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三角函数大题六大常考题型

时间:2014-12-22


【一】 知识要点详解 1.要点: (1) 三角函数的化简、求值与证明; (2)三角函数的图像与性质:图像的变换和作图;周期性、奇偶性,单调性; (3)三角函数的最值问题; (4)解三角形:在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理; (5)解三角函数的实际应用. 2.方法: (1)使用三角函数公式进行解题时应考虑使用诱导公式进行化简; 三角函数公式合并三角函数; 函数值,求得结果. (2)三角函数最值的三个方面: 化成“三个一”:化成一个角的一种三角函数的一次方形式;如 化成“两个一”:化成一个角的一种三角函数的二次方结构; “合二为一”:辅助角的使用; (3)解三角形方法:一法化边;二法化角;注意要考虑三角形内角的范围. 【二】 例题详解 题型一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 ; 使用两角和与差的 使用 使用二倍角的三角函数公式降幂扩角、升幂缩角;

同角三角函数关系式,结合已知条件,化弦为切或化切为弦,化到最简后,带入已知的三角

【例 1】(2007 年高考安徽卷)已知





的最小正

周期,

,求

的值.

【解答】因为



的最小正周期,故

.因为





,故



由于

,所以

. 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式,然后运用三角函数中的和、 差、半、倍角公式进行恒等变形,以期达到与题设条件或待求结论的相关式,找准时机代入 求值或化简。

题型二:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题

【例 2】(2006 年高考浙江卷) 如图, 函数 的图像与 (Ⅰ)求 (Ⅱ)设 夹角。 【解答】(I)因为函数图像过点 , 轴交于点(0,1)。 的值; 是图像上的最高点,M、N 是图像与 轴的交点,求 与

(其中





所以



因为

,所以

.

(II)由函数

及其图像,得

所以

从而

,故

.

【评析】 此类问题的一般步骤是:先利用向量的夹角公式: 或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。 题型三:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 3】(山东卷)在 (1)求 ; 中,角 的对边分别为 ,

求出被

求角的三角函数值, 再限定所求角的范围, 最后根据反三角函数的基本运算, 确定角的大小;



(2)若

,且

,求 .

【解答】(1)



,



,解得:





是锐角,



(2) 又 ,



, , , .

, ,

【评析】 根据题中所给条件,初步判断三角形的形状,再结合向量以及正弦定理、余 弦定理实现边角转化,列出等式求解。 题型四:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例 4】(2007 年高考陕西卷) ,其中向量 ,

, (Ⅰ)求实数 (Ⅱ)求函数 【解答】(Ⅰ)

,且函数 的值;

的图象经过点



的最小值及此时 值的集合。

由已知

,得



(Ⅱ)由(Ⅰ)得

∴当

时,

的最小值为





,得 值的集合为



【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时,可先根据向量的数量积的运算法则 求出相应的函数基本关系式,然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如 ,再借助三角函数的有界性使问题得以解决。 题型五:结合向量平移问题,考查三角函数解析式的求法

【例 5】(2007 年高考湖北卷)将 移后所得图象的解析式为( )

的图象按向量

平移,则平

A.

B.

C.

D.

【解答】∵

,∴平移后的解析式为

,选 【评析】理清函数 平移后的函数解析式为

. 按向量 . 平移的一般方法是解决此类问题之关键,

题型六:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题 【例 6】(2006 年高考湖北卷)设向量 数 (Ⅰ)求函数 . 的最大值与最小正周期; ,函

(Ⅱ)求使不等式 【解答】 (Ⅰ) ∵

成立的 的取值集.



的最大值为

,最小正周期是

(Ⅱ)要使

成立,当且仅当





,



成立的 的取值集合是 【评析】 结合向量的坐标运算法则,求出函数

. 的三角函数关系式,再根据三角公

式对函数 集。

的三角恒等关系,然后借助基本三角函数的单调性,求简单三角不等式的解

【跟踪训练】 1.设函数 . (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)将函数 称,求长度最小的 的最大值和最小正周期; 的图像按向量 . 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对 ,其中向量 ,

2.已知向量 (Ⅰ)若 (Ⅱ)求 【参考答案】 1.解:(Ⅰ)由题意得, ,求 ; 的最大值.





所以,

的最大值为

,最小正周期是

.

(Ⅱ)由



,即



于是





因为 为整数,要使

最小,则只有

,此时

即为所求.

2.解:(Ⅰ)若

,则

,由此得:



所以, (Ⅱ)由

. 得:



时,

取得最大值,即当

时,

的最大值为




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