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上海市十二校2015届高三12月联考数学(文)试题 Word版含答案


上海市十二校 2015 届高三 12 月联考数学(文)试题
学校:上海市朱家角中学 学校:三林中学 南汇一中 2014 年 12 月 一、填空题 (本大题满分 56 分,每题 4 分) 1 1.设集合 A ? {x | ? ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ,则 A B ? _______. 2
2. 已知 ?an ? 为等差数列, a1 +

a3 + a5 =9, a2 ? a4 ? a6 =15,则 a3 ? a4 ? .

3 a 5 ?4 1 3.在行列式 0 ?1 1 3
4.如果函数 y ?   ?

中,元素 a 的代数余子式值为



?2x ? 3   (x ? 0) (x ? 0) ?f (x )  

是奇函数,则 f (?2) ?



5 . 设 f ( x) 的 反 函 数 为 f ?1 ( x) , 若 函 数 f ( x) 的 图 像 过 点 (1 , 2) , 且 f ?1 (2 x ? 1) ? 1 , 则 . x? 6.一个正三棱柱的底面的边长为 6,侧棱长为 4,则这个棱柱的表面积为___________. 7. 方程 cos2x+sinx=1 在 (0, ? ) 上的解集是_______________. 8. 已 知 数 列

{an }





f (n) ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a 2 n ? 2 ? a 2 n ?1 , n ? N ? ,则 f ?4 ? ? f ?3? 的值为
9.函数 f ? x ? ?

?

?

?2n ? 1 n为偶数 an ? ? n n为奇数 ? 2

, . . .



?? ? 2π ? 3 cos? ? 2 x ? ? 2 cos 2 x 在区间 ? 0, ? 上的取值范围是 ? ?2 ? ? 3 ?

10.已知 a ? b ? 2 , a 与 b 的夹角为

? ,则 a ? b 在 a 上的投影为 3

?1,    n ? 1 ? (n ? N ? ) ,前 n 项和为 S n , 11. 数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? ? 1 , n ? 2 ? n(n ? 1) ?
则 lim S n =
n ??

.

12. 在锐角 ?ABC 中,角 B 所对的边长 b ? 10 , ?ABC 的面积为 10,外接圆半径 R ? 13 , 则 ?ABC 的周长为 . 13.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin(? x ? 最大值 .

?

)(? ? 0) ,若 g ( x) ? f (3x) 在 (0, ) 上是增函数,则 ? 的 3 3

?

-1-

14. 记数列 {an } 是首项 a1 ? a ,公差为 2 的等差数列;数列 {bn } 满足 2bn ? (n ? 1) an ,若对 任意 n ? N * 都有 bn ? b5 成立,则实数 a 的取值范围为 .

二、选择题(本大题满分 20 分,每题 5 分) x ?1 15. 设 p, q 是两个命题, p : ? 0, q :| 2 x ? 1 |? 1, 则p是q ( x



A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16. 某 流 程 图 如 图 所 示 , 现 输 入 如 下 四 个 函 数 , 则 可 以 输 出 的 函 数 是 (



A. f ( x ) ? x

2

B. f ( x) ?

x x
x

e x ? e?x C. f ( x ) ? x e ? e ?x

D. f ( x) ?

17.已知函数 f ( x) ? sin ?x 的图象的一部分如下方左图,则下方右图的函数图象所对应的函数 解析式为( )

A. y ? f ( 2 x ? )

1 2

B. y ? f (2 x ? 1)

-2-

C. y ? f (

x ? 1) 2

D. y ? f (
1

x 1 ? ) 2 2


18. 关于函数 f ( x) ? (2 x ?

1 ) ? x 3 和实数 m、n 的下列结论中正确的是( x 2
B.若 m ? n ? 0 ,则 f (m) ? f (n) D.若 f (m) ? f (n) ,则 m 3 ? n 3

A.若 ? 3 ? m ? n ,则 f (m) ? f (n) C.若 f (m) ? f (n) ,则 m 2 ? n 2

三、简答题 (本大题满分 74 分)
19. (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 6 分. 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, SA ? 平面 ABCD, AB=3,SA=4 (1)求异面直线 SC 与 AD 所成角; (2)求点 B 到平面 SCD 的距离

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 7 分, 第二小题满分 7 分) . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 向 量 m ? (cos

3A 3A , sin ) , 2 2

n ? (cos

A A , sin ) 且 m ? n ? 3 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C ?

