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函数与导数题型总结(高考数学专题)


第1讲
考情解读

函数、基本初等函数的图象与性质

(1)高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.(2)函数图象和性质是

历年高考的重要内容,也是热点内容,对图象的考查主要有两个方面:一识图,二用图,即利用函数的图象,通过数形结合 的思想解决问题; 对函数性质的考查, 则

主要是将单调性、 奇偶性、 周期性等综合一起考查, 既有具体函数也有抽象函数. 常 以填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合,难度较大.

1.函数的三要素 定义域、值域及对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、 下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于 y 轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有 相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性. (3)周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足 f(a+x)=f(x)(a 不等于 0),则其一个周期 T=|a|. 3.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 作函数图象有两种基本方法:一是描点法,二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 0<a<1,a>1 两种情况,着重关注两函数图 象中的两种情况的公共性质. (2)幂函数 y=xα 的图象和性质,分幂指数 α>0,α<0 两种情况.

热点一 例1

函数的性质及应用 (1)(2014· 课标全国Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是________.

1 3 (2)设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈ 0,2 时,f(x)=-x2,则 f(3)+f -2 =________. 1 3 思维启迪 (1)利用数形结合,通过函数的性质解不等式;(2)利用 f(x)的性质和 x∈[0, ]时的解析式探求 f(3)和 f(- )的值. 2 2 答案 解析 (1)(-1,3) 1 (2)- 4

[ ]

( )

(1)∵f(x)是偶函数,

∴图象关于 y 轴对称. 又 f(2)=0,且 f(x)在[0,+∞)单调递减, 则 f(x)的大致图象如图所示, 由 f(x-1)>0,得-2<x-1<2,即-1<x<3. (2)根据对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t)可得 f(-t) =f(1+t),即 f(t+1)=-f(t),进而得到 f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),

3 1 3 1 1 得函数 y=f(x)的一个周期为 2, 故 f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0, f -2 =f 2 =- .所以 f(3)+f -2 =0+ -4 =- 4 1 . 4 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、 单调性和周期性以及函数图象的对称性, 在解题中根据问题的条件通过变换函 数的解析式或者已知的函数关系,推证函数的性质,根据函数的性质解决问题. (1)(2013· 重庆改编)已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则 f(lg(lg 2))=________. (2) 已 知 函 数 f(x) = x3 + x , 对 任 意 的 m∈[ - 2,2] , f(mx - 2) + f(x)<0 恒 成 立 , 则 x 的 取 值 范 围 为 ________________________________________________________________________ . 答案 解析

( ) ()

( )

( )

) 1 (1)lg(log 10)=lg(lg 2)=-lg(lg 2),
(1)3 2 (2) -2,3
2

(

由 f(lg(log210))=5,得 a[lg(lg 2)]3+bsin(lg(lg 2))=4-5=-1,则 f(lg(lg 2))=a(lg(lg 2))3+bsin(lg(lg 2))+4=-1+4=3. (2)易知 f(x)为增函数. 又 f(x)为奇函数,由 f(mx-2)+f(x)<0 知, f(mx-2)<f(-x). ∴mx-2<-x,即 mx+x-2<0, 令 g(m)=mx+x-2, 由 m∈[-2,2]知 g(m)<0 恒成立, ?g?-2?=-x-2<0, 2 即? ∴-2<x< . 3 ?g?2?=3x-2<0, 热点二 例2 函数的图象 (1)下列四个图象可能是函数 y= 10ln|x+1| 图象的是________. x+1

1 (2)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,设 a=f(- ),b= 2 f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为________. 思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点,利用排除法确定图象.(2)考虑函数 f(x)的单调性. 答案 解析 (1)③ (2)b>a>c (1)函数的定义域为{x|x≠-1},其图象可由 y= 10ln|x| 10ln|x| 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位而得到,y= 为奇函数,图 x x

象关于原点对称,所以,y=

10ln|x+1| 的图象关于点(-1,0)成中心对称.所以①④不可能是; x+1

又 x>0 时,y=

10ln|x+1| >0,所以②不可能是,图象③可能是. x+1

(2)由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称, 故函数 y=f(x)的图象本身关于直线 x=1 对称, 所以 a 1 5 =f(- )=f( ),当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,等价于函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以 b>a>c. 2 2 思维升华 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.尤其注意 y=f(x)与 y =f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|及 y=af(x)+b 的相互关系. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系. (3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
2 ?-x +2x,x≤0, (1)(2013· 课标全国Ⅰ改编)已知函数 f(x)=? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是________. ?ln?x+1?,x>0.

b (2)形如 y= (a>0,b>0)的函数,因其图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把它称为“囧函数”.若当 a=1,b=1 时 |x|-a 的“囧函数”与函数 y=lg |x|图象的交点个数为 n,则 n=________. 答案 解析 (1)[-2,0] (2)4

(1)函数 y=|f(x)|的图象如图.

①当 a=0 时,|f(x)|≥ax 显然成立. ②当 a>0 时,只需在 x>0 时,ln(x+1)≥ax 成立. 比较对数函数与一次函数 y=ax 的增长速度. 显然不存在 a>0 使 ln(x+1)≥ax 在 x>0 上恒成立. ③当 a<0 时,只需在 x<0 时,x2-2x≥ax 成立. 即 a≥x-2 成立,所以 a≥-2.综上所述:-2≤a≤0. (2)由题意知,当 a=1,b=1 时, 1 y= |x|-1

? 1 ?x≥0且x≠1?, ?x-1 =? 1 ? ?-x+1?x<0且x≠-1?,
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数 y=lg|x|的图象如图所示,易知它们有 4 个交点.

热点三

基本初等函数的图象及性质

例3

?log2x,x>0, (1)若函数 f(x)=? 1 ?log2?-x?,x<0,

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是________.

π π (2)已知 α,β∈[- , ]且 αsin α-βsin β>0,则下面结论正确的是________. 2 2

①α>β;②α+β>0;③α<β;④α2>β2. 思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定 a 的范围;(2)构造函数 f(x)=xsin x,利用 f(x)的单调性. 答案 解析 (1)(-1,0)∪(1,+∞) (2)④

(1)方法一 由题意作出 y=f(x)的图象如图.

