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《空间向量的正交分解及其坐标表示》自用


3.1.4 空间向量的正交分解

及其坐标表示

二、空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i ,

j , k } 以点O为原

点,分别以 i , j , k 的正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴, 这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、

z 轴,都叫

j , k 都叫做坐标向量.通 z a 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
做叫做坐标轴,点O

叫做原点,向量 i,

对空间任一向量

向量基本定理,存在唯一的有序实

a

,由空间

A(a1 , a2 , a3 )
i
Oj

k ( a , a , a ) 数组 1 2 3 ,使 a ? a1 i ? a2 j ? a3 k .

有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) 就

y

叫做 a 在这一空间直角坐标系下

记为 a ? (a1 , a2 , a3 ) .

的坐标. x

在空间直角坐标系O – x y z 中,对空间任一点A, 对应一个向量 OA,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z, 使 OA ? xi ? y j ? zk (如图). 我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z),其中x叫 做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 显然, 向量 OA 的坐标,就是点A在此空间直角 z 坐标系中的坐标(x,y,z).

即 OA ? ( x, y, z) ? A( x, y, z)
也就是说,以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和点的坐 标建立起一一对应的关系,从而互 相转化.
k i O j

A(x,y,z) y

x

如果知道有向线段的起点和终点的坐标, 那么有向线段表示的向量坐标怎样求?

结论:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),



AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
设M为AB中点,M点坐标为M(x0,yo,zo)

其中x0=(x1+x2)/2 ,y0=(y1+y2)/2 ,z0=(z1+z2)/2.
向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

注:空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
空间向量

?i , j , k? 为基底
一一对应

p

p ? xi ? y j ? zk

有序实数组 ( x, y, z )

探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量

a, b, c

代替两两垂直的向量
结论吗?

i, j , k

,你能得出类似的

一、空间向量基本定理 : 如果三个向量 a, b, c不共面,那么对空间任一 向量 p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}, 使 p ? xa ? yb ? zc. 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底 。 a, b, c都叫做基向量

特别提示:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共 面,还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底. (2)由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意两 个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都 不是 0 . (3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中 的某一个向量,二者是相关连的不同概念. 推论:设O、A、B、C是不共线的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组{x,y,z},使

OP ? xOA ? yOB ? zOC.
当且仅当x+y+z=1时,P、A、B、C四点共面。

例题讲解:
例1 设 x ? a ? b, y ? b ? c, z ? c ? a, 且 a, b, c 是空 间的一个基底,给出下列向量组 ① a, b, x ② x, y, z ③ b, c, z ④ x, y, a ? b ? c ,其中可以作为空间的基底的向量组有( A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 分析:能否作为空间的基底,即是判 A1 断给出的向量组中的三个下向量是 D 否共面,由于 a, b, c 是不共面的向 量,所以可以构造一个平行六面体 A 直观判断 设 a ? AB, b ? AA1 , c ? AD ,易判断出答案
D1 C1 B1 C B

C)

练习
2、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底.
求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.

例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1

D1 N C1

A B

D

分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可.

M

C

例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1

D1

N
A M B

C1 D

解: 连AN, 则MN=MA+AN 1 1 MA=- 3 AC =- 3 (a+b)

C

AN=AD+DN=AD-ND 1 = 3 (2 b + c ) ∴MN= MA+AN
=
1 (- 3

a + b + c )

例题讲解
如图,M,N分别是四面体 OABC的边 OA,BC的中点,P,Q是MN 的三等分.用向 量OA , OB, OC 表示OP和OQ.
1 2 解:OP ? OM ? MP ? OA ? MN 2 3 1 2 ? OA ? (ON ? OM ) 2 3 1 2 1 ? OA ? ? (OB ? OC ) A 6 3 2
1 1 1 ? OA ? OB ? OC 6 3 3

O

M
Q

P B N

C

如图,M,N分别是四面体 OABC的边 OA,BC的中点,P,Q是MN 的三等分.用向 量OA , OB, OC 表示OP和OQ.
解:OQ ? OM ? MQ ? OA ? MN ? OA ? (ON ? OM)

1 2

1 3

1 2

1 3

O

1 1 1 ? OA ? (ON ? OA) 2 3 2 1 1 1 ? OA ? ? (OB ? OC ) 3 3 2 1 1 1 ? OA ? OB ? OC 3 6 6

M A
Q

P B N

C

3.1.5 空间向量运算的 坐标表示

【新知探究】
平面向量运算的坐标表示: 空间向量运算的坐标表示:

设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); 类 a ? b ?(a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ); 比 a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b; 3) 推 ?a ? (? a1 , ? a2 ) ; 广 ?a ? (? a , ? a , ? a; )
1 2 3

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ;

a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b; 3

二、距离与夹角
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

| a | ? a ? a ? a ? a2 ? a3
2 2 1 2

2

| b | ? b ? b ? b ? b2 ? b3
2 2 1 2

2

注意:此公式的几何意义是表示长方体 的对角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 )、 B( x2 , y2 , z2 ) ,则

AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2
2 2 2

?| AB |? AB AB ?

d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )

2.两个向量夹角公式
a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 a ?b cos ? a, b ?? ? ; 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3

注意:

(1)当 cos ? a , b ?? 1时, a 与 b 同向;

a 与 b 反向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1时,
(3)当 cos ? a , b ?? 0 时, a ? b 。 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0 时, 的夹角在什么范围内?

