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高中数学“数列的基本问题”教学研究教案设计


高中数学“数列的基本问题”教学研究教案设计

教案:等差数列的教学设计
新钢中学陈能玉

一、 教材分析:高考资源网 1.教学内容: “北师大版”高中数学必修第五模块第二章第二节,等差数列,两课时内容, 本节是第一课时,研究等差数列的定义、通项公式的推导,借助生活中丰富的典 型实例,让学生通过分析、推理、归纳等活动过程,从中了解和

体验等差数列的 定义和通项公式。 2.教学地位: 本节是第二章的基础,为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础,是 本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一,并且在实际生活中有着广泛 的应用,它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差 数列是学生探究特殊数列的开始,它对后续内容的学习,无论在知识上,还是在 方法上都具有积极的意义。高考资源网 3.教学重点: 理解等差数列概念,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简 单的问题,体会等差数列与一次函数之间的关系。 4.教学难点: 对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式,概括通项公式推 导过程中体现出的数学思想方法。 5.教学理念: 数学教学是思维过程的教学,如何引导学生参与到教学过程中来,尤其是在 思维上深层次的参与,是促进学生良好的认知结构,培养能力,全面提高素质的 关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非 常重要的意义。 6.设计思想: 本节借助多媒体辅助手段,创设问题的情境,让探究式教学走进课堂,保 障学生的主体地位,唤醒学生的主体意识,发展学生的主体能力,塑造学生的主 体人格,让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。 二、学情分析: 学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力,且对数列的知识有了初步的 接触和认识,对数学公式的运用已具备一定的技能,已经熟悉由观察到抽象的数 学活动过程,对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻 辑思维向抽象思维发展,但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的 逻辑关系。 三、教学目标:高考资源网 1、 知识目标: 理解等差数列定义,掌握等差数列的通项公式。 2、能力目标:高考资源网 培养学生观察、归纳能力,在学习过程中,体会数形结合思想、归纳思想和 化归思想并加深认识;通过概念的引入与通项公式的推导,培养学生分析探索能

力,增强运用公式解决实际问题的能力。 3、 情感目标: ①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。w。w-w*k&s%5¥u ②通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强主动与 他人合作交流的意识。 ③体验从特殊到一般,又到特殊的认知规律,培养学生勇于创新的科学精神。 四、教法和学法的分析:高考资源网 1、 通过探究式教学方法充分利用现实情景, 尽可能的增加教学过程的趣味性、 实 践性。 利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源, 强调学生动手操作试验 和主动参与,在教师的启发指导下,让学生自己去分析、探索,在探索过程中 研究和领悟得出的结论,从而使学生即获得知识又发展智能的目的。 2、 在学法上,引导学生多角度,多层面认识事物,学会探究。教师是学生的学 习的组织者、促进着、合作者,在本节课的备课和教学过程中,为学生的动手实 践,自主探索与合作交流的机会搭建平台,鼓励学生提出自己的见解,学会提出 问题解决问题,通过恰当的教学方式让学生学会自我调适,自我选择。 五、教学媒体和教学技术的选用 多媒体计算机和几何画板 通过计算机模拟演示,使学生获得感性知识的同时,为掌握理性知识创造条 件,这样做,可以使学生有兴趣地学习,注意力也容易集中,符合教学论中的直 观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、 开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。 六、教学程序: (一)设置问题,引导发现形成概念 w。w-w*k&s%5¥u 师:看大屏幕。高考资源网 情景 1(播放奥运会女子举重场面) 2008 年北京奥运会,女子举重共设置 7 个级别,其中较轻的 4 个级别体重组成数 列(单位:kg) : 48,53,58,63 情景 2 水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境, 定期放水清库的办法 清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位 18m,自然放水每天水位下降 2.5m,最 低降至 5m。那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位 组成数列(单位:m) 18,15.5,13,10.5,8,5.5 师:思考上述各组数据反映了什么样的信息? 每行数有何共同特点?请同学们互相讨论。 (学生纷纷议论,有的几个人在一起商量)高考资源网 (从宏观上 : 情景 1 让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情, 激发勇于拼搏的 坚强意志;情景 2 让学生认识到保护水资源,保护生态平衡的意识; 从微观上,数学研究的对象是数,我们抛开具体的背景,从表格中抽象出一般数 列。

a1

a2

a3

a4

a5

a6

48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 师: (启发学生)你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗? 学生 1:后一项与它的前一项的差等于常数。 师:反例:1,3,5,6,12,这样的数列特征和上述数列的特征一样吗? 学生 1:不一样,要加上同一个常数。 学生 2:每一项与它的前一项的差等于同一个常数。w。w-w*k&s%5¥u 高考资源网 师:反例:1,3,4,5,6,7,这样的数列特征和上述数列的特征一样吗? 学生 2:不一样,必须从第二项开始。 学生 3:从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 (教师把学生的回答写在黑板上,通过反例,使学生深刻理解几组数列的共同特 征: ①同一个常数;②从第二项起) 师:能不能用数学语言表示? 学生 4: an ? an?1 ? d 师:等价吗? 学生 4:应加上(d 是常数), n ? 2, n ? N * . (让学生充分讨论,注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性) 师:对式子进行变形可得 an ? an?1 ? d (d是常数),n ? 2, n ? N 。
*