显然当 a>1 或-1<a<0 时,满足 f(a)>f(-a). 方法二 对 a 分类讨论:
2

当 a>0 时,log2a>log1a,即 log2a>0,∴a>1. 当 a<0 时,log1(-a)>log2(-a),即 log2(-a)<0,
2

∴-1<a<0. π π (2)设 f(x)=xsin x,x∈[- , ], 2 2 ∴y′=xcos x+sin x=cos x(x+tan x), π 当 x∈[- ,0]时,y′<0,∴f(x)为减函数, 2 π 当 x∈[0, ]时,y′>0,∴f(x)为增函数, 2 且函数 f(x)为偶函数,又 αsin α-βsin β>0, ∴αsin α>βsin β,∴|α|>|β|,∴α2>β2. 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数,是高考的必考内容之一,重点考

查图象、性质及其应用,同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算. (2)比较数式大小问题,往往利用函数图 象或者函数的单调性. 1 1 1 (1)设 <( )b<( )a<1,那么 aa,ba,ab 的大小关系式是________. 5 5 5 ?f?x?,x≥0, 1 (2)已知函数 f(x)=2x- x,函数 g(x)=? 则函数 g(x)的最小值是________. 2 ?f?-x?,x<0, 答案 解析 (1)ab<aa<ba (2)0

1 1 1 1 (1)因为指数函数 y=( )x 在(-∞,+∞)上是递减函数,所以由 <( )b<( )a<1, 5 5 5 5

a 得 0<a<b<1,所以 0< <1. b a a 所以 y=ax,y=bx,y=( )x 在(-∞,+∞)上都是递减函数,从而 ab<aa,( )a<1 得 ba>aa, b b 故 ab<aa<ba. 1 1 - (2)当 x≥0 时,g(x)=f(x)=2x- x为单调增函数,所以 g(x)≥g(0)=0;当 x<0 时,g(x)=f(-x)=2 x- -x为单调减函数,所以 2 2 g(x)>g(0)=0,所以函数 g(x)的最小值是 0.

1.判断函数单调性的常用方法

(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察. (2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数单调性的判断问题. (3)对于解析式较复杂的一般用导数法. (4)对于抽象函数一般用定义法. 2.函数奇偶性的应用 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性,是函数的整体特性. 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上,是简化问题的一种途径.尤其注意 偶函数 f(x)的性质:f(|x|)=f(x). 3.函数图象的对称性 (1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称.提醒:函数 y=f(a+x)与 y=f(a -x)的图象对称轴为 x=0,并非直线 x=a. (2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x= a+b 对称. 2

(3)若函数 y=f(x)满足 f(x)=2b-f(2a-x),则该函数图象关于点(a,b)成中心对称. 4.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的相互关系,能用函数与方程、分 类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题,高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中,并且 大都出现在解答题中. 5.指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数 a 的范围. 比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时,一般是构造同底的对数函数,若底数不同,可运用换底公式化为同底 的对数,三数比较大小时,注意与 0 比较或与 1 比较. 6.解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.

1.设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 2.(2014· 浙江改编)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax 的图象可能是________.

1 3.(2014· 朝阳模拟)已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lg x,则 f?f 100 ? 4.设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.


( )? ?的值为________.

5.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则 f(x-2)>0 的解集为________.

6.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是________.

?log3x,x>0, 7.函数 f(x)=? 的图象上关于 y 轴对称的点共有________对. ?cos πx,x<0 1 8. (2013· 天津)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞)上单调递增. 若实数 a 满足 f(log2a)+f(log a)≤2f(1), 2 则 a 的取值范围是________.

?1ex?x≥2?, 9.已知函数 f(x)=?3 ?f?x+1??x<2?,
为________.

则 f(ln 3)=________.

10.已知函数 f(x)=x|x-a|,若对任意的 x1,x2∈[2,+∞),且 x1≠x2,(x1-x2)· [f(x1)-f(x2)]>0 恒成立,则实数 a 的取值范围

ax+1,-1≤x<0, ? ? 11.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=?bx+2 ? x+1 ,0≤x≤1, ? 则 a+3b 的值为________. 12.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件: ①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4)=f(x); ②对于任意的 x1,x2∈R,且 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2); ③函数 y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称. 则判断 f(4.5),f(6.5),f(7)的大小关系为________. 1+?-1?x 13.设函数 f(x)= (x∈Z),给出以下三个结论: 2 ①f(x)为偶函数;②f(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中正确结论的序号是________.

1 3 其中 a,b∈R.若 f 2 =f 2 ,

() ()

14. 能够把圆 O: x2+y2=16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐函数”, 下列函数是圆 O 的“和 谐函数”的是________. ①f(x)=ex+e x;②f(x)=ln


5-x x ;③f(x)=tan ;④f(x)=4x3+x. 2 5+x

第2讲
考情解读

函数的应用

(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以填空题的形式出现.(2)函数的实

际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题.

1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数 f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象交点的横坐标. (3)零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,

即存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解. 2.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是(1)阅读理解,审清题意:分 析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式; (3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.

热点一 例1

函数的零点 (1)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是________.

1 ? ?cos πx,x∈[0,2], (2)(2014· 辽宁改编)已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=? 1 ? ?2x-1,x∈?2,+∞?,

1 则不等式 f(x-1)≤ 的解集为________. 2

思维升华 (1)根据二分法原理,逐个判断;(2)画出函数图象,利用数形结合思想解决. 答案 解析 (1)1 1 2 4 7 (2)[ , ]∪[ , ] 4 3 3 4

(1)先判断函数的单调性,再确定零点.

因为 f′(x)=2xln 2+3x2>0, 所以函数 f(x)=2x+x3-2 在(0,1)上递增, 且 f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0, 所以有 1 个零点. (2)先画出 y 轴右边的图象,如图所示.

