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数学:第二章《点、直线、平面之间的位置关系》教案(新人教A版必修2)


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点、直线、平面之间的位置关系 复习(一)
课 型:复习课 一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知 识; (2)通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知 识的能力。 2、过程与方法 利用框图对本章知识进行系统的小结, 直观、 简明再

现所学知识, 化抽象学习为直观学习, 易于识记;同时凸现数学知识的发展和联系。 3 情态与价值 学生通过知识的整合、梳理,理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系,进一步培养 学生的空间想象能力和解决问题能力。 二、教学重点、难点 重点:各知识点间的网络关系; 难点:在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。 三、教学设计 (一)知识回顾,整体 认识 1、本章知识回顾 (1)空间点、线、面间的位置关系; (2)直线、平面平行的判 定及性质; (3)直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

(二)整合知识,发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题,进行逻辑推理 的基础。 公理 1——判定直线是否在平面内的依据; 公理 2——提供确定平面最基本的依据; 公理 3——判定两个平面交线位置的依据; 公理 4——判定空间直线之间平行的依据。

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2、空间问题解决的重要思想方法:化空间问题为平面问题; 3、空间平行、垂直之间的转化与联系: 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行

直线与直线垂直

直线与平面垂直

平面与平面垂直

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段,两者相辅相成,缺一不可。 (三)应用举例,深化巩固 1、P.73 A 组第 1 题

2、P.74 A 组第 6、8 题 (四) 、课堂练习: P 1.选择题 (1) 如图 BC 是 Rt⊿ABC 的斜边, 过 A 作⊿ABC 所在平面? A PB、PC,过 A 作 AD⊥BC 于 D,连 PD,那么图中直角三角形 B ? ( ) D (A)4 个 (B)6 个 (C)7 个 (D)8 个 (2)直线 a 与平面?斜交,则在平面?内与直线 a 垂直的直线( ) (A)没有 (B)有一条 ( C)有无数条 (D)?内所有直线 答案: (1)D (2) C

垂 线 AP , 连 的个数是
C

2.填空题 (1)边长为 a 的正六边形 ABCDEF 在平面?内,PA⊥?,PA=a,则 P 到 CD 的距离为 BC 的距离为 . (2)AC 是平面?的斜线,且 AO=a,AO 与?成 60?角, A OC ??,AA'⊥?于 A' ,∠A'OC=45?, 则 A 到直线 OC 的距离是 , ∠AOC 的余弦值是 .

,P 到

7 14 2 答案: (1) 2a, a ; (2) a, 2 4 4

?

O

A′ C

3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:A1C⊥平面 BC1D. 分析:A1C 在上底面 ABCD 的射影 AC⊥BD, A1C 在右侧面的射影 D1C⊥C1D, A1 所以 A1C⊥BD, A1C⊥C1D,从而有 A1C⊥平面 BC1D.

D1 B1

C1

D

C

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B

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课后作业 1、阅读本章知识内容,从中体会知识的发展过程,理会问题解决的思想方法; 2、P.76 B 组第 2 题。

课后记:

点、直线、平面之间的位置关系 复习(二)
课 型:复习课 一、复习目标: 1.了解直线和平 面的位置关系;掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理. 2.了解平面和平面的位置关系;掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理. 3.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关 的问题; 4.会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直,并会规范地写出解题过程。 二、例题分析: 例 1.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形, ∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D, E D A
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D1 A1 B1

C1 F G B C

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∴平面 A1BD∥平面 B1CD.

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(2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. 从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF. ∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1. ∴平面 EB1D1∥平面 FBD. 说明 要证“面面平面”只要证“线面平面” ,要证“线面平行” ,只要证“线线平面” ,故 问题最终转化为证线与线的平行. 小结: 例 2.如图,已知 M、N、P、Q 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证:(1)线段 MP 和 NQ 相交且互相平分;(2)AC∥平面 MNP,BD∥平面 MNP. 证明:(1) ∵M、N 是 AB、BC 的中点,∴MN∥AC,MN= ∵P、Q 是 CD、DA 的中点,∴PQ∥CA,PQ=

1 AC. 2
A M B N C Q D

1 CA. 2

∴MN∥QP,MN=QP,MNPQ 是平行四边形. ∴□MNPQ 的对角线 MP、NQ 相交且互相平分.