空间向量平行和垂直的条件 共线 a∥b (b≠0)<=>a=λb 即a∥b (b≠0)<=>
a∥b<=>
a1 a2 b1 b2

a1=λb1, a2=λb2, a3=λb3,
a3 b3

垂直

a?b=0 a┻b ?

a┻b ?a1 b1 + a2 b2 +a3 b3 =0

例1在空间直角坐标系中有长方体 ABCD ? A1B1C1D1 BC ? 3, AA1 ? 5.

AB ? 2,

i, j , k 的分解式 (1)写出的坐标,给出 AC1关于 (2) 求 的坐标
A1 D1 (A) O C

C1
B y

D

例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向 量n使n⊥a,且n⊥b. 解:设n=(x, y, z,)则 n?a=(x, y, z,)?(-2,2,0)=-2x+2y=0 n?b=(x, y, z,)?(-2,0,2)=-2x+2z=0 所以y=x, z=x 于是n= (x, x, x)=x(1,1,1), 显然当x取任意实数时,可以得到无数个 向量都满足题意.
练习 1 ⑴已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C(0,0,2) , 则顶点 D 的坐标为 ______________; (1,-1,2) ⑵ Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C ( x , 0,1) ,则 x ? ____; 2

六、应用举例
例3 已知 A(3 , 3 ,1) 、B(1, 0 , 5) ,求:A
(1)线段 AB 的中点坐标和长度; 解:设 M ( x , y , z ) 是 AB的中点,则
M

B
O

? 3 ? ∴点 M的坐标是 ? 2 , , 3 ? . ? 2 ?

1 1 ? 3 ? OM ? (OA ? OB) ? ? (3 , 3 ,1) ? ?1, 0 , 5 ?? ? ? 2 , , 3? , ? ? 2 2 ? 2 ?

d A, B ? (1 ? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (5 ? 1)2 ? 29 .

A

M

(2)到 A 、B两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。
O

B

解:点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等,则
( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ? 5) 2 ,

化简整理,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满

足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

? 3 ? ? 1 ? B(1,1, 0), E1 ? 1, ,1 ? , D(0, 0, 0), F1 ? 0, , 1? ? 4 ? ? 4 ? 1 ? ? 3 ? ? D BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , C O y 4 ? ? 4 ? ? A B ? 1 ? ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . x 4 对向量计算或证明。 ?(3) ? ? 4 ? 17 17 15 ? 1? 1 , | DF1 |? . BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , | BE1 |? 4 4 1615 ? 4? 4 15 BE1 ? DF1 15 ? 16 ? cos ? BE1 , DF1 ?? ? ? . cos ? E B , DF ?? ______ 17 1 1 17 17 17 | BE1 | ? | DF1 | ? 4 15 4 因此,BE1与DF1所成角的余弦值是 . 17

解:设正方体的棱长为 1,分别以 DA 、DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 (2)把点、向量坐标化, Oxyz ,则 A
1

例4.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点,求: . (1) 建立直角坐标系,BE1与DF1所成角的余弦值 z
D1 F1 E1 B1

【应用举例】

C1

又A, E, D, F1不共线,所以AE∥DF1. A B 变式2: F是AA1的一个四等分点, x 求证:BF⊥DF1. 1? 1? ? ? 证明:B(1,1, 0), F ? 1, 0, ? , 所以 BF ? ? 0,1 ,? ? 4? 4? ? ? ? 1 ? 1? ? 1 ? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ?, 所以BF ? DF1 ? ? 0, 1, - ? ? ? 0,, 1? ? 0 ? ? 4 ? 4? ? 4 ? ? 因此BF ? DF1 , 即BF⊥DF1.

? 1 ? ? 1 ? 证明:A(1, 0, 0), E ? 1, ,1 ? ,所以 AE ? ? 0, , 1 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 1 ? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ?,所以AE ? DF1 , F ? 4 ?

例4.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点, z 变式1: E是A1B1的一个四等分点, D F C 求证:AE∥DF1. A E B E
1 1 1 1 1

【应用举例】

1

D

O

C

y

例4.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点, z D F C 变式3: G是BB1的一个四等分点, E B H为AA1上的一点,若GH⊥DF1, A 试确定H点的位置. 1? ? H 解:设H点坐标为(1, 0, a ),又G ? 1,1, ? , D 4? ? G Cy O 1? ? 所以 GH ? ? 0, ?1 ,a ? ? A B 4? ? x ? 1 ? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ?, 且GH ? DF1 ? 4 ? 1 1 所以GH ? DF1 ? 0 - ? a ? ? 0 4 4 1 解得a ? , 2 即当H为AA1 的中点时,能使GH⊥DF1.
1 1 1 1 1 1

【应用举例】

E , F 分别是 BB1 , D1 B1 例 3 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) ,

所以 DA1 ? (1, 0 , 1) 1 1 1 EF ? DA ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 所以 1 2 2 2 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

? ? 4,2,?4? ?1?与a ? ?2,?1,2?共线, 且满足a ? z ? ?18的z ?
? 1 8 ? ?2?A?1,2,1?, B?? 1,3,4?, AP ? 2 PB, 则OP ?? ? , ,3 ? ? 3 3 ? ?3?三点A?1,5,?2?, B?2,4,1?, C ? p,3, q ?共线,则
p? 3 q?