1 ∵f(x)是偶函数,∴图象关于 y 轴对称,∴可画出 y 轴左边的图象,再画直线 y= .设与曲线交于点 A,B,C,D,先分别求 2 出 A,B 两点的横坐标. 1 1 π 1 令 cos πx= ,∵x∈[0, ],∴πx= ,∴x= . 2 2 3 3 1 3 1 3 令 2x-1= ,∴x= ,∴xA= ,xB= . 2 4 3 4 1 3 1 根据对称性可知直线 y= 与曲线另外两个交点的横坐标为 xC=- ,xD=- . 2 4 3 1 1 ∵f(x-1)≤ ,则在直线 y= 上及其下方的图象满足, 2 2 1 3 3 1 ∴ ≤x-1≤ 或- ≤x-1≤- , 3 4 4 3 4 7 1 2 ∴ ≤x≤ 或 ≤x≤ . 3 4 4 3 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有①函数零点值大致存在区间的确定;②零点个数的确定;③两函数

图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是 方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解. 1 (1)已知函数 f(x)=( )x-cos x,则 f(x)在[0,2π]上的零点个数是________. 4 (2)已知 a 是函数 f(x)=2x-log1x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)和 0 的大小关系是________.
2

答案 解析

(1)3

(2)f(x0)<0

1 1 (1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数 y=( )x 和 y=cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数,而函数 y=( )x 和 y=cos x 的 4 4

图象在[0,2π]上的交点有 3 个. (2)∵f(x)=2x-log1x 在(0,+∞)上是增函数,又 a 是函数 f(x)=2x-log1x 的零点,即 f(a)=0,∴当 0<x0<a 时,f(x0)<0.
2 2

热点二 例2

函数的零点与参数的范围 ?b,a-b≥1, (2014· 常州高三模拟)对任意实数 a,b 定义运算“?”:a?b=? 设 f(x)=(x2-1)?(4+x),若函数 y=f(x) ?a,a-b<1.

+k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取值范围是________. 思维启迪 先确定函数 f(x)的解析式,再利用数形结合思想求 k 的范围. 答案 解析 [-2,1) 解不等式 x2-1-(4+x)≥1,

得 x≤-2 或 x≥3, ?x+4,x∈?-∞,-2]∪[3,+∞?, 所以 f(x)=? 2 ?x -1,x∈?-2,3?. 函数 y=f(x)+k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点转化为函数 y=f(x)的图象和直线 y=-k 恰有三个不同交点. 如图,所以-1<-k≤2,故-2≤k<1.

思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围,可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数;也可以利用函数方程思想, 构造关于参数的方程或不等式进行求解. 定义在 R 上的函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的单调增区间为(-1,1),若方程 3a(f(x))2+2bf(x)+c=0 恰有 6 个 不同的实根,则实数 a 的取值范围是________. 答案 解析 1 (-∞,- ) 2 ∵函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的单调增区间为(-1,1),∴-1 和 1 是 f′(x)=0 的根,

∵f′(x)=3ax2+2bx+c, 2b ? ??-1?+1=-3a, ∴? c ? ??-1?×1=3a, ∴f(x)=ax3-3ax, ∵3a(f(x))2+2bf(x)+c=0, ∴3a(f(x))2-3a=0,∴f2(x)=1,∴f(x)=± 1,

∴b=0,c=-3a,

?f?1?>1, ?a-3a>1, 1 ∴? 即? ∴a<- . 2 ?f?-1?<-1, ?-a+3a<-1, 热点三 例 3 函数的实际应用问题 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻

x 2 1 x(时)的关系为 f(x)=| 2 -a|+2a+ ,x∈[0,24],其中 a 是与气象有关的参数,且 a∈[0, ],若用每天 f(x)的最大值为当 3 2 x +1 天的综合放射性污染指数,并记作 M(a). x (1)令 t= 2 ,x∈[0,24],求 t 的取值范围; x +1 (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标? 思维启迪 (1)分 x=0 和 x≠0 两种情况,当 x≠0 时变形使用基本不等式求解. 2 (2)利用换元法把函数 f(x)转化成 g(t)=|t-a|+2a+ ,再把函数 g(t)写成分段函数后求 M(a). 3 解 1 x 1 1 1 (1)当 x=0 时,t=0;当 0<x≤24 时,x+ ≥2(当 x=1 时取等号),∴t= 2 = ∈(0, ],即 t 的取值范围是[0, ]. x 1 2 2 x +1 x+ x

2 ? -t+3a+ ,0≤t≤a, ? 3 1 2 (2)当 a∈[0, ]时,记 g(t)=|t-a|+2a+ ,则 g(t)=? 2 3 2 1 ? ?t+a+3,a<t≤2. 1 2 1 7 1 1 ∵g(t)在[0,a]上单调递减,在(a, ]上单调递增,且 g(0)=3a+ ,g( )=a+ ,g(0)-g( )=2(a- ). 2 3 2 6 2 4 1 1 ? ?g?2?,0≤a≤4, 故 M(a)=? 1 1 ? ?g?0?,4<a≤2. 7 1 ? ?a+6,0≤a≤4, 即 M(a)=? 2 1 1 ? ?3a+3,4<a≤2.

1 7 当 0≤a≤ 时,M(a)=a+ <2 显然成立; 4 6 2 ? ?3a+3≤2, 由? 1 1 ? ?4<a≤2, 思维升华

1 4 4 4 4 1 得 <a≤ ,∴当且仅当 0≤a≤ 时,M(a)≤2.故当 0≤a≤ 时不超标,当 <a≤ 时超标. 4 9 9 9 9 2

(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,

然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法及导数法. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内 生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万元,且 R(x)= 1 2 ? ?10.8-30x ?0<x≤10?, ?108 1 000 ? ? x - 3x2 ?x>10?. (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本) 解 (1)当 0<x≤10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- 1 000 -2.7x. 3x x3 -10; 30

当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-

x ? ?8.1x-30-10 ?0<x≤10?, ∴W=? 1 000 ? ?98- 3x -2.7x ?x>10?. (2)①当 0<x≤10 时,由 W′=8.1- x2 =0, 10

3

得 x=9,且当 x∈(0,9)时,W′>0; 当 x∈(9,10)时,W′<0,∴当 x=9 时,W 取得最大值,且 Wmax=8.1×9- ②当 x>10 时,W=98- 故当 x= +2.7x)≤98-2 (1 3000 x 1 3 · 9 -10=38.6. 30

1 000 1 000 100 · 2.7x=38,当且仅当 =2.7x,即 x= 时,W=38, 3x 3x 9

100 时,W 取最大值 38. 9

综合①②知:当 x=9 时,W 取最大值 38.6 万元,故当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.