3 sin A ,求证 ?ABC 是直角三角形。

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分) . 某民营企业年初用 108 万元购买一条先进的生产流水线,第一年各种费用支出 12 万元,以后 每年支出都比上一年支出增加 6 万元,若每年年收入为 63 万元。 (1)问第几年开始总收入超过总支出? (2)若干年后,有两种处理方案: 方案一:总盈利最大时,以 3 万元出售该套流水线; (盈利=收入—支出) 方案二:年平均盈利最大时,以 30 万元出售该套流水线。问那种方案合算?

-3-

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分. 已知函数 f ( x) ?

? 3x ? a 3 x ?1 ? b
x

(1)当 a ? b ? 1 时,求满足 f ( x) ? 3 的 x 的 取值范围; (2)若 y ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,求 y ? f ( x) 的解析式, (3)若 y ? f ( x) 的定义域为 R,判断其在 R 上的单调性并加以证明。

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 ?a n ? ,如果数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn ? a n ? a n ?1 (n ? 2, n ? N ? ) ,则称数列 ?bn ? 是 数列 ?a n ? 的“生成数列” 。 (1)若数列 ?a n ? 的通项为数列 a n ? n ,写出数列 ?a n ? 的“生成数列” ?bn ? 的通项公式 (2)若数列 ?d n ?的通项为数列 d n ? 2 n ? n ,求数列 ?d n ?的“生成数列” ?p n ?的前 n 项和为

Tn 。

?l n ? (3) 若数列 ?c n ? 的通项公式为 c n ? An ? B , (A,B 是常数) , 试问数列 ?c n ? 的 “生成数列”
是否是等差数列,请说明理由。

-4-

-5-

2014 学年第一学期十二校联考高三数学(文)考试试卷
学校:上海市朱家角中学 学校:三林中学 南汇一中 2014 年 12 月

7. 方程 cos2x+sinx=1 在 (0, ? ) 上的解集是__ ?

?? 5? ? , ? _____________. ?6 6 ?


8.









{an }



f (n) ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a 2 n ? 2 ? a 2 n ?1 , n ? N ? ,则 f ?4 ? ? f ?3? 的值为 139
9 . 函 数 f ?x ? ?

?

?

?2n ? 1 n为偶数 an ? ? n n为奇数 ? 2



且 .

?? ? 2π ? 3 cos? ? 2 x ? ? 2 cos 2 x 在 区 间 ? 0, ? 上 的 取 值 范 围 是 ? 2 ? ? ? 3 ?
.

?? 5? ? ? , ? ?6 6 ?

10.已知 a ? b ? 2 , a 与 b 的夹角为

? ,则 a ? b 在 a 上的投影为 3

3

.

?1,    n ? 1 ? (n ? N ? ) ,前 n 项和为 S n , 11. 数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? ? 1 ? n(n ? 1) , n ? 2 ?
则 lim S n =
n ??

3 2

.

12. 在锐角 ?ABC 中,角 B 所对的边长 b ? 10 , ?ABC 的面积为 10,外接圆半径 R ? 13 ,

-6-

则 ?ABC 的周长为 10 ? 10 3 13.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin(? x ? 最大值

.

?

)(? ? 0) ,若 g ( x) ? f (3x) 在 (0, ) 上是增函数,则 ? 的 3 3

?

1 6



14. 记数列 {an } 是首项 a1 ? a ,公差为 2 的等差数列;数列 {bn } 满足 2bn ? (n ? 1) an ,若对 任 意 n ? N * 都 有 bn ? b5 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为

?? 22,?18?

.

二、选择题(本大题满分 20 分,每题 5 分) x ?1 15. 设 p, q 是两个命题, p : ? 0, q :| 2 x ? 1 |? 1, 则p是q ( B ) x
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16. 某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是 ( C ) A. f ( x ) ? x
2

B. f ( x) ?

x x
x

C. f ( x ) ?

e x ? e?x e x ? e ?x

D. f ( x) ?

17.已知函数 f ( x) ? sin ?x 的图象的一部分如下方左图,则下方右图的函数图象所对应的函数 解析式为( B )

