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1-3专题3 分类讨论思想


高考调研

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第一部分 论





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第一部分

论方法

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专题3

/>
分类讨论思想

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第一部分

专题3

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一、分类讨论思想 是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的 数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题 的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与融合, 分类标准等于增加一个已知条件, 实现了有效增设, 将大问题(或 综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低 问题难度.

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第一部分

专题3

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二、分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的,如 绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学定 理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如 等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等.

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(3)由数学运算要求引起的分类讨论: 如除法运算中除数不为 零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数 的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域 等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置 需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等.

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第一部分

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(5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如 含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不 同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. (6)由实际意义引起的讨论:此类问题在应用题中,特别是在 解决排列、组合中的计数问题时常用.

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三、分类讨论的原则 (1)不重不漏. (2)标准要统一,层次要分明. (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则的讨论.

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类型一

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集合、逻辑中的分类讨论

【典例 1】 若 A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax-2=0},且 A∩B=B,求由实数 a 组成的集合 C.

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【解析】 (1)当 B≠?时, 由 A={x|x2-2x-3=0}, 得 A={- 1,3}. ∵A∩B=B,∴B?A,从而 B={-1}或 B={3}. 当 B={-1}时,由 a×(-1)-2=0,得 a=-2; 2 当 B={3}时,由 a×3-2=0,得 a= . 3 (2)当 B=?时,由 ax-2=0 无实数根,得 a=0. 2 综上可知,由实数 a 组成的集合 C={-2,0,3}.

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【对点练 1】 (2014· 福建)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且 下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0 有且只有一个正确,则 100a+10b+c 等于________.

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第一部分

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【解析】 由集合相等得对应元素相等,结合后面关系式的 正确与否得出 a,b,c 的取值. 因为三个关系中只有一个正确,分三种情况讨论:若①正确,则 ?a≠2, ? ②③不正确,得到?b≠2, ?c=0, ? 由于集合{a,b,c}={0,1,2},所以

解得 a=b=1,c=0,或 a=1,b=c=0,或 b=1,a=c=0,与 ?b=2, ? 互异性矛盾;若②正确,则①③不正确,得到?a=2, ?c=0, ? 性矛盾;若③正确,
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与互异

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?c≠0, ? 则①②不正确,得到?a=2, ?b≠2, ? 100a+10b+c=201.
【答案】 201

?a=2, ? 则?b=0, ?c=1, ?

符合题意,所以

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【典例 2】

已知命题 p:关于 x 的不等式 ax>1(a>0,a≠1)

的解集是{x|x<0},命题 q:函数 y=lg(ax2-x+a)的定义域为 R, 如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 【答题模板】 由复合命题的真假, 推知命题 p 和 q 的真假, 等价转化可求参数的取值范围.

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【解析】

由关于 x 的不等式 ax>1(a>0 , a≠1) 的解集是

{x|x<0},知 0<a<1. 由函数 y=lg(ax2-x+a)的定义域为 R,知不等式 ax2-x+ a>0 的解集为
? ?a>0, R,则? 2 ? ?1-4a <0,

1 解得 a> . 2

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因为 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,所以 p 和 q 一真一假, a≤0或a≥1, 0<a<1, ? ? ? ? 即“p 假 q 真”或“p 真 q 假”, 故? 1 或? 1 a> a≤ , ? ? 2 ? ? 2 1 即 a∈(0,2]∪[1,+∞).

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【对点练 2】 (2014· 天津)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a| >b|b|”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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【解析】

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按照 b<0,b=0,b>0 分类讨论求解.

当 b<0 时,显然有 a>b?a|a|>b|b|; 当 b=0 时,显然有 a>b?a|a|>b|b|; 当 b>0 时,a>b 有|a|>|b|,所以 a>b?a|a|>b|b|. 综上可知 a>b?a|a|>b|b|,故选 C.