错误!错误!
1.函数与方程 (1)函数 f(x)有零点?方程 f(x)=0 有根?函数 f(x)的图象与 x 轴有交点. (2)函数 f(x)的零点存在性定理: 如果函数 f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的曲线, 并且有 f(a)· f(b)<0, 那么, 函数 f(x)在区间(a, b)内有零点, 即存在 c∈(a, b),使 f(c)=0. ①如果函数 f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并且函数 f(x)在区间[a,b]上是一个单调函数,那么当 f(a)· f(b)<0 时,函数 f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的 c∈(a,b),使 f(c)=0. ②如果函数 f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并且有 f(a)· f(b)>0,那么,函数 f(x)在区间(a,b)内不一定没有零 点. 2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条 件,尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析,处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基 本问题来解决. 3.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题 建模 求解 反馈 ? ? ? ?文字语言? ?数学语言? ?数学应用? ?检验作答? 与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解 答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.

一、填空题 1.函数 f(x)=x2-2x 的零点个数为________. 2.若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点是________. 3.f(x)=2sin πx-x+1 的零点个数为________. ?x,x≤0, 4.设函数 f(x)=? 2 若方程 f(x)=m 有三个不同的实根,则实数 m 的取值范围为________. ?x -x,x>0, 5.(2013· 江西改编)如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1,l2 之间,l∥l1,l 与半圆相交于 F、G 两点, 与三角形 ABC 两边相交于 E、 D 两点.设弧 FG 的长为 x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若 l 从 l1 平行移动到 l2,则函数 y=f(x)

的图象大致是________.

. 6.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:
2 ?x +2,x∈[0,1?, 2x+5 f(x)=? 且 f(x+2)=f(x),g(x)= ,则方程 f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为________. 2 x+2 ?2-x ,x∈[-1,0?, x ?2 -a,x≤0, 7.若函数 f(x)=? 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. ?ln x,x>0

?e , x<1, 8.(2014· 课标全国Ⅰ)设函数 f(x)=? 1 ?x3, x≥1,

x-1

则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________.

1 9.已知函数 f(x)= -m|x|有三个零点,则实数 m 的取值范围为________. x+2 10.若对于定义在 R 上的函数 f(x),其图象是连续不断的,且存在常数 λ(λ∈R)使得 f(x+λ)+λf(x)=0 对任意实数都成立,则 称 f(x)是一个“λ-伴随函数”.有下列关于“λ-伴随函数”的结论:①f(x)=0 是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”; 1 ②f(x)=x 是“λ-伴随函数”;③f(x)=x2 是“λ-伴随函数”;④“ -伴随函数”至少有一个零点. 2 其中正确结论的个数是________. 二、解答题 11.设函数 f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的零点; (2)若对任意 b∈R,函数 f(x)恒有两个不同零点,求实数 a 的取值范围.

12.随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2a 人(140<2a<420,且 a 为偶数),每人每年 可创利 b 万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员 1 人,则留岗职员每人每年多创利 0.01b 万元,但公司需付下岗 3 职员每人每年 0.4b 万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 ,为获得最大的经济效益,该公司应 4 裁员多少人?

13.是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求

出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

第3讲
考情解读

导数及其应用

(1)导数的意义和运算是导数应用的基础,是高考的一个热点.(2)利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或

参数的值,突出考查导数的工具性作用.

1.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数值就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数 f(x)=x3 在(-∞,+∞)上单调递增,但 f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件, 当函数在某个区间内恒有 f′(x)=0 时, 则 f(x)为常函数, 函数不具有单调性. 3.函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.

热点一 例1

导数的运算和几何意义 (1)(2014· 广东)曲线 y=e
-5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________.

5 (2)在平面直角坐标系 xOy 中,设 A 是曲线 C1:y=ax3+1(a>0)与曲线 C2:x2+y2= 的一个公共点,若 C1 在 A 处的切线与 2 C2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是________. 思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率,写出点斜式方程,再化为一般式方程.(2)A 点坐标是解题的关键点, 列方程求出. 答案 解析 (1)5x+y-3=0 (1)因为 y′=e
-5x

(2)4 (-5x)′=-5e
-5x



所以 y′|x=0=-5,故切线方程为 y-3=-5(x-0),即 5x+y-3=0. 1 x0 (2)设 A(x0,y0),则 C1 在 A 处的切线的斜率为 f′(x0)=3ax20,C2 在 A 处的切线的斜率为- =- , kOA y0 又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直, x0 3 5 1 所以(- )· 3ax20=-1,即 y0=3ax30,又 ax30=y0-1,所以 y0= ,代入 C2:x2+y2= ,得 x0=± , y0 2 2 2 1 3 将 x0=± ,y0= 代入 y=ax3+1(a>0),得 a=4. 2 2 思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异, 过点 P 的切线中, 点 P 不一定是切点, 点 P 也不一定在已知曲线上,而在点 P 处的切线,必以点 P 为切点. (2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的 关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解. π π (1)已知函数 y=f(x)的导函数为 f′(x)且 f(x)=x2f′( )+sin x,则 f′( )=________. 3 3 π (2)若曲线 f(x)=xsin x+1 在 x= 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a=________. 2

答案 解析

3 (1) 6-4π

(2)2

π π π π π π π 3 (1)因为 f(x)=x2f′( )+sin x,所以 f′(x)=2xf′( )+cos x.所以 f′( )=2× f′( )+cos .所以 f′( )= . 3 3 3 3 3 3 3 6-4π

π π (2)f′(x)=sin x+xcos x,f′( )=1,即函数 f(x)=xsin x+1 在点 x= 处的切线的斜率是 1, 2 2 a a 直线 ax+2y+1=0 的斜率是- ,所以(- )×1=-1,解得 a=2. 2 2 热点二 例2 利用导数研究函数的性质 已知函数 f(x)=(x+a)ex,其中 e 是自然对数的底数,a∈R.

