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七年级上学期数学竞赛选拔试题(含答案)

时间:2015-08-17


初一数学竞赛选拔考试题
班级___________________姓名__________________得分_________ 一、填空题: (4 分× 15=60 分) 1、某人上山速度是 4,下山速度是 6,那么全程的平均速度是________. 2、 0.7 ? 1

4 3 5 1 ? 2 ? ?? 15 ? ? 0.7 ? ? ? ?? 15 ? ? __________ _____ . 9 4 9 4

3、甲、乙两同学从 400 m 环形跑道上的某一点背向出发,分别以每秒 2 m 和每秒 3 m 的速度慢跑.6 s 后, 一只小狗从甲处以每秒 6 m 的速度向乙跑,遇到乙后,又从乙处以每秒 6 m 的速度向甲跑,如此往返 直至甲、乙第一次相遇.那么小狗共跑了 4、定义 a*b=ab+a+b,若 3*x=27,则 x 的值是 m. .

5、三个相邻偶数,其乘积是六位数,该六位数的首位是 8,个位是 2,这三个偶数分别是_______. 6、三艘客轮 4 月 1 日从上海港开出,它们在上海与目的地之间往返航行,每往返一趟各需要 2 天、3 天、 5 天.三艘客轮下一次汇聚上海港是_____月_____日. 7、设 m 和 n 为大于 0 的整数,且 3m+2n=225,如果 m 和 n 的最大公约数为 15,m+n=_____. 8、a 与 b 互为相反数,且|a-b|=

a ? ab ? b 4 ,那么 2 = 5 a ? ab ? 1

.

9、已知 a ? b ? 3, b ? c ? 2, 则 (a ? c)2 ? 3a ? 1 ? 3c =___________. 10、若正整数 x,y 满足 2004x=105y,则 x+y 的最小值是___________. 11、数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列规律:前两个数是 1,从第 3 个数开始,每一个 数都是它前两个数的和,这个数列叫做斐波那契数列,在斐波那契数列中,前 2010 个数中共有 ___________个偶数. 12、若 a ? ?

2004 2003 2002 ,b ? ? ,c ? ? ,则 a, b, c 的大小关系是___________. 2003 2002 2001

13、任意改变 7175624 的末四位数字顺序得到的所有七位数中,能被 3 整除的数的有____个. 14、有一个两位数,被 9 除余 7,被 7 除余 5,被 3 除余 1,这个两位数是 15、在自然数 1,2,3,…,100 中,能被 2 整除但不能被 3 整除的数有_______个. 二、解答题: (8 分× 5=40 分) 1、计算: .

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 2? 4 4? 6 6?8 2004 ? 2006

1

2、甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行,两人相遇在距离 A 地 10 千米处.相遇后,两人继续前 进,分别到达 B、A 后,立即返回,又在距离 B 地 3 千米处相遇,求 A、B 两地的距离.

3 、设 3 个互不相等的有理数,既可以表示成为 1 , a+b,a 的形式,又可以表示为 0,

a , b 的形式,求 b

a 2009 ? b 2010 .

4、a、b、c、d 表示 4 个有理数,其中每三个数之和是-1,-3,2,17,求 a、b、c、d.

5、将 2010 减去它的

1 1 1 1 ,再减去余下的 ,再减去余下的 ,…,以此类推,直至减去余下的 ,最 2 3 4 2010

后的得数是多少?

2

参考答案

一、填空题: (4 分× 15=60 分) 1、某人上山速度是 4,下山速度是 6,那么全程的平均速度是________.【4.8】 分析:设总路程是 1,则平均速度=

1?1 24 ? 。典型的错误:把平均速度看做是 4 和 6 的算术平均 1 1 5 ? 4 6

数(4+6)/2=5,事实上,4.8 是它们的调和平均数。 2、 0.7 ? 1

4 3 5 1 ? 2 ? ?? 15 ? ? 0.7 ? ? ? ?? 15 ? ? __________ _____ .【-43.6】 9 4 9 4

3、甲、乙两同学从 400 m 环形跑道上的某一点背向出发,分别以每秒 2 m 和每秒 3 m 的速度慢跑.6 s 后, 一只小狗从甲处以每秒 6 m 的速度向乙跑,遇到乙后,又从乙处以每秒 6 m 的速度向甲跑,如此往返 直至甲、乙第一次相遇.那么小狗共跑了 m. 【444】