【答案】 C

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类型二

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函数中的分类讨论

【典例 3】

2 ? ?x +2x+2,x≤0, (2014· 浙江)设函数 f(x)=? 2 ? ?-x ,x>0.



f(f(a))=2,则 a=________.

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【解析】 分段求分段函数的函数值,注意分类讨论思想的 应用. 若 a>0,则 f(a)=-a2<0,f(f(a))=a4-2a2+2=2,得 a= 2. 若 a≤0,则 f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,f(f(a))=-(a2 +2a+2)2=2,此方程无解.

【答案】

2

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【对点练 3】


(2014· 新 课 标 全 国 Ⅰ ) 设 函 数 f(x) =

ex 1,x<1, ? ? ? 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________. x ,x≥1, ? ? 3

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【解析】

结合题意分段求解,再取并集.

当 x<1 时,x-1<0,ex-1<e0=1≤2, ∴当 x<1 时满足 f(x)≤2. 1 当 x≥1 时,x3≤2,x≤23=8,∴1≤x≤8. 综上可知 x∈(-∞,8].

【答案】 (-∞,8]

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专题3

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【典例 4】 求函数 f(x)=-x(x-a)在 x∈[-1,1]上的最大值. 【答题模板】

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a 2 a2 a 【解析】 函数 f(x)=-(x- ) + 的图像的对称轴为 x= , 2 4 2 a a a 应分2<-1,-1≤2≤1,2>1,即 a<-2,-2≤a≤2 和 a>2 三种 情形讨论. (1)当 a<-2 时, 由下图(1)可知 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(- 1)=-1-a=-(a+1);

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专题3

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(2)当-2≤a≤2 时,由图(2)可知 f(x)在[-1,1]上的最大值为 a a2 f(2)= 4 ; (3)当 a>2 时,由图(3)可知 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(1)=a -1.

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专题3

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? ?-?a+1?,a<-2, ? a2 综上可知,f(x)max=? 4 ,-2≤a≤2, ? ? ?a-1,a>2.

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专题3

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【对点练 4】

(2013· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,设定

1 点 A(a,a),P 是函数 y=x (x>0)图像上一动点.若点 P,A 之间 的最短距离为 2 2,则满足条件的实数 a 的所有值为________.

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【解析】
2

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1 设 P(x, x),
2

1 则|PA| =(x-a) +(x -a)2 12 1 =(x+ x) -2a(x+x)+2a2-2, 1 令 t=x+x ≥2(x>0,当且仅当 x=1 时取“=”),则|PA|2=t2 -2at+2a2-2.
2 2 2 ①当 a≤2 时,(|PA|)2 min=2 -2a×2+2a -2=2a -4a+2.

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由题意知,2a2-4a+2=8,解得 a=-1 或 a=3(舍). ②当 a>2 时,(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2. 由题意知,a2-2=8,解得 a= 10或 a=- 10(舍). 综上知,a=-1 或 10.

【答案】

-1 或 10

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1 2 【典例 5】 若函数 f(x)=lnx- ax -2x 存在单调递减区间, 2 则实数 a 的取值范围为________. 【答题模板】 函数 f(x) 存在单调递减区间,就是不等式

f′(x)≤0 有实数解,考虑到函数的定义域为(0,+∞),所以本题 就是要求 f′(x)≤0 在(0,+∞)上有实数解.

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第一部分

专题3

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ax2+2x-1 1 【解析】 由题知,f′(x)= -ax-2=- ,因为 x x ax2+2x-1 函数 f(x)存在单调递减区间,所以 f′(x)=- ≤0 有 x 解.又因为函数的定义域为(0,+∞),则应有 ax2+2x-1≥0 在 (0,+∞)上有实数解.

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第一部分

专题3

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(1)当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,所以 ax2 +2x-1≥0 在(0,+∞)上恒有解; (2)当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,要使 ax2 +2x-1≥0 在(0 ,+∞)上有实数解,则 Δ=4 +4a>0,此时- 1<a<0; (3)当 a=0 时,显然符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是(-1,+∞).