这样的数列在生活中的例子,谁能再举几个?w。w-w*k&s%5¥u 学生 5:某剧场前 8 排的座位数分别是 52,50,48,46,44,42,40,38. 学生 6:全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是 21,21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25 学生 7:马路边的路灯,相邻两盏之间的距离构成的数列。 师:如何用数列表示? 学生 8:设相邻两盏之间的距离为 a,该数列为 a,a,a,a,……,为常数列,即常数列都具有这种特征。 (让学生举例,加深感性认识) 师:满足这种特征的数列很多,我们有必要为这样的数列取一个名字? 学生(共同) :等差数列。 师: (学生叙述,板书定义)高考资源网 一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫等差数列,d 为公差,a1 为数列的首相。

a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d , a4 ? a3 ? d ,......an ? an?1 ? d (n ? 2, n ? N * )
提出课题《等差数列》 对定义进行分析,强调:①同一个常数;②从第二项起。注意对概念严谨性的分 析。

师:回到表格中,分别说出它们的公差。w。w-w*k&s%5¥u 学生 9:依次是 d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72. 若能求得通项公式,问题就很好解决。 (再提出问题,引导发现求通项公式的必要性) (二)启发、引导推出等差数列的通项公式 师:把问题推广到一般情况。若一个数列 a1 , a2 , a3 ,......, an ,...... 是等差数列,它的 公差是 d,那么数列 ?an ? 的通项公式是什么?高考资源网 启发学生: (归纳、猜想)可用首相与公差表示数列中任意一项。 学生 10: a2 ? a1 ? d 即: a2

? a1 ? d

a3 ? a2 ? d 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d 即: a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d
…… 由此可得: an ? a1 ? (n ? 1)d 师:从第几项开始归纳的? 学生 10:第二项,所以 n≥2。 师:n=1 时呢? 学生 10:当 n=1 时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d

(n∈N )

*

师:很好! (归纳、猜想,培养学生合理的推理能力)还有没有其他的推导方法? 学生 11:还可用下面的方法归纳:

an ? an?1 ? d ? an?2 ? d ? d ? an?2 ? 2d ? an?3 ? d ? 2d ? an?3 ? 3d ? ...... ? a1 ? (n ? 1)d
当 n=1 时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d

(n∈N*)w。w-w*k&s%5¥u

师:我们把这种方法称为迭代法。大家按照该同学的思路推导一下。 (把一个学生推导的情况用投影仪投在大屏幕上)还有其他的推导方法吗? (学生面露难色) 启发:看方法一的第一个式子高考资源网

a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d
a4 ? a3 ? d

an ? an?1 ? d

有何规律?

学生 12:可以用累加的方法,左边累加后得 an ? a1 ,右边累加的 d+d+d+…….+d 共 n-1 个即

an ? a1 =d+d+d+…….+d , an ? a1 =(n-1)d , an ? a1 ? (n ? 1)d
师:总结通项公式的推导方法:递推归纳法;迭代归纳法;累差法。共同特点: 利用观察、归纳、猜想的数学思想方法,它的合理性在以后学习的数学归纳法中 可以得到证明。注意两点: 1、对通项公式进行分析,通项公式中含有 a1 , d , n, an 四个量,其中 a1, d 为基本量, 当 a1, d 确定后, 通项公式就确定了。 若已知三个量, 可用方程的思想求第四个量 (即 知三求一) 。 2、对通项公式变形,对任意的 p、q∈N+。在等差数列中,有 ap=a1+(p-1)d ① aq=a1+(q-1)d ② ①-②有 ap-aq=(p-q)d, ∴ap=aq+(p-q)d 其中 p,q 关系可以有 p>q,p=q,p<q。 通项公式的变形式 ap=aq+(p-q)d,请同学记熟,它在解题过程中经常被应用。 (三)通项公式的应用 大屏幕给出例题,由学生代表讲解 w。w-w*k&s%5¥u 例 1: (1)求等差数列 8,5,2…的第 20 项 解:由 a1=8,d=5-8=-3,n=20,等差数列的通项公式得 a20=8+(20-1)×(-3)=-49 (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项? 解:由 a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4 得数列通项公式为: an ? ?5 ? 4(n ? 1) 由题意可知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-5-4(n-1)成立,解之 得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项。 (方程思想的运用) 例 2、已知数列的通项公式为 an=pn+q,其中 p,q 是常数,且 p≠0,那么这种数 列是否一定是等差数列?如果是,其首项与公差是什么? 师:如何分析题意? 学生 13:由等差数列定义,要判定{an}是不是等差数列,只要看 an-an-1(n≥2)是 不是一个与 n 无关的常数就行了。高 w。w-w*k&s%5¥u 考资源网 (学生叙述,教师板书) 解:取数列{an}中的任意相邻两项 an-1 与 an(n≥2)。 ∴an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p, 它是一个与 n 无关的常数,所以{an}是等差数列,且公差为 p。在通项公式中, 令 n=1 得 a1=p+q,所以这个等差数列的首项是 p+q,公差是 p。 师: 数列的通项公式给出的是 an 与 n 之间的一种关系,一个 n 都对应着一个 an, 这与我们以前学过的什么内容类似?由本例得到什么结论?

