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2015衡水中学高三模拟数学试卷


3014-2015 学年度下学期高三年级一调考试 理科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、设集合 I ? {x | ?3 ? x ? 3, x ? Z }, A ? {1, 2}, B ? {?2, ?1, 2} ,则

A A. ?1? B. ?1, 2? C. ?0,1, 2? D. ??1,0,1, 2?

(CI B) 等于(



2、复数 z 满足 (?1 ? i) z ? (1 ? i)2 ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点位于 ( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限

3、已知正数组成的等比数列 ?an ? ,若 a1 ? a20 ? 100 ,那么 a2 ? a14 的最小值为( A.20 B.25 C.50 D.不存在

4、已知 ? , ? 表示两个不同的平面, m 为平面 ? 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ” 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 5、设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 的取值范围是( x ? 1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
A. ?1,5? B. ? 2,6? C. ? 2,10? D. ?3,11?



6、已知函数 f ? x ? ? sin( x ? ? ) ,且 ( )

?

2? 3 0

f ? x ?dx ? 0 ,则函数 f ? x ? 的图象的一条对称轴是

A. x ?

5? 6

B. x ?

7? 12

C. x ?

?
3

D. x ?

?
6


7、已知一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的表面积为( A. 4 5 ? 4 2 ? 5

B. 2 5 ? 2 2 ?

5 2

C.

2 5 ?2 2 ?3 3

D. 2 5 ? 2 2 ? 3 8 、利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆 x2 ? y 2 ? 10 内有 ( ) B.3 个 C.4 个 D.5 个

A.2 个

9、已知点 A(?1, 0) ,若函数 f ? x ? 的图象上存在两点 B, C 到点 A 的距离相等,则称该函数

1 ) “点距函数” , 给定下列三个函数:① y ? ? x ? 2(?1 ? x ? 2) ; ② y ? 9 ?( x ? f ? x? 为
③ y ? x?4

2



5 ( x ? ) ,其中“点距函数”的个数是( 2
A.0 B. 1 C.2 D.3



10、设直线 l 与曲线 f ? x ? ? x3 ? 2x ?1 有三个不同的交点 A, B, C ,且 AB ? BC ? 10 , 则直线 l 的方程为( A. y ? 5x ? 1 ) B. y ? 4 x ? 1 C. y ? 3x ? 1 D. y ? 3x ? 1

11、四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,点 S , A, B, C , D 均在半径为 3 的同一 半球面上,则当四棱锥 S ? ABCD 的台最大时,底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 ( ) B.2 C.

A. 2 ? 3

2 ?1 2

D. 3 ? 1

12 、 已 知 定 义 在 ?0, ??? 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x ? ? 2 f ? x ? 2? , 当 x ? ?0 , 2 ?时

f ? x ? ? ?2x2 +4x ,设 f ? x ? 在 ?2n ? 2,2n? 上的最大值为 an (n ? N ? ) ,且 ?an ? 的前 n 项
和为 Sn ,则 Sn ? ( A. 2 ? ) B. 4 ?

1 2n ?1

1 2
n?2

C. 2 ?

1 2n

D. 4 ?

1 2n ?1

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。. 13、已知 n ?
e4

?

1

1 3 dx ,那么 ( x ? ) n 展开式中含 x 2 项的系数为 x x

14、 已知 P 为 ?ABC 所在平面内的一点, 满足 PA ? PB ? 3PC ? 0 ,?ABC 的面积为 2015, 则 ?ABP 的面积为 15、若实数 a, b, c 成等差数列,点 P(?1, 0) 在动直线 l : ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M ,点

N (0, 3) ,则线段 MN 长度的最小值是
16 、已知函数 f ? x ? ? ?

?log 2 (1 ? x) ? 1 ?1 ? x ? k
3 ? x ? 3x ? 2

k?x?a

,若存在 k 使得函数 f ? x ? 的值域为

?0, 2? ,则实数 a 的取值范围是
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 12 分) 设 向 量 a ? (coswx ? sin wx ? , 1), b? 其中 w ? 0 , x ? R ,已知函数 ( 2 sin wx? ,,1)

f ? x? ? a? b的最小正周期为 4? 。
(1)求 w 的值; (2)若 sin x0 是关于 t 的方程 2t ? t ? 1 ? 0 的根,且 x0 ? ( ?
2

? ?

, ) ,求 f ( x0 ) 的值。 2 2

18、 (本小题满分 12 分) 为了参加 2015 年市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中学校选出 12 人组成男 子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表:

该区篮球经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言。 (1)求这两名队员来自同一学校的概率;

(2)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E?

19、 (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , 且

A B ?1 , B ? C 2? , A B?C6 为 0 BC , E 的 中 点 , AA1 ? 平 面
ABCD 。
(1)证明:平面 A 1 AE ? 平面 A 1DE ; (2)若 DE ? A1E ,试求异面直线 AE 与 A1D 所成角的余弦值; (3)在(2)的条件,试求二面角 C ? A1D ? E 的余弦值。

20、 (本小题满分 12 分) 定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的,如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 是相似的两个椭圆, 并且相交于上下两个顶点, 椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 a 2 b2

4, 椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(m ? n ? 0) 短轴长是 1, 点 F1 , F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点。 m2 m2

(1)求椭圆 C1 , C2 的方程; (2)过 F 1 的直线交椭圆 C2 于点 M , N , 求 F2 MN 面积的最大值。

21、 (本小题满分 12 分)

ax 2 已知 f ? x ? ? x ln x, g ? x ? ? ,直线 l : y ? (k ? 3) x ? k ? 2 2
(1)函数 f ? x ? 在 x ? e 处的切线与直线 l 平行,求实数 k 的值; (2)若至少存在一个 x0 ? [1, e] 使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围。

(3)设 k ? Z ,当 x ? 1 时 f ? x ? 的图象恒在直线 l 的上方,求 k 的最大值。


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