【答案】

(-1,+∞)

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第一部分

专题3

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【对点练 5】

(2014· 江西九江二模)已知函数 f(x)=x2-(a+

2)x+alnx,其中 a∈R.求函数 f(x)的单调递增区间.

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第一部分

专题3

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a 2?x- ??x-1? 2 f′(x)= (x>0), x

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【解析】

a a ①当 a>2 时,2>1,令 f′(x)>0,得 0<x<1 或 x>2. a ∴函数 f(x)的单调递增区间是(0,1)和(2,+∞);

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第一部分

专题3

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②当 a=2 时,f′(x)≥0 恒成立, ∴函数 f(x)的单调递增区间是(0,+∞);

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a a ③当 0<a<2 时,0< <1,令 f′(x)>0,得 0<x< 或 x>1. 2 2 a ∴函数 f(x)的单调递增区间是(0,2)和(1,+∞); ④当 a≤0 时,令 f′(x)>0,得 x>1. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(1,+∞).

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第一部分

专题3

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类型三

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不等式中的分类讨论

【典例 6】

求不等式|x-1|+|2x+1|<2 的解集.

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第一部分

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【解析】

1 由题意 x=1 时,|x-1|=0,x=- 时,|2x+1| 2

=0(以下分类讨论). 1 ①当 x<- 时,原不等式等价于 2 1 ? ?x<- , 2 1 2 ? 得- <x<- . 3 2 ? ?-x+1-2x-1<2,

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第一部分

专题3

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1 ②当- ≤x≤1 时,原不等式等价于 2 1 ? ?- ≤x≤1, 1 ? 2 得- ≤x<0. 2 ? ?-x+1+2x+1<2, ③当 x>1

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? ?x>1, 时,原不等式等价于? ? ?x-1+2x+1<2,

得 x 无解.

2 1 1 由①②③得原不等式的解集为{x|-3<x<-2}∪{x|-2≤x<0} 2 ∪?={x|- <x<0}. 3
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第一部分

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【对点练 6】

(2014· 郑州质检)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f(x)=|2x-a|+5x. (1)求不等式 f(x)>5x+1 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求实数 a 的值.

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第一部分

专题3

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【解析】

(1)由 f(x)>5x+1,化简可得|2x-a|>1.

即 2x-a>1 或 2x-a<-1. a-1 a+1 解得 x< 2 或 x> 2 . a-1 a+1 所以不等式 f(x)>5x+1 的解集为{x|x< 2 或 x> 2 }.

第39页

第一部分

专题3

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(2)不等式|2x-a|+5x≤0 等价于 5x≤2x-a≤-5x, a ? ? ?x≤-3, ?5x≤2x-a, 即? 化简得? ? ?2x-a≤-5x, ?x≤a. ? 7 a 若 a<0,则原不等式的解集为{x|x≤7}={x|x≤-1},此时,a =-7;

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第一部分

专题3

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a 若 a≥0, 则原不等式的解集为{x|x≤- }={x|x≤-1}, 此时, 3 a=3. 综上所述,a=-7 或 a=3.

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第一部分

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类型四

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数列中的分类讨论

【典例 7】

3 (2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 2

项和为 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明:Sn+S ≤ 6 (n∈N*). n

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第一部分

专题3

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【答题模板】 比,写出通项公式;

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(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公

(2)求出前 n 项和,根据函数的单调性证明.
【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q.

因为-2S2,S3,4S4 成等差数列, 所以 S3+2S2=4S4-S3, 即 S4-S3=S2-S4,可得 2a4=-a3.

第43页

第一部分

专题3

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a4 1 于是 q=a =-2. 3

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3 又因为 a1=2,所以等比数列{an}的通项公式 an= 3 1 n-1 n-1 3 (-2) =(-1) · 2· 2n. 1n 1 1n (2) 证明: Sn = 1 - ( - ) , Sn + = 1 - ( - ) + 2 Sn 2 ? ?2+ n 1 ,n为奇数, n 2 ? 2 + 1 ? ? ? 1 ?2+ ,n为偶数. n n ? ? 2 ?2 -1?
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1 1n 1-?-2?



