次问题的关键一是充分利用数形

结合,二是熟练进行因式分解. ②通过解题程序,适时合理对参数进行分类讨论. ③应善于把分式不等式转化为整式不等式.

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思考题 1 (1)(2011· 江西理)若 f(x)=x2-2x-4lnx, 则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) C.(2,+∞) ) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0)

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4 2?x-2??x+1? 【解析】 令 f′(x)=2x-2- = >0, x x 利用数轴标根法可解得-1<x<0 或 x>2, x>0, 又 所以 x>2. 故选 C.
【答案】 C

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(2)已知 a=(1,x),b=(x2+x,-x),m 为实数,求 使 m(a· 2-(m+1)a· b) b+1<0 成立的 x 的取值范围. 【解析】 a· 2+x-x2=x, b=x

∴m(a· 2-(m+1)a· b) b+1<0?mx2-(m+1)x+1<0. 1)当 m=0 时,x>1.

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1 2)当 m≠0 时,m(x- )(x-1)<0. m 1 ①m<0 时,x>1 或 x< ; m 1 ②0<m<1 时,1<x< ; m ③m=1 时,x∈?; 1 ④m>1 时, <x<1. m

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题型二

不等式恒成立问题

例 2 函数 f(x)=x2+ax+3. (1)当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围. (2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围. (3)当 a∈[4,6]时,f(x)≥0 恒成立,求 x 的范围.

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【解析】

(1)∵x∈R 时,有 x2+ax+3-a≥0 恒成

立,须 Δ=a2-4(3-a)≤0,即 a2+4a-12≤0,所以- 6≤a≤2. (2)当 x∈[-2,2]时,设 g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如 下三种情况讨论(如下图所示):

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①如图(1), g(x)的图像恒在 x 轴上方时, 当 满足条件 时,有 Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2. ②如图(2),g(x)的图像与 x 轴有交点, 但在 x∈(-∞,-2]时,g(x)≥0, ?Δ≥0 ? ? a 即?x=- <-2, 2 ? ?g?-2?≥0 ?

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?a2-4?3-a?≥0 ? ? a 即?- <-2 ? 2 ?4-2a+3-a≥0 ? 解之得 x∈?.

?a≥2或a≤-6 ? ?a>4 ?? 7 ? ?a≤3 ?

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③如图(3),g(x)的图像与 x 轴有交点, 但在 x∈[2,+∞)时,g(x)≥0, ?Δ≥0 ? ? a ?x=- >2, 即 2 ? ?g?2?≥0 ? ∴-7≤a≤-6 综合得-7≤a≤2. ?a2-4?3-a?≥0 ? ? a 即?- >2 ? 2 ?7+a≥0 ? ?a≥2或a≤-6 ? ??a<-4 ?a≥-7 ?

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(3)令 h(a)=xa+x2+3, 当 a∈[4,6]时,h(a)≥0 恒成立.
?h?4?≥0 ? 只须? ?h?6?≥0, ? ?x2+4x+3≥0 ? 即? 2 ?x +6x+3≥0, ?

解之得 x≤-3- 6或 x≥-3+ 6.

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探究 2 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量, 谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的 范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题常见有两种类型,一 是在全集 R 上恒成立,二是在某给定区间上恒成立.

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对第一种情况恒大于 0 就是相应的二次函数的图像 在给定的区间上全部在 x 轴上方, 恒小于 0 就是相应的二 次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴下方. 对第二种情况,要充分结合函数图像进行分类讨论.

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思考题 2 已知关于 x 的不等式 2x-1>m(x2-1). (1)是否存在实数 m, 使不等式对任意 x∈R 恒成立? 并说明理由; (2)若对于 m∈[-2,2]不等式恒成立, 求实数 x 的取值 范围.

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【解析】 (1)原不等式等价于: 2-2x+(1-m)<0, mx 若对于任意实数 x 恒成立, 当且仅当 m<0 且 Δ=4-4m(1-m)<0, 不等式解集为 ?, 所以不存在实数 m,使不等式恒成立.