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[0,4]时,求函数 f(x)的最小值. 思维启迪 (1)直接求 f′(x),利用 f′(x)的符号确定单调区间;(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系,一般情况下,f(x) 的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到. 解 (1)因为 f(x)=(x+a)ex,x∈R,

所以 f′(x)=(x+a+1)ex.令 f′(x)=0,得 x=-a-1. 当 x 变化时,f(x)和 f′(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x) 故 f(x)的单调减区间为(-∞,-a-1), 单调增区间为(-a-1,+∞). (2)由(1)得,f(x)的单调减区间为(-∞,-a-1); 单调增区间为(-a-1,+∞). 所以当-a-1≤0,即 a≥-1 时,f(x)在[0,4]上单调递增,故 f(x)在[0,4]上的最小值为 f(x)min=f(0)=a; 当 0<-a-1<4,即-5<a<-1 时, f(x)在(0,-a-1)上单调递减, f(x)在(-a-1,4)上单调递增, 故 f(x)在[0,4]上的最小值为 f(x)min=f(-a-1) =-e
-a-1

(-∞,-a-1) -

-a-1 0

(-a-1,+∞) +



当-a-1≥4,即 a≤-5 时,f(x)在[0,4]上单调递减, 故 f(x)在[0,4]上的最小值为 f(x)min=f(4) =(a+4)e4. a, ? ? a1 , 所以函数 f(x)在[0,4]上的最小值为 f(x)min=?-e 4 ? ? a + 4 ? e , ?
- -

a≥-1, -5<a<-1, a≤-5.

思维升华 利用导数研究函数性质的一般步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导函数 f′(x); (3)①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ②若已知函数的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题来求解. (4)①若求极值,则先求方程 f′(x)=0 的根,再检查 f′(x)在方程根的左右函数值的符号.

②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程 f′(x)=0 根的大小或存在情况来求解. (5)求函数 f(x)在闭区间[a,b]的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值 f(a),f(b)与 f(x)的各极值进行比较得 到函数的最值. 2a 已知函数 f(x)=ln x+ ,a∈R. x (1)若函数 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 3,求实数 a 的值. 解 (1)∵f(x)=ln x+ 2a 1 2a ,∴f′(x)= - 2 . x x x

∵f(x)在[2,+∞)上是增函数, 1 2a ∴f′(x)= - 2 ≥0 在[2,+∞)上恒成立, x x x 即 a≤ 在[2,+∞)上恒成立. 2 x 令 g(x)= ,则 a≤g(x)min, x∈[2,+∞), 2 x ∵g(x)= 在[2,+∞)上是增函数, 2 ∴g(x)min=g(2)=1. ∴a≤1,即实数 a 的取值范围为(-∞,1]. (2)由(1)得 f′(x)= x-2a ,x∈[1,e]. x2

①若 2a<1,则 x-2a>0,即 f′(x)>0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上是增函数. 3 所以 f(x)min=f(1)=2a=3,解得 a= (舍去). 2 ②若 1≤2a≤e,令 f′(x)=0,得 x=2a. 当 1<x<2a 时,f′(x)<0, 所以 f(x)在(1,2a)上是减函数,当 2a<x<e 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(2a,e)上是增函数. 所以 f(x)min=f(2a)=ln(2a)+1=3, e2 解得 a= (舍去). 2 ③若 2a>e,则 x-2a<0,即 f′(x)<0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上是减函数. 所以 f(x)min=f(e)=1+ 综上 a=e. 热点三 例3 导数与方程、不等式 a 已知函数 f(x)=ln x,g(x)= (a>0),设 F(x)=f(x)+g(x). x 2a =3,得 a=e,适合题意. e

(1)求函数 F(x)的单调区间; 1 (2)若以函数 y=F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k≤ 恒成立,求实数 a 的最小值; 2 (3)是否存在实数 m,使得函数 y=g( 2a )+m-1 的图象与函数 y=f(1+x2)的图象恰有四个不同交点?若存在,求出实数 m x2+1

的取值范围;若不存在,说明理由. 1 思维启迪 (1)利用 F′(x)确定单调区间;(2)k=F′(x0),F′(x0)≤ 分离 a,利用函数思想求 a 的最小值;(3)利用数形结合 2

思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化. 解 a (1)F(x)=f(x)+g(x)=ln x+ (x>0), x

1 a x-a F′(x)= - 2= 2 . x x x ∵a>0,由 F′(x)>0?x∈(a,+∞), ∴F(x)在(a,+∞)上是增函数. 由 F′(x)<0?x∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上是减函数. ∴F(x)的单调递减区间为(0,a), 单调递增区间为(a,+∞). (2)由 F′(x)= x-a (0<x≤3)得 x2

x0-a 1 1 k=F′(x0)= 2 ≤ (0<x0≤3)恒成立?a≥- x2 +x 恒成立. x0 2 2 0 0 1 1 ∵当 x0=1 时,- x2 +x 取得最大值 , 2 0 0 2 1 1 ∴a≥ ,即 a 的最小值为 . 2 2 2a 1 1 1 1 (3)若 y=g( 2 )+m-1= x2+m- 的图象与 y=f(1+x2)=ln(x2+1)的图象恰有四个不同交点, 即 x2+m- =ln(x2+1)有四 2 2 2 2 x +1 个不同的根, 1 1 亦即 m=ln(x2+1)- x2+ 有四个不同的根. 2 2 1 1 令 G(x)=ln(x2+1)- x2+ . 2 2 2x-x3-x -x?x+1??x-1? 2x 则 G′(x)= 2 -x= 2 = x +1 x +1 x2+1 当 x 变化时,G′(x)和 G(x)的变化情况如下表: (-∞,-1) G′(x)的符号 G(x)的单调性 1 由表知 G(x)极小值=G(0)= , 2 G(x)极大值=G(-1)=G(1)=ln 2. 1 1 又由 G(2)=G(-2)=ln 5-2+ < 可知, 2 2 1 1 2a 当 m∈( ,ln 2)时,y=G(x)与 y=m 恰有四个不同交点.故存在 m∈( ,ln 2),使函数 y=g( 2 )+m-1 的图象与 y=f(1+ 2 2 x +1 x2)的图象恰有四个不同交点. 思维升华 研究方程及不等式问题,都要运用函数性质,而导数是研究函数性质的一种重要工具.基本思路是构造函数,通 过导数的方法研究这个函数的单调性、 极值和特殊点的函数值, 根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数, 必要时画出函数的草图辅助思考. 已知函数 f(x)=a(x2+1)+ln x. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若对任意 a∈(-4,-2)及 x∈[1,3],恒有 ma-f(x)>a2 成立,求实数 m 的取值范围. 解 1 2ax2+1 (1)由已知,得 f′(x)=2ax+ = (x>0). x x + (-1,0) - (0,1) + (1,+∞) -