第一部分

专题3

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1 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小, Sn 1 1 13 所以 Sn+S ≤S1+S = 6 . n 1 1 当 n 为偶数时,Sn+S 随 n 的增大而减小, n 1 1 25 所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn S2 12 1 13 故对于 n∈N ,有 Sn+S ≤ 6 . n
*

第45页

第一部分

专题3

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【对点练 7】 (2014· 北京)设{an}是公比为 q 的等比数列, 则 “q>1”是“{an}为递增数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

第46页

第一部分

专题3

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【解析】

{an}为递增数列,则 a1>0 时,q>1;a1<0 时,

0<q<1.q>1 时,若 a1<0,则{an}为递减数列.故“q>1”是“{an}为 递增数列”的既不充分也不必要条件,故选 D.

【答案】 D

第47页

第一部分

专题3

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类型五 三角、向量中的分类讨论

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【典例 8】 (2014· 新课标全国Ⅱ)若钝角三角形 ABC 的面积 1 是 ,AB=1 ,BC= 2,则 AC=( 2 A.5 C.2 B. 5 D.1 )

第48页

第一部分

专题3

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【解析】

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利用三角形面积公式可求角 B,再利用余弦定理

求得 B 的对边 AC. 1 1 1 ∵S=2AB· BCsinB=2×1× 2sinB=2, 2 π 3π ∴sinB= 2 ,∴B=4或 4 . 3π 当 B= 4 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB =1+2+2=5,∴AC= 5,此时△ABC 为钝角三角形,符合题 意;

第49页

第一部分

专题3

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π 当 B= 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB 4 =1+2-2=1,∴AC=1,此时 AB2+AC2=BC2,△ABC 为直角 三角形,不符合题意.故 AC= 5.

【答案】

B

第50页

第一部分

专题3

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【对点练 8】 (2014· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边 的长分别是 a, b, c, 且 b=3, c=1, △ABC 的面积为 2, 求 cosA 与 a 的值. 【答题模板】 根据已知条件用三角形面积公式求出 sinA,

再利用同角三角函数关系式求出 cosA,利用余弦定理求 a.

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第一部分

专题3

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1 【解析】 由三角形面积公式,得 ×3×1· sinA= 2. 2 2 2 故 sinA= 3 . 因为 sin2A+cos2A=1, 所以 cosA=± 1-sin A=±
2

8 1 1-9=± 3.

1 ①当 cosA= 时,由余弦定理,得 3

第52页

第一部分

专题3

高考调研
2 2 2 2 2

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1 a =b +c -2bccosA=3 +1 -2×1×3× =8. 3 所以 a=2 2. 1 ②当 cosA=- 时,由余弦定理,得 3 a =b +c -2bccosA=3 +1 =2 3.
2 2 2 2 2

? 1? -2×1×3×?-3?=12,所以 ? ?

a

第53页

第一部分

专题3

高考调研

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【典例 9】 (2014· 安徽)设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两 组向量 x1,x2,x3,x4 和 y1,y2,y3,y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列 而成.若 x1· y1 + x2· y2 +x3· y3 +x4· y4 所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则 a 与 b 的夹角为( 2π A. 3 π C.6 π B.3 D.0 )

第54页

第一部分

专题3

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【解析】 根据分类讨论思想及向量数量积的定义求解.设 a 与 b 的夹角为 θ,由于 xi,yi(i=1,2,3,4)均由 2 个 a 和 2 个 b 排 列而成, 记 S= (xi· yi),则 S 有以下三种情况:

①S=2a2+2b2;②S=4a· b; ③S=|a|2+2a· b+|b|2.