练习1、

4

⑶已知 A(3,5, ?7) , B( ?2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为_______. 101

练习 2: ⑴已知 A( 0, 2, 3)、B(? 2,1,6), C(1, ?1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2

⑵ a ? ( x, 2,1) , b ? (?3, x 2 , ?5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角,则 x 的取值范围为( ? 1, ) . 2 ⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 距离.

174 6

思考题:直三棱柱ABC ? A1B1C1 , 底面?ABC中, CA=CB=1,?BCA=90o,棱AA1=2,M , N 分别为A1B1 ,AA1的中点. (1)求BN的长; (2)求 cos ? BA1 , CB1 ? 的值; (3)求证:A1 B ? C1M .
A1 N C A B
M

C 1

B1

1 C1O ? ( a?b ), 证明:设 C1 B1 ? a , C1 D1 ? b , C1C ? c ,则 B1C ? c ? a , 2 1 OD ? OD1 ? c ? ( b?a ) ? c ,若存在实数 x , y ,使得 B1C ? xOD ? yOC1成立, 2 1 1 ?1 ? ? 1 ? b?a ) ? c? ? y ?? ( a?b ) ? ? ( x ? y ) a ? (x ? y ) b ? xc 则c?a ? x? ( ? 2 2 ?2 ? ? 2 ?

练习 5⑵.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥面 ODC1.

b

∵ a, b ,不同面, c
?1 (x ? y )? 1 ?2 ? ? x ? 1 ∴ B1C ? OD ? OC1, ∴?1 )? 0 即 ? ? (x ? y 2 ?y ?1 ? ?x ? 1 ? ?

a c

∵ B1C, OD , OC1 为共面向量,且 B1C不在OD , OC1所确定的平面ODC1 内 ∴ B1C // 平面ODC1,即B1C // 平面ODC1 .

练习 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M , N 分别 是 ,求证: MN ? 平面PDC AB, PC的中点,并且 PA ? AD 证明: PA ? AD ? AB, 且PA ? 平面AC , AD ? AB

?可设DA ? i, AB ? j , AP ? k , PA ? 1 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系 A ? xyz 则
z A(0,0,0), B(0,1,0), C(?1,1,0), D(?1,0,0), P P(0, 0,1) M (0, 1 , 0), N (? 1 , 1 , 1 ) 2 2 2 2
N

D
y

C

A DC ? (0,1,0) M x 1 1 ? MN ? PD ? (? , 0, ) ? (?1, 0, ?1) ? 0 ? MN ? PD 21 21 ? MN ? DC ? (? , 0, ) ? (0,1, 0) ? 0 ? MN ? DC 2 2 又 PD ? DC ? D ? MN ? 平面PDC

1 1 ? MN ? (? , 0, ) PD ? (?1,0, ?1) 2 2

B

(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点E 是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱 C1D1, AA1的 中点.设点E1,G1分别是点 E,G在平面DCC1D1内的正投影 z F (2)证明:直线FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值. (2)证明:分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位 E G

【尝试高考】

G1 (0,0,1),F ? 0,1,2? , E1 (0,2,1), E ?1,2,1? ? FG1 ? ? 0 , ?1, ? 1? , FE ? ?1 ,1, ? 1? , x FE1 ? ? 0 ,1, ? 1? , ? FG1 ? FE ? 0 ? 1 ? 1 ? 0, FG1 ? FE1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ? FG1 ? FE,FG1 ? FE1 又FE FE1 ? F ? FG1 ? 面FEE1

正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz ,则

1

1

G
O

E

y

(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点E 是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱 C1D1, AA1的 中点.设点E1,G1分别是点 E,G在平面DCC1D1内的正投影 z F (2)证明:直线FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.

【尝试高考】

(3)解: E1G1 ? ? 0 , ?2, 0 ?, EA ? ?1 , ?2, ? 1? ,

? E1G1 ? EA ? 0 ? 1 ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? 0 ? ? ?1? ? 4 ,

G1
G
O

E1
E

| E1G1 |? 2 , | EA |? 6 .

y

6 ? cos ? E1G1 , EA ?? ? ? .x | E1G1 | ? | EA | 2 ? 6 3
6 2 3 ? sin ? E1G1 , EA ?? 1 ? ( ) ? 3 3

E1G1 ? EA

4

3 因此,E1G1与EA所成角的正弦值是 . 3


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