分析:本题是一道数学名题的改编,据说数学家苏步青年轻时做过。画出示意图,甲乙二人还有 370 米要走,所要时间就是

370 ? 74 秒,而狗狗在这段时间里始终以相同的速度奔跑,你不要管小狗每 5

遇到一个人之前跑多少,要注重整体,因此总共走了 74× 6=444 米。 4、定义 a*b=ab+a+b,若 3*x=27,则 x 的值是 . 【6】

5、三个相邻偶数,其乘积是六位数,该六位数的首位是 8,个位是 2,这三个偶数分别是_______.【94,96, 98】 分析:尝试即可。同时注意尾数是 4、6、8 才能相乘得到尾数 2. 6、三艘客轮 4 月 1 日从上海港开出,它们在上海与目的地之间往返航行,每往返一趟各需要 2 天、3 天、 5 天.三艘客轮下一次汇聚上海港是_____月_____日.【5 月 1 日】 分析:2、3、5 的最小公倍数是 30,因此是 5 月 1 号。本题还考察了一个常识:4 月有多少天。批改 试卷的结果,有不少同学写成 4 月 31 日,实在比较冤枉! 7、设 m 和 n 为大于 0 的整数,且 3m+2n=225,如果 m 和 n 的最大公约数为 15,m+n=_____.【105】 分析:设 m ? 15m1 , n ? 15n1 ,其中 m1 , n1 都是正整数,则 3m1 ? 2n1 ? 15 ,尝试可知 m1 ? 1, n1 ? 6 8、a 与 b 互为相反数,且|a-b|=

a ? ab ? b 4 ,那么 2 = 5 a ? ab ? 1

. 【

4 】 25

分析:根据条件算出 a=0.4,b=-0.4,或者相反,代入即可。 9、已知 a ? b ? 3, b ? c ? 2, 则 (a ? c) ? 3a ? 1 ? 3c =___________.【41】
2

分析:两式相加得 a-c=5,代入即可。
3

10、若正整数 x,y 满足 2004x=105y,则 x+y 的最小值是___________.【703】 分析:两边同时处以 3 得 668x=35y,而 668 和 35 互素,因此 x=35,y=668 11、数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列规律:前两个数是 1,从第 3 个数开始,每一个 数都是它前两个数的和,这个数列叫做斐波那契数列,在斐波那契数列中,前 2010 个数中共有 ___________个偶数.【670】 分析:观察数列的特征:奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、… 12、若 a ? ?

2004 2003 2002 ,b ? ? ,c ? ? ,则 a, b, c 的大小关系是___________.【a>b>c】 2003 2002 2001

13、任意改变 7175624 的末四位数字顺序得到的所有七位数中,能被 3 整除的数的有____个.【0】 分析:该数的各位数字之和是 32,不是 3 的倍数,因此该数不被 3 整除,无论怎么调整数位都不回得 到被 3 整除的数。 14、有一个两位数,被 9 除余 7,被 7 除余 5,被 3 除余 1,这个两位数是 .【61】

分析:设该数为 a,则(a+2)是 9、7、3 的公倍数,9、7、3 的最小公倍数是 63,注意到 a 是两位数, 因此 a=63-2=61. 15、在自然数 1,2,3,…,100 中,能被 2 整除但不能被 3 整除的数有_______个.【34】 分析:这 100 个数字中,2 的倍数有 50 个,6 的倍数有 16 个,2 的倍数中去掉 6 的倍数就是我们需要 的数字的个数,即 50-16=34. 二、解答题: (8 分× 5=40 分) 1、计算:

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 2? 4 4? 6 6?8 2004 ? 2006 501 【 】 2006

2、甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行,两人相遇在距离 A 地 10 千米处.相遇后,两人继续前 进,分别到达 B、A 后,立即返回,又在距离 B 地 3 千米处相遇,求 A、B 两地的距离. 【27 千米】 分析:这里有两个时间段:第一次相遇和第二次相遇。第一个时间段甲走了 10 千米,二人路程之和 为 AB;第二个时间段二人路程之和为 2AB,因为二人速度保持不变,因此甲走的路程是第一个时间 段的 2 倍,即 20 千米,因此 AB=10+(20-3)=27 千米。 另解:也可以利用二人的速度之比保持不变,用方程求解,此略。 3 、设 3 个互不相等的有理数,既可以表示成为 1 , a+b,a 的形式,又可以表示为 0,

a , b 的形式,求 b

a 2009 ? b 2010 .
【0】
4

分析:(1)若 a=0,则可以导出矛盾(自己做一下);(2)若 a+b=0,则可算出 a=-1,b=1. 4、a、b、c、d 表示 4 个有理数,其中每三个数之和是-1,-3,2,17,求 a、b、c、d. 【6,8,3,-12】

1 × (-1-3+2+17)=5,分别与-1,-3,2,17 作差即可得到这些数字。 3 1 1 1 1 5、将 2010 减去它的 ,再减去余下的 ,再减去余下的 ,…,以此类推,直至减去余下的 ,最 2 3 4 2010
分析:四个数的和是 后的得数是多少?【1】 分析:本题不要做减法,而是做乘法:2010 减去它的

1 1 1 ,剩下 2010 ? (1 ? ) ,再减去余下的 ,得 2 2 3

1 1 2010 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ,…,因此本题的答案是: 2 3 1 1 1 1 2 3 2009 2010 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 2010 ? ? ? ? ? ? =1. 2 3 2010 2 3 4 2010

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