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2015.3.19 第13次课 空间几何体结构 三视图 直观图


8.1 空间几何体的三视图和结构图
【重点知识梳理】 一、多面体的结构特征 多面体 棱柱 且相等 棱锥 棱台 有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分 结构特征 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个面的交线都平行

二、旋转体的形成

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几何体 圆柱 圆锥 圆台 球

旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形

旋转轴 任一边所在的直线 一条直角边所在的直线 垂直 于底边的腰 所在的 直线

半圆

直径所在的直线

三、简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去 一部分而 成,有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体. 四、平行投影与直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° (或 135° ),z′轴与 x′轴和 y′轴所在平 面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变,平行于 y 轴的线段长度在 直观图中变为原来的一半. 五、三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的 轮廓线. 【方法技巧】
1

1.正棱柱与正棱锥 (1)底面是正多边形的直棱柱,叫正棱柱,注意正棱柱中“正”字包含两层含义:①侧棱垂直于底面;②底面是正 多边形. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥,注意正棱锥中“正”字包含两层 含义:①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心,②底面是正多边形,特别地,各棱均相等的正三棱锥叫 正四面体. 2.对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影, 并不是从三个方向看到的该几何体的侧 面表示的图形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线. (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的 轮廓线. 3.对斜二测画法的认识及直观图的画法 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段,“平行于 x 轴的线段平行性不变,长度不变;平行于 y 轴的线 段平行性不变,长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系: S 直观图= 2 S ,S 原图形= 2 2S 直观图. 4 原图形

【随堂训练】 1.如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )

A.②③④ C.①③④

B.①②③ D.①②④

2.有下列四个命题: ①底面是矩形的平行六面体是长方体; ②棱长相等的直四棱柱是正方体; ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体; ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
2

其中真命题的个数是( A.1 C .3

) B.2 D.4

3.一个简单几何体的主视图,左视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形; ③圆;④椭圆.其中正确的是 A.① B.② C.③ D.④

4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视 图的要求画出的该几何体的侧视 图是( )

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5.如图△A′B′C′是△ABC 的直观图,那么△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形

)

6.一个几何体的三 视图如图所示,则侧视图的面积为(

)

A.2+ 3 C.2+2 3

B.1+ 3 D.4+ 3

7.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 1 ,则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________.(填入所有可 2
3

能的图形前的编号) ①锐角三角形;②直角三角形;③四边形; ④扇形;⑤圆. 8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

9.正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长均为 3,其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形,则正 视图的周长为_______ _. 10.已知:图 1 是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图 2 是某几何体的三视图,试说明该 几何体的构成.

【高频考点突破】 考点 1 空间几何体的结构特征 例 1、下列结论正确的是( )

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【变式探究】以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( A.0 ) B.1 C.2
4

D.3

考点 2 空间几何体的三视图 例 2.(1)(2012· 高考福建卷)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥
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)

C.正方体

D.圆柱 )

(2)(2011· 高考江西卷)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

π 【变式探究】已知某几何体的体积为 ,它的正视图、侧视图均为边长为 1 的正方形(如图所示),则该几何体的 4 俯视图可以为( )

考点三

空间几何体的直观图

例 3、已知平面△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三角形,求原△ABC 的面积.

【变式探究】若将本例中△A′B′C′是边长为 a 的正三角形改为△ABC 是边长为 a 的正三角形,求直观图△A′B′C′ 的面积.

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【规律总结】1.对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影; 并不是从三个方向看到的该几何体的侧 面表示的图形.
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(2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线. (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的 轮廓线. 2.对斜二测画法的认识及直观图的画法 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于 x 轴的线段平行性不变,长度不变;平行于 y 轴的线 段平行性不变,长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系: S 直观图= 2 S ,S 原图形=2 2S 直观图. 4 原图形

【经典考题精析】 (2013· 福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如 图 1-3 所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是__________.

图 1-1 (2013· 辽宁卷)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3,AC=4,AB⊥AC, AA1=12.则球 O 的半径为( 3 17 A. B.2 10 2 13 C. 2 ) D.3 10 )

(2013· 广东卷)某四棱台的三视图 如图 1-2 所示,则该四棱台的体积是(

图 1-2

6

A.4

14 B. 3

16 C. 3

D.6

(2013· 湖南卷) 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可 能等于( A.1 )
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B. 2

C.

2-1 2

D.

2+1 2

(2013· 辽宁卷)某几何体的三视图如图 1-3 所示,则该几何体的体积 是________.

图 1-3 (2013· 陕西卷)某几何体的三视图如图 1-4 所示,则其体积为________.

图 1-4 (2013· 四川卷)一个几何体的三视图如图 1-5 所示,则该几何体的直观图可以是( )

图 1-5

图 1-5
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(2013· 新课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0), (0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )

图 1-6 (2013· 浙江卷)若某几何体的三视图(单位:cm)如图 1-3 所示,则此几何体的体积等于________cm3.

图 1-7 【当堂巩固】 1.右图是长和宽分别相等的两个矩形,给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是 ( )

A.3 C.1 2.

B.2 D.0 ( )

一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图为

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3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,过对角线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E,交 CC1 于 F,得四边形 BFD1E,给出下列结论: ①四边形 BFD1E 有可能为梯形; ②四边形 BFD1E 有可能为菱形; ③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D; ⑤四边形 BFD1E 面积的最小值为 其中正确的是 A.①②③④ C.①③④⑤ 4. B.②③④⑤ D.①②④⑤ 6 . 2 ( )

在如图所示的直观图中,四边形 O′A′B′C′为菱形且边长为 2 cm,则在 xOy 坐标系中,四边形 ABCO 为

________,面积为________ cm2.

5. 用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是________. 6. 如图,点 O 为正方体 ABCD—A′B′C′D′的中心,点 E 为面 B′BCC′的中心,点 F 为 B′C′的中点,则空间四边

形 D′OEF 在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号).

7.已知正三棱锥 V—ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

9

(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积. 8.一个几何体的三视图及其相关数据如图所示,求这个几何体的表面积.

9.已知一个正三棱台的两底面边长分别为 30 cm 和 20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.

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