第55页

第一部分

专题3

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∵|b|=2|a|, ∴①中 S=10|a|2, ②中 S=8|a|2cosθ, ③中 S=5|a|2 1 +4|a| cosθ.易知②最小,即 8|a| cosθ=4|a| ,∴cosθ=2,可求 θ
2 2 2

π = ,故选 B. 3

【答案】

B

第56页

第一部分

专题3

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【对点练 9】 (2014· 浙江)记
? ?y,x≥y, y}=? ? ?x,x<y,

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? ?x,x≥y, max{x, y}=? ? ?y,x<y,

min{x,

设 a,b 为平面向量,则(

)

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

第57页

第一部分

专题3

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【解析】

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利用平面向量的平行四边形法则,作出 a+b,a

-b,再比较模的大小. 由于|a+b|, |a-b|与|a|, |b|的大小关系与夹角大小有关, 故 A, B 错.当 a,b 夹角为锐角时,|a+b|>|a-b|,此时,|a+b|2>|a|2 +|b|2;当 a,b 夹角为钝角时,|a+b|<|a-b|,此时,|a-b|2>|a|2 +|b|2;当 a⊥b 时,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,故选 D.

【答案】

D

第58页

第一部分

专题3

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类型六

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解析几何中的分类讨论

3 x2 【典例 10】 (2014· 南昌一模)已知点 P(1,- )在椭圆 C: 2 2 a y2 + 2=1(a>b>0)上,过椭圆 C 的右焦点 F2(1,0)的直线 l 与椭圆 C b 交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程;

第59页

第一部分

专题3

高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 文

|AB|2 (2)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,且 MN∥AB,W= . |MN| 试判断 W 是否为定值?若 W 为定值,请求出这个定值;若 W 不 是定值,请说明理由. 【答题模板】 (1)根据定义确定 2a;

(2)设直线方程时讨论直线的斜率存在与否; (3)注意弦长公式的应用.

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【解析】 (1)椭圆 C 的右焦点坐标为(1,0),∴c=1,椭圆 C 的左焦点坐标为(-1,0). 可得 2a= 解得 a=2.
2 2 x y ∴b2=a2-c2=4-1=3,∴椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3

32 ?1+1? +?- ? + 2
2

32 5 3 ?1-1? +?- ? = + =4, 2 2 2
2

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(2)①当直线斜率不存在时,|AB|2=(2b)2=4b2, 2b2 |AB|2 4b2 |MN|= a ,∴W= |MN|=2b2=2a=4. a ②当直线斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). 且 M(x1,y1),N(x2,y2). x2 y2 ? ? + =1, 由? 4 3 ? ?y=k?x-1?, 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

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4k2-12 8k2 x1+x2= ,x x = . 3+4k2 1 2 3+4k2 |MN|= 1+k2|x1-x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] =
2 2 4 k -12 8 k 2 2 ?1+k ?[? ? -4 × ] 3+4k2 3+4k2

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12?k2+1? = . 3+4k2 设直线 AB 的方程为 y=kx(k≠0),

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x2 y2 ? ? + =1, 12 2 4 3 由? 消去 y,并整理,得 x = 2. 3 + 4 k ? ?y=kx 设 A(x3,y3),B(x4,y4),则 |AB|= 1+k2|x3-x4|=4 48?1+k2? 3+4k2 |AB|2 ∴W=|MN|= =4. 12?1+k2? 3+4k2 综上所述,W 为定值 4.
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3?1+k2? 2 , 3+4k

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【对点练 10】

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(2014· 九江月考)已知点 P(0,5)及圆 C:x2+

y2+4x-12y+24=0.若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3, 求 l 的方程.

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【解析】 如图所示,|AB|=4 3,D 是 AB 的中点,CD⊥ AB,|AD|=2 3,|AC|=4. 在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2. 设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y-5=kx,即 kx-y +5=0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式,得 |-2k-6+5| 3 2 2 =2,得 k=4. k +?-1? 3 k=4时,直线 l 的方程为 3x-4y+20=0.
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又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. ∴所求直线的方程为 3x-4y+20=0 或 x=0.

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