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(2)设 f(m)=(x2-1)m-(2x-1), 当 m∈[-2,2]时,f(m)<0 恒成立. 而 f(m)在 m∈[-2,2]时表示线段,当且仅当
?f?2?<0 ? ? ?f?-2?<0 ? ?2x2-2x-1<0 ? ?? ? -2x2-2x+3<0 ?

① ②

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1- 3 1+ 3 由①得 2 <x< 2 , -1- 7 -1+ 7 由② 得 x< 或 x> , 2 2 -1+ 7 1+ 3 取交集得 <x< 2 . 2 所以 x 的取值范围是 -1+ 7 1+ 3 {x| <x< 2 }. 2

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题型三

三个二次的关系

1 1 例 3 已知 x +px+q<0 的解集为{x|-2<x<3},求不等式
2

qx2+px+1>0 的解集.

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1 1 【解析】 ∵x +px+q<0 的解集为{x|- <x< }, 2 3
2

1 1 ∴-2,3是方程 x2+px+q=0 的两实数根,由根与 ?1 1 ?3-2=-p 系数的关系得? ? 1 1? ? ×?- ?=q ?3 ? 2? 1 ? ?p=6 ∴? ?q=-1 6 ?



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1 2 1 ∴不等式 qx +px+1>0,可化为- x + x+1>0, 6 6
2

即 x2-x-6<0,∴-2<x<3, ∴不等式 qx2+px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}.
【答案】 {x|-2<x<3}

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例 4 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等 式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解 析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围.

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【解析】 (1)由题意,知 f(x)+2x>0 的解集为(1,3) 且二次项系数为 a,则 f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0. 因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由方程 f(x)+6a=0,得 ax2-(2+4a)x+9a=0.② 因为方程②有两个相等的根,

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所以 Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0, 1 即 5a -4a-1=0.解得 a=1 或 a=- . 5
2

由于 a<0,故舍去 a=1. 1 1 2 6 将 a=- 代入①, f(x)的解析式为 f(x)=- x - x 得 5 5 5 3 - . 5

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1+2a 2 (2) 由 f(x) =ax -2(1+2a)x+3a=a(x - ) - a
2

a2+4a+1 a2+4a+1 及 a<0,可得 f(x)的最大值为- .由 a a ? a2+4a+1 ?- >0, a ? ?a<0, ? 解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0.

∴实数 a 的取值范围是(-∞, -2- 3)∪(-2+ 3, 0).

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1 2 6 3 【答案】 (1)f(x)=-5x -5x-5 (2)(-∞,-2- 3)∪(-2+ 3,0)

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探究 3

三个二次的关系体现了数形结合, 以及函数

与方程的思想方法,应用极广,是高考的热点之一. 思考题 3 或 x>b}, (1)求 a,b; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1

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【解析】

(1)因为不等式 ax2 -3x+6>4 的解集为

{x|x<1 或 x>b},所以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax2-3x+2= 0 的 两 个 实 数 根 , 且 b>1. 由 根 与 系 数 的 关 系 , 得 3 ? ?1+b=a, ? 2 ?1×b= . a ?
?a=1, ? 解得? ?b=2. ?

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(2)原不等式化为: x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. ①当 c>2 时,不等式的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式的解集为?.

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【答案】

?a=1 ? (1)? ?b=2 ?

(2)①当 c>2 时,不等式的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式的解集为?.

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①一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三者密 切相关,因而在一元二次不等式求解时要注意利用相应二 次函数的图像及相应二次方程的根迅速求出解集,掌握 “数形结合”思想. ②在解形如 ax2+bx+c>0 的不等式时,若没有说明 二次项系数取值时,别忘了对系数为零的讨论.

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③分式不等式要注意分母不为零. ④掌握分类讨论思想在解不等式中的运用, 尤其注意 分类的标准是不重不漏.

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