①当 a≥0 时,恒有 f′(x)>0,则 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ②当 a<0 时,若 0<x< 则 f′(x)>0,故 f(x)在(0, 若 x> 故 f(x)在[ - - 1 , 2a - 1 ]上是增函数; 2a

1 ,则 f′(x)<0, 2a - 1 ,+∞)上是减函数. 2a

综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,f(x)在(0, - 1 ]上是增函数,在[ 2a - 1 ,+∞)上是减函数. 2a

(2)由题意,知对任意 a∈(-4,-2)及 x∈[1,3], 恒有 ma-f(x)>a2 成立,等价于 ma-a2>f(x)max. 因为 a∈(-4,-2),所以 2 < 4 - 1 1 < <1. 2a 2

由(1),知当 a∈(-4,-2)时,f(x)在[1,3]上是减函数, 所以 f(x)max=f(1)=2a, 所以 ma-a2>2a,即 m<a+2. 因为 a∈(-4,-2),所以-2<a+2<0. 所以实数 m 的取值范围为 m≤-2.

错误!错误!错误!
1.函数单调性的应用 (1)若可导函数 f(x)在(a,b)上单调递增,则 f′(x)≥0 在区间(a,b)上恒成立; (2)若可导函数 f(x)在(a,b)上单调递减,则 f′(x)≤0 在区间(a,b)上恒成立; (3)可导函数 f(x)在区间(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的必要不充分条件. 2.可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定,也有可能极小值大于极大值; (2)对于可导函数 f(x),“f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x)=0”是“f(x)在 x=x0 处取得极值”的必要不充分条件; (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系,导函数由正变负的零点是原函数的极大值点,导函数由负变正的零点是原函数 的极小值点. 3.利用导数解决优化问题的步骤 (1)审题设未知数;(2)结合题意列出函数关系式;(3)确定函数的定义域;(4)在定义域内求极值、最值;(5)下结论.

一、填空题 1.曲线 y=x3-2x 在(1,-1)处的切线方程为________. 2.(2014· 课标全国Ⅱ改编)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=________. 3.(2014· 陕西改编)如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降,已知下降飞行轨 迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为________.

4 . 函 数 f(x) 的 定 义 域 是 R , f(0) = 2 , 对 任 意 x∈R , f(x) + f′(x)>1 , 则 不 等 式 ex· f(x)>ex + 1 的 解 集 为 ________________________________________________________________________ . 1 5.若函数 f(x)=loga(x3-ax)(a>0,a≠1)在区间(- ,0)内单调递增,则 a 的取值范围是________. 2 6.设 f(x),g(x)在[a,b]上可导,且 f′(x)>g′(x),则当 a<x<b 时,下列结论正确的是________. ①f(x)>g(x);②f(x)<g(x);③f(x)+g(a)>g(x)+f(a);④f(x)+g(b)>g(x)+f(b). ax+1 7.若函数 f(x)= 在 x∈(2,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是________. x+2 8.已知函数 f(x)=mx3+nx2 的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行,若 f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实 数 t 的取值范围是__________. 1 9.已知函数 f(x)=- x2+4x-3ln x 在[t,t+1]上不单调,则 t 的取值范围是____________. 2 10.已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是________. 二、解答题 x a 3 1 11.(2014· 重庆)已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x. 4 x 2 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 12.已知 f(x)=x2+3x+1,g(x)= a-1 +x. x-1

(1)a=2 时,求 y=f(x)和 y=g(x)图象的公共点个数; (2)a 为何值时,y=f(x)和 y=g(x)的公共点个数恰为两个. 13.设函数 f(x)=aex(x+1)(其中,e=2.718 28?),g(x)=x2+bx+2,已知它们在 x=0 处有相同的切线. (1)求函数 f(x),g(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值; (3)若对?x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围.

专题一:
1.答案 解析 -9 令 g(x)=f(x)-1=x3cos x,∵g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cos x=-g(x),

∴g(x)为定义在 R 上的奇函数.又∵f(a)=11,∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10. 又 g(-a)=f(-a)-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-9. 2.答案 解析 ④ 幂函数 f(x)=xa 的图象不过(0,1)点,图象①不正确;②由对数函数 f(x)=logax 的图象知 0<a<1,而此时幂函数 f(x)=xa

的图象应是增长越来越慢的变化趋势,故②错;图象③中由对数函数 f(x)=logax 的图象知 a>1,而此时幂函数 f(x)=xa 的图 象应是增长越来越快的变化趋势,故③错.图象④是正确的. 3.答案 解析 -lg 2 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=lg(-x).又函数 f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),

1 1 1 所以当 x<0 时,f(x)=-lg(-x).所以 f 100 =lg =-2,f?f 100 100 ? 4.答案 解析 -1

( )

( )? ?=f(-2)=-lg 2.
- -

因为 f(x)是偶函数,所以恒有 f(-x)=f(x),即-x(e x+aex)=x(ex+ae x),化简得 x(e x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意


实数 x 都成立,所以 a=-1. 5.答案 解析 {x|x<0 或 x>4} 由于函数 f(x)是偶函数,因此有 f(|x|)=f(x),不等式 f(x-2)>0,即 f(|x-2|)>0,f(|x-2|)=2|x 2|-4>0,|x-2|>2,即 x-


2<-2 或 x-2>2,由此解得 x<0 或 x>4.∴f(x-2)>0 的解集为{x|x<0 或 x>4}. 6.答案 解析 (-1,0) 在同一坐标系内作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象,知满足条件的 x∈(-1,0).

7.答案 解析

3 因为 y=cos πx 是偶函数,图象关于 y 轴对称.

所以,本题可转化成求函数 y=log3x 与 y=cos πx 图象的交点个数的问题.

作函数图象如图,可知它们有三个交点,即函数 f(x)图象上关于 y 轴对称的点有 3 对. 8.答案 解析 ,2 [1 2 ] 1 1 - 由题意知 a>0,又 log a=log2a 1=-log2a.∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log a). 2 2

1 ∵f(log2a)+f(log a)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1).又∵f(x)在[0,+∞)上递增. 2 1 ∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a∈ 2,2 . 9.答案 解析 e 1 f(ln 3)=f(ln 3+1)= eln 3+1=e,故填 e. 3 {a|a≤2}

[ ]

10.答案 解析

?x?x-a?,x≥a, f(x)=? 由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 知,函数 y=f(x)在[2,+∞)单调递增,当 a≤0 时,满足题意,当 ?-x?x-a?,x<a,

a>0 时,只需 a≤2,即 0<a≤2,综上所述,实数 a 的取值范围为 a≤2. 11.答案 解析 -10

3 3 1 1 1 因为 f(x)的周期为 2,所以 f 2 =f 2-2 =f -2 ,即 f 2 =f -2 .