(引发学生联想、归纳,学生很自然会想到一次函数) 学生 14:与一次函数内容类似,即 an 与 n 之间的关系是一次函数的关系;由本例 的结论可知,如果 an 是关于 n 的一次函数,那么数列{an}是等差数列。 师:本例题的逆命题,是否也成立?请同学们课下自己完成证明。它也可以作为证 明数列{an}是等差数列的一种方法。 那么一次函数的图象有什么特点?你能否作出 等差数列的图象?高考资源网 (四)通项公式的图象 在直角坐标系中作通项公式为 an=3n -5 的数列的图像, 并观察图像有什么特 点? 用几何画板作图显示为下图: 师:由图归纳出等差数列通项公式的图 象的特点。w。w-w*k&s%5¥u 学生 14: 公差不为零的等差数列的图象 是直线 y=px+q 上的均匀排开的一群孤 立的点。 当 p=0 时,an=q,等差数列为常数 列,此时数列的图象是平行 x 轴(或 x 轴)上的均匀公布的一群孤立点。 在大屏幕上打出如下幻灯片: 等差数列 an=pn+q 与一次函数 y=px+q 的 比较 不同点 关连与相同点 http://www.ks5u.com/ 等差数列 (1)p≠0 时,数列 an=pn+q 图象所表示 p∈R, n∈N+, p 是公差。 an=pn+q 的点均匀分布在函数 y=px+q 图象 上。 (2)p>0 时,数列为递增数列,函数为 一次函数 p≠0,x∈R,p 是斜率。 增函数; p<0 时, 数列为递减数列, y=px+q 函数为减函数。 (五) 、课时小结 提出问题:这节课你学到了什么?高考资源网 教师鼓励学生积极回答,答不完整的没有关系,其它同学补充。以此培养学生的 口头表达能力,归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。 学生 15:①等差数列定义。w。w-w*k&s%5¥u 即 an ? an?1 ? d (n≥2) 或 an+1- an = d (n∈N*) ②等差数列通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d (n∈N )
*

推导出公式: ap=aq+(p-q)d ③等差数列 an=pn+q 的图象是直线 y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。 (六)、课后作业

(一)阅读作业:通读教材,复习巩固,思考等差数列的通项公式的求法; (二)书面作业:课本 45 页习题 2.2 组 A1,2,3,4 题 (三)弹性作业:模仿等差数列的定义,思考有没有“等和数列”.如果有,请探 究它的定义、通项公式和相关的性质. 七、板书设计: 等差数列 一、定义 公式推导过程 1. an ? an?1 ? d 三、等差数列与一次函 数 (n≥2) 二、 通项公式 1. an ? a1 ? (n ? 1)d 2.ap=aq+(p-q)d 八、 课后反思: 1、 探究式教学走进课堂为学生的学习提供了多样化的活动方式,激发学生的兴 趣,让学生积极参与。学生通过观察、猜想、推理等丰富多彩的活动达到了 知识的主动构建与理解。 2、渗透数学思想方法中在平时,在数学课的教学中应该教会学生遇到具体问题时 那种思考问题的方式,和解决问题的方法。本节课在探究解决问题的途径,引 导学生运用观察归纳、猜想的数学思想方法。因此在平时教学时,要注意渗透 数学思想方法的教学。 3、信息技术走进课堂, 充分利用多媒体手段,以轻松愉快的动画演示,化抽象 为形象,创设了直观的课堂教学效果,化解了知识的难点。高考资源网 4、课堂上教师怎样引导学生是值得我们深思的一个问题,在完成知识拓展时,课 堂上能不能很好的完成题目的变化,要经教师的指导,学生才能逐渐地掌握方 法。
w。w-w*k&s%5¥u


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