(2)由(1),AC∥MN.记平面 MNP(即平面 MNPQ)为α .显然 AC?α . 否则,若 AC?α , 由 A∈α ,M∈α ,得 B∈α ; 由 A∈α ,Q∈α ,得 D∈α , 则 A、B、C、D∈α , 与已知四边形 ABC D 是空间四边形矛盾. 又∵MN?α ,∴AC∥α , 又 AC ?α ,∴AC∥α ,即 AC∥平面 MNP. 同理可证 BD∥平面 MNP.

例 3.四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点, 且 EF ?

2 AC , 2

?BDC ? 90 ,求证: BD ? 平面 ACD
证明:取 CD 的中点 G ,连结 EG, FG ,∵ E , F 分别为 AD, BC 的中点,∴ EG

// 1 AC ?
2

// 1 BD ,又 AC ? BD, ∴ FG ? 1 AC ,∴在 ?EFG 中, FG ? 2 2

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EG 2 ? FG 2 ?

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1 AC 2 ? EF 2 2 ∴ EG ? FG ,∴ BD ? AC ,又 ?BDC ? 90 ,即 BD ? CD , AC CD ? C ∴ BD ? 平面 ACD 例 2.如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA ? PB, CB ? 平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, AN ? 3NB (1)求证: MN ? AB ; (2)当 ?APB ? 90 , AB ? 2 BC ? 4 时,求 MN 的长。 (1)证明:取 PA 的中点 Q ,连结 MQ, NQ ,∵ M 是 PC 的中点,
P

∴ MQ // BC ,∵ CB ? 平面 PAB ,∴

MQ ? 平面 PAB

M

∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 ,取 AB 的中点 D ,连

结 PD ,∵
C A N

PA ? PB, ∴ PD ? AB ,又 AN ? 3NB ,∴ BN ? ND
∴ QN // PD ,∴ QN ? AB ,由三垂线定理得 MN ? AB ( 2 )∵ ?APB ? 90 , PA ? PB, ∴ PD ?

B

1 AB ? 2 ,∴ QN ? 1 ,∵ MQ ? 平面 PAB . ∴ 2

MQ ? NQ ,且 MQ ?

1 BC ? 1 ,∴ MN ? 2 2

课后作业: 1. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA 1 、CC1 相交于 E , F 两 点,则四边形 EBFD 1 的形状为 . (平行四边形) 2.如图,A,B,C,D 四点都在平面?,?外,它们在?内的射影 A1,B1,C1,D1 是平行四边形 的四个顶点,在?内的射影 A2,B2,C2,D2 在一条直线上,求证:ABCD 是平行四边形. 证明:∵ A,B,C,D 四点在?内的射影 A2,B2,C2,D2 在一条直线上,
C B D

A

∴A,B,C,D 四点共面.

B1 1

又 A,B,C,D 四点在?内的射影 A1,B1,C1,D1 是平行四边形的四个顶点, ∴平面 ABB1A1∥平面 CDD1C1. ∴AB,CD 是平面 ABCD 与平面 ABB1A1,平面 CDD1C1 的交线. ∴AB∥CD,同理 AD∥BC.∴四边形 ABCD 是平行四边形. 3.已知直线 a、b 和平面 M、N,且 a ? M ,那么( (A) b ∥M ? b⊥a (B)b⊥a ? b∥M (C)N⊥M ? a∥N (D) a ? N ? M ? N ? ? 4.如图, PA ? 矩形 ABCD 所在的平面, M , N 分别是 AB, PC 的中点, (1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)求证: MN ? CD )

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(3)若 ?PDA ?

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?
4

,求证: MN ? 平面 PCD
P

A M B

N D

C

5 . 如 图 , 已 知 SA, SB, SC 是 由 一 点 S 引 出 的 不 共 面 的 三 条 射 线 ,

?ASC ? ?ASB ? 450 , ?BSC ? 60 , ?SAB ? 90 ,求证: AB ? SC
S

A B C

课后记:

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