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第三节 幂函数


幂函数
(一)幂函数的定义及应用
1. 幂函数定义:一般地,函数 y=xa 叫作幂函数,其中 x 是自变量,a 是实常数.
?1 2

1 y ? x2 ?1○ 2 y?x 例 1.下面给出了 5 个函数○ 其中是幂函数的是( ) 1○ 5 1○ 2○ 3 A ○ B ○ 例 2. 已知 f ( x) ? (m2 ? m) x m


2

3 y ? 2x 2 ○ 4 y?x ○ 2○ 3○ 5 ○

?2 3

5 y ? x3 ?1 ○

1

C

2○ 3 ○

D

?2 m?1

,当 m 取什么值时,

(1) f ( x ) 为正比例函数; (2) f ( x ) 为反比例函数; (3) f ( x ) 为幂函数。

例 3.已知幂函数 y=f(x)的图象经过(3,

3 ) ,则 f(x)= 3

例 4. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图像过点(

1 2 , ),则 log2 f (2) 的值为 2 2
C.-1
4

A.
例 5.

1 2

B.-

1 2

D.1

一个幂函数 y=f(x)的图象过点( 3 ,

27 ) ,另一幂函数 y=g(x)的图象过点(-8,-2)

(1)求这两个幂函数的解析式(2)判断这两个函数的奇偶性 (3)作出这两个函数的图象,观察得 f(x)<g(x)的解集

(二)幂函数的性质及图像
1. 幂函数的定义域与奇偶性 例 6.求函数 y ? ( x ? 1)
? 1 4

? ( x ? 2) 的定义域。
5

2 3

例 7. 求下列幂函数的定义域,并指出它们的奇偶性。 (1) y ? x 3 (5) y ? x
3
2

(2) y ? x 6 (3)
1

y?x
?2

4 ?5

(4) y ? x (8) y ? x
?

?3 2

(6) y ? x 2

(7) y ? x

2 3

2. 幂函数的图像 (1) y ? x ;
1

(2) y ? x 2 ; (3) y ? x ;
2

(4) y ? x ; (5) y ? x .
3

?1

1

3. 幂函数性质的拓展 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x ? 有下列性质: (1)图象都通过点 (0,0), (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; 0 ? ? ? 1 时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x ? 有下列性质: (1)图象都通过点 (1,1) ; (2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,
?

?

越大,图象下落的速度越快。

无论 ? 取任何实数,幂函数 y ? x 的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。 例 9. 请把相应的 号填入表格. 幂函数图象代

①y= x 3 ;②y=x 2;③y= x 2 ;④y=x 1;
- -

2

1

⑤y= x ;⑥y= x ;⑦y= x ;⑧y= x 3 . 函数代号 ① ② ③ 图象代号
n

1 3

4 3

1 ? 2

5











例 10. 图中曲线是幂函数 y ? x 在第一象限的图象,已知 n 取 ? 2, ? 线 C1 , C2 , C3 , C4 的 n 依次为( )

1 四个值,则相对于曲 2

例 11. 下列函数图象中,表示函数

y?x

?1 3

的是( )

2

例 12.函数 y ? x 3 图象的大致形状是( )

2

A

B

C

D

例 13.如图,曲线 C1 , C2 分别是函数 y ? x m 和 y ? x n 在第一象限的图象,那么一定有 A n<m<0 C m>n>0 B m<n<0 D n>m>0

例 14.函数 y ? x 与函数
3

y ? x 3 的图象(

1



A 关于原点对称 C 关于 x 轴对称

B 关于 y 轴对称 D 关于直线 y=x 对称
1

例 15.当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x 2 , g ( x) ? x 2 , h( x) ? x ?1 的大小关系。 例 16.下列关于幂函数的命题中不正确的是( ) A 幂函数的图象都经过点(1,1) B 幂函数的图象不可能在第四象限内 C D 当 y ? x 的图象经过原点时,一定有 n>0
n

若 y ? x (n<0)是奇函数,则 y ? x 在其定义域内一定是减函数
n n

(三)幂函数的单调性等其他性质
例 17.幂函数的图象过点( 2 , 4 ),则它的单调递增区间是 例 18.函数 y ? x
?3 4

1

在区间
2

上是减函数
?2m?2

例 19.已知 f ( x) ? (m2 ? m ? 1) x m 相应的幂函数。 例 20.求函数 y ? ( x ? 1)
? 2 3

是幂函数, 且当 x ? (0,??) 时是减函数, 求实数及

的单调区间。

例 21.比较下列各组数的大小 (!) 1.3 3 , (?1.2)
?2 ?2 3

(2) 2.13 , (?2.4) 3 , (?4) 3
3

2

?1

2

(3) 3.64 ,2.5 3 , (?0.8) 7

3

?2

3

例 22. 求下列各式中参数的取值范围
3 3

2

2

(1) a 4 ? 0.5 4

(2) (?2) 3 ? (2a ? 4) 3

例 23.已知函数 y ? 4 15 ? 2x ? x 2 (1) 求函数的定义域,值域; (2) 判断函数的奇偶性; (3) 求函数的单调区间。 例 24.若 f ( x) ? x , g ( x) ? x ? 2 ,求函数 f [ g ( x)] 的单调区间。
4 5

4


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