() ( ) ( )

() ( )

b +2 2 1 1 b+4 b+4 1 1 2 又因为 f -2 =- a+1,f 2 = = ,所以- a+1= .整理,得 a=- (b+1).① 2 1 3 2 3 3 +1 2

( )

()

又因为 f(-1)=f(1),所以-a+1= 所以 a+3b=2+3×(-4)=-10. 12.答案 解析 f(4.5)<f(7)<f(6.5)

b+2 ,即 b=-2a.②将②代入①,得 a=2,b=-4. 2

1 1 由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线 x=2 对称的函数.所以 f(4.5)=f(4+ )=f( ), 2 2

5 5 f(7)=f(4+3)=f(3),f(6.5)=f(4+ )=f( ).又 f(x)在[0,2]上为增函数.所以作出其在[0,4]上的图象知 2 2 f(4.5)<f(7)<f(6.5). 13.答案 解析 + ①②③ 1+?-1?x 2
+1

对于 x∈Z, f(x)的图象为离散的点, 关于 y 轴对称, ①正确; f(x)为周期函数, T=2, ②正确; f(x+1)+f(x)=


1+?-1?x ?-1?x 1+?-1?x =1+ =1,③正确. 2 2 ②③④


14.答案 解析

由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过原点的奇函数.①中,f(0)=e0+e 0=2,所以 f(x)

5-0 5+ x 5- x - - =ex+e x 的图象不过原点,故 f(x)=ex+e x 不是“和谐函数”;②中 f(0)=ln =ln 1=0,且 f(-x)=ln =-ln = 5+0 5- x 5+ x 5- x -x x -f(x),所以 f(x)为奇函数,所以 f(x)=ln 为“和谐函数”;③中,f(0)=tan 0=0,且 f(-x)=tan =-tan =-f(x),f(x) 2 2 5+ x x 为奇函数,故 f(x)=tan 为“和谐函数”;④中,f(0)=0,且 f(x)为奇函数,故 f(x)=4x3+x 为“和谐函数”,所以,②③④ 2 中的函数都是“和谐函数”.

专题二: 1.答案 解析 3 1 - 由于 f(-1)=1-2 1= >0, 2

又 f(0)=0-1<0,则在区间(-1,0)内有 1 个零点; 又 f(2)=22-22=0,f(4)=42-24=0,故有 3 个零点. 2.答案 1 1 - ,- 2 3
2 ?2 -2a-b=0, ?a=5, 由? 2 得? ?3 -3a-b=0, ?b=-6.

解析

1 1 所以 g(x)=-6x2-5x-1 的零点为- ,- . 2 3 3.答案 解析 5 ∵2sin πx-x+1=0,∴2sin πx=x-1,图象如图所示,由图象看出 y=2sin πx 与 y=x-1 有 5 个交点,

∴f(x)=2sin πx-x+1 的零点个数为 5.

4.答案 解析

1 (- ,0) 4 作出函数 y=f(x)的图象,如图所示.

1 1 1 1 1 当 x>0 时,f(x)=x2-x=(x- )2- ≥- ,所以要使函数 f(x)=m 有三个不同的零点,则- <m<0,即 m 的取值范围为(- , 2 4 4 4 4 0). 5.答案 解析 ④ 如图所示,连结 OF,OG,过点 O 作 OM⊥FG,过点 A 作 AH⊥BC,交 DE 于点 N.

因为弧 FG 的长度为 x,所以∠FOG=x, x AN AE x 则 AN=OM=cos ,所以 = =cos , 2 AH AB 2 则 AE= 2 3 x 2 3 2 3 x cos ,所以 EB= - cos . 3 2 3 3 2 4 3 4 3 x 2 3 - cos + 3 3 2 3

所以 y=EB+BC+CD= =-

4 3 x cos +2 3(0<x<π).对照图象知④正确 3 2 -7 由题意知 g(x)= 2x+5 2?x+2?+1 1 = =2+ , 函数 f(x)的周期为 2, 则函数 f(x), g(x)在区间[-5,1]上的图象如图所示: x+2 x+2 x+2

6.答案 解析

由图形可知函数 f(x),g(x)在区间[-5,1]上的交点为 A,B,C, 易知点 B 的横坐标为-3,若设 C 的横坐标为 t(0<t<1),则点 A 的横坐标为-4-t,所以方程 f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所 有实根之和为-3+(-4-t)+t=-7. 7.答案 (0,1]

解析

当 x>0 时,由 f(x)=ln x=0,得 x=1.因为函数 f(x)有两个不同的零点,则当 x≤0 时,函数 f(x)=2x-a 有一个零点,

令 f(x)=0 得 a=2x,因为 0<2x≤20=1,所以 0<a≤1,所以实数 a 的取值范围是 0<a≤1. 8.答案 解析 (-∞,8] 当 x<1 时,x-1<0,ex 1<e0=1≤2,∴当 x<1 时满足 f(x)≤2.


1 当 x≥1 时,x ≤2,x≤23=8,1≤x≤8.综上可知 x∈(-∞,8]. 3 9.答案 解析 (1,+∞) 函数 f(x)有三个零点等价于方程 1 =m|x|有且仅有三个实根. x+2

1 1 1 ∵ =m|x|? =|x|(x+2),作函数 y=|x|(x+2)的图象,如图所示,由图象可知 m 应满足 0< <1,故 m>1. m m x+2

10.答案 1 解析 对于①,若 f(x)=c≠0,取 λ=-1,

则 f(x-1)-f(x)=c-c=0, 即 f(x)=c≠0 是一个“λ-伴随函数”,故①不正确. 对于②,若 f(x)=x 是一个“λ-伴随函数”, 则(x+λ)+λx=0,求得 λ=0 且 λ=-1,矛盾,故②不正确. 对于③,若 f(x)=x2 是一个“λ-伴随函数”, 则(x+λ)2+λx2=0,求得 λ=0 且 λ=-1,矛盾,故③不正确. 1 1 1 1 1 对于④,若 f(x)是“ -伴随函数”,则 f(x+ )+ f(x)=0,取 x=0,则 f( )+ f(0)=0, 2 2 2 2 2 1 若 f(0),f( )任意一个为 0,函数 f(x)有零点; 2 1 1 若 f(0),f( )均不为 0,则 f(0),f( )异号,由零点存在性定理, 2 2 1 知 f(x)在(0, )内存在零点 x0,所以④正确. 2 11.解 (1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-2x-3,