A. y ? f ( 2 x ? ) C. y ? f (

1 2

B. y ? f (2 x ? 1) D. y ? f (
1

x ? 1) 2
x

x 1 ? ) 2 2

1 18. 关于函数 f ( x) ? (2 ? x ) ? x 3 和实数 m、n 的下列结论中正确的是( C ) 2

-7-

A.若 ? 3 ? m ? n ,则 f (m) ? f (n) C.若 f (m) ? f (n) ,则 m 2 ? n 2

B.若 m ? n ? 0 ,则 f (m) ? f (n) D.若 f (m) ? f (n) ,则 m 3 ? n 3

三、简答题 (本大题满分 74 分)
19. (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 6 分. 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, SA ? 平面 ABCD,AB=3,SA=4 (1)求异面直线 SC 与 AD 所成角; (2)求点 B 到平面 SCD 的距离 (1)? BC // AD ? ?SCB 就是异面直线 SC 与 AD 所成的角(2 分) ? SA ? BC 又 BC ? AB

? BC ? 平面SAB

? BC ? SB (3 分) 在 Rt?SAB 中, SB ? 5
? 在 Rt?SBC 中, ?SCB ? ? ?SCB ? arctan

5 3

5 3

(5 分)

? 异面直线 SC 与 AD 所成的角 arctan

5 3

(6 分)

(2)连结 BD,设是 B 到平面 BCD 的距离为 h

?Vs ? BCD ? VB ? SCD

(8 分)

1 1 ? ? S ?BCD ? SA ? ? S ?SCD ? h 3 3 9 15 ? ?4 ? ?h 2 2 12 (11 分) ?h ? 5 12 (12 分) ? 点 B 到平面 BCD 的距离为 5
20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分) . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 向 量 m ? (cos

3A 3A , sin ) , 2 2

n ? (cos

A A , sin ) 且 m ? n ? 3 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C ?

3 sin A ,求证 ?ABC 是直角三角形。

-8-

解(1) m ? 1, n ? 1

(1 分)

m ? n ? cos

3A A 3A A cos ? sin sin 2 2 2 2
(2 分)

? 3A A ? ? cos? ? ? ? cos A 2? ? 2
又 m?n
2 2

?3
(4 分)

m ? n ? 3m ? n ? 3

2

1 ? 1 ? 2 cos A, cos A ?
又 A ? (0, ? )

?A?

?

1 2
(7 分)

3

(另外的解法可以参照给分) (2)? A ? B ? C ? ?

? sin B ? sin(

3? ? (9 分) ? B) ? 3 sin 3 3 2? 2? 3 sin B ? sin cos B ? cos sin B ? 3 3 2 3 1 3 sin B ? cos B ? 2 2 2

3 1 3 sin B ? cos B ? 2 2 2 sin( B ?
?B?

( 11 分)

?
6

)?

3 2
或B?

?
6

?

?
3

?
6

?

B?

?
6

或B ?

?
2

2? 3

(13 分)

sin B ?

?
6

C ? ?A ? B ?

?
2
(14 分)

? ?ABC 是直角三角形

(另外的解法可以参照给分) 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分) . 某民营企业年初用 108 万元购买一条先进的生产流水线,第一年各种费用支出 12 万元,以后 每年支出都比上一年支出增加 6 万元,若每年年收入为 63 万元。 (1)问第几年开始总收入超过总支出? (2)若干年后,有两种处理方案:

-9-

方案一:总盈利最大时,以 3 万元出售该套流水线; (盈利=收入—支出) 方案二:年平均盈利最大时,以 30 万元出售该套流水线。问那种方案合算?
?1 ) ? 6 ] ? 108 ? ?3n 2 ? 54n ? 108 。 解: (1)设第 n 年开始,盈利为 y 万元,则 y ? 63n ? [12n ? n ( n 2

(4 分) 令 y ? 0 ,得 3n ? 54n ? 108 ? 0 , 9 ? 3 5 ? n ? 9 ? 3 5 ( 6 分) ∵ n ? N ,∴第 3 年开始盈利。 (7 分) (2)方案一:∵ y ? ?3n 2 ? 54n ? 108 ? ?3 ( n ? 9 )2 ? 135 ,∴当 n ? 9 时, ymax ? 135 ,此时出售 设备可获利共为 135 ? 3 ? 138 万元; (9 分) 方案二:平均盈利为
y n
2

? 54 ? 3 ( n ?

36 ) n

? 54 ? 36 ? 18 ,当且仅当 n ?