令 f(x)=0,得 x=3 或 x=-1.所以函数 f(x)的零点为 3 和-1. (2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0 有两个不同实根.所以 b2-4a(b-1)>0 恒成立, 即对于任意 b∈R,b2-4ab+4a>0 恒成立,所以有(-4a)2-4(4a)<0?a2-a<0,所以 0<a<1. 因此实数 a 的取值范围是(0,1). 12.解 令 f(x)=0, 8 8 则 Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=9(a- )2+ >0, 9 9 即 f(x)=0 有两个不相等的实数根,∴若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0, 1 ∴a≤- 或 a≥1. 5 检验(1)当 f(-1)=0 时,a=1,所以 f(x)=x2+x. 令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1.方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故 a≠1.

1 13 6 (2)当 f(3)=0 时,a=- ,此时 f(x)=x2- x- . 5 5 5 令 f(x)=0,即 x2- 13 6 2 x- =0,解得 x=- 或 x=3. 5 5 5

1 1 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故 a≠- .综上所述,a<- 或 a>1. 5 5

专题三: 1.答案 解析 x-y-2=0 由已知,得点(1,-1)在曲线 y=x3-2x 上,所以切线的斜率为 y′|x=1=(3x2-2)|x=1=1,由直线方程的点斜式得 x-y

-2=0. 2.答案 解析 3 1 令 f(x)=ax-ln(x+1),则 f′(x)=a- .由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为 f′(0)=a-1.又切线方 x+1

程为 y=2x,则有 a-1=2,所以 a=3. 3.答案 解析 y= 1 3 3 x- x 125 5

设所求解析式为 y=ax3+bx2+cx+d,

∵函数图象过(0,0)点,∴d=0. 又图象过(-5,2),(5,-2),∴函数为奇函数 ∴b=0,代入可得-125a-5c=2① 又 y′=3ax2+c,当 x=-5 时 y′=75a+c=0② 1 3 由①②得 a= ,c= 125 5 1 3 3 ∴函数解析式为 y= x - x. 125 5 4.答案 解析 {x|x>0} 构造函数 g(x)=ex· f(x)-ex,因为 g′(x)=ex· f(x)+ex· f′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)]-ex>ex-ex=0,所以 g(x)=ex· f(x)-ex

为 R 上的增函数.又因为 g(0)=e0· f(0)-e0=1,所以原不等式转化为 g(x)>g(0),解得 x>0.

3 5.答案 [ ,1) 4 解析 由 x3-ax>0 得 x(x2-a)>0.

?x>0, ?x<0, 则有? 2 或? 2 ?x -a>0 ?x -a<0, 所以 x> a或- a<x<0, 即函数 f(x)的定义域为( a,+∞)∪(- a,0). 令 g(x)=x3-ax,则 g′(x)=3x2-a. 由 g′(x)<0 得- 3a <x<0. 3

从而 g(x)在 x∈(-

? 1 ?- a≤-2 , 3a 1 ,0)上是减函数,又函数 f(x)在 x∈(- ,0)内单调递增,则有? 3 2 3a 1 ? ?- 3 ≤-2,

0<a<1,

3 所以 ≤a<1. 4 6.答案 解析 ③ ∵f′(x)-g′(x)>0,∴(f(x)-g(x))′>0,

∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数, ∴当 a<x<b 时 f(x)-g(x)>f(a)-g(a), ∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a). 7.答案 解析 8.答案 解析 1 (-∞, ) 2 f′(x)= ?ax+1?′?x+2?-?x+2?′?ax+1? a?x+2?-?ax+1? 2a-1 1 = = ,令 f′(x)<0,即 2a-1<0,解得 a< . 2 ?x+2?2 ?x+2?2 ?x+2?2

[-2,-1] 由题意知,点(-1,2)在函数 f(x)的图象上,

故-m+n=2.① 又 f′(x)=3mx2+2nx,则 f′(-1)=-3, 故 3m-2n=-3.② 联立①②解得:m=1,n=3,即 f(x)=x3+3x2, 令 f′(x)=3x2+6x≤0,解得-2≤x≤0, 则[t,t+1]?[-2,0],故 t≥-2 且 t+1≤0, 所以 t∈[-2,-1]. 9.答案 解析 =- 0<t<1 或 2<t<3 3 -x2+4x-3 f′(x)=-x+4- = x x ?x-1??x-3? ,由 f′(x)=0 得函数的两个极值点 1,3,则只要这两个极值点在区间(t,t+1)内,函数在区间[t,t+1]上就 x

不单调,由 t<1<t+1 或 t<3<t+1,解得 0<t<1 或 2<t<3. 10.答案 解析 1 (0, ) 2

1 f′(x)=(ln x-ax)+x( -a) x

=ln x+1-2ax(x>0), 令 f′(x)=0 得 2a= 设 φ(x)= ln x+1 , x ln x+1 , x

-ln x 则 φ′(x)= 2 . x 易知 φ(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,

大致图象如图. 若 f(x)有两个极值点, 则 y=2a 和 y=φ(x)图象有两个交点, 1 ∴0<2a<1,∴0<a< . 2 11.解 1 a 1 (1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- , 4 x x

1 3 5 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x 知,f′(1)=- -a=-2,解得 a= . 2 4 4 x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- , 4 4x 2 则 f′(x)= x2-4x-5 . 4x2

令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数; 当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5. 12.解 ?y=f?x?, (1)当 a=2 时,联立? ?y=g?x?,

1 得 x2+3x+1= +x, x-1 整理得 x3+x2-x-2=0(x≠1),

即联立 ?y=0, ? 3 2 ?y=x +x -x-2?x≠1?, 求导得 y′=3x2+2x-1=0 得 1 x1=-1,x2= , 3 1 得到