36 n

,即 n ? 6 时,平

均盈利最大。可获利共 18 ? 6 ? 30 ? 138 万元。(12 分) 两种方案获利相同,由于方案一所需时间长,所以方案二合算。(14 分) 22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分. 已知函数 f ( x) ?

? 3x ? a 3 x ?1 ? b
x

(1)当 a ? b ? 1 时,求满足 f ( x) ? 3 的 x 的 取值范围; (2)若 y ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,求 y ? f ( x) 的解析式, (3)若 y ? f ( x) 的定义域为 R,判断其在 R 上的单调性并加以证明。

解: (1)由题意,
x 2

? 3x ? 1 (1 分) ? 3x , 3 x ?1 ? 1
x

化简得 3 ? (3 ) ? 2 ? 3 ? 1 ? 0 解得 ? 1 ? 3 x ? 所以 x ? ?1

(3 分) (5 分) (6 分)

1 3

(2)已知定义域为 R,所以 f (0) ?

?1? a (7 分) ? 0 ? a ? 1, 3?b

又 f (1) ? f (?1) ? 0 ? b ? 3 , (9 分)

1 ? 3x 经验证 f ( x) ? x ?1 是奇函数; (10 分) 3 ?3
(3)? x ? R,? b ? 0 (11 分)

对任意 x1 , x 2 ? R, x1 ? x 2 可知 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (3a ? b)

3 x2 ? 3 x1 (13 分) (3 x1 ?1 ? b)(3 x2 ?1 ? b)

- 10 -

因为 x1 ? x 2 ,3

x2

? 3 x1 ? 0 ,

当 3a ? b ? 0. f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,因此 f ( x) 在 R 上递减; (14 分) 当 3a ? b ? 0. f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,因此 f ( x) 在 R 上递增; (15 分) 当 3a ? b ? 0 , f ( x) 在 R 上不具有单调性。 (16 分) 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 ?a n ? ,如果数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn ? a n ? a n ?1 (n ? 2, n ? N ? ) ,则称数列 ?bn ? 是 数列 ?a n ? 的“生成数列” 。 (1)若数列 ?a n ? 的通项为数列 a n ? n ,写出数列 ?a n ? 的“生成数列” ?bn ? 的通项公式 (2)若数列 ?d n ?的通项为数列 d n ? 2 n ? n ,求数列 ?d n ?的“生成数列” ?p n ?的前 n 项和为

Tn 。

?l n ? (3) 若数列 ?c n ? 的通项公式为 c n ? An ? B , (A,B 是常数) , 试问数列 ?c n ? 的 “生成数列”
是否是等差数列,请说明理由。 (1)解:由题意可知:当 n ? 1 时, b1 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时, bn ? a n ? a n ?1 ? 2n ? 1 (1 分) (3 分) (4 分)

? bn ? 2n ? 1, (n ? N ? )
(2)当 n ? 1 时, p1 ? d1 ? 3

当 n ? 2 时, p n ? d n ? d n ?1 ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ? n ? 1

? 3 ? 2 n ?1 ? 2n ? 1

?3       n ? 1 ? pn ? ? n? ?3 ? 2 ? 2n ? 1  n ? 2
当 n ? 1 时, T1 ? p1 ? 3 (7 分)

(6 分)

当 n ? 2 时, Tn ? p1 ? p 2 ? p3 ? ? ? p n

? 3 ? 3 ? 21 ? 3 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? ? ? 3 ? 2 n ?1 ? (2n ? 1)

- 11 -

?

3 ? (1 ? 2 n ) (n ? 1)(2n ? 2) ? 1? 2 2

? 3 ? 2n ? 3 ? n2 ? 1

? 3 ? 2n ? n2 ? 4

(9 分) (10 分)

? Tn ? 3 ? 2 n ? n 2 ? 4, n ? N ?

?A ? B n ? 1 (3) l n ? ? n ? 2 ?2An ? 2B ? A

(12 分)

当 B=0 时,ln=2An-A,由于 ln+1-ln=2A,所以此时数列{cn}的“生成数列”{ln}是等 差数列. (14 分)

当 B≠0 时,由于 l1=c1=A+B,q2=3A+2B,l3=5A+2B,此时 l2-l1≠l3-l2,所以数 列{cn}的“生成数列”{ln}不是等差数列. (17 分) 综上,当 B=0 时,{qn}是等差数列; 当 B≠0 时,{qn}不是等差数列. (18 分)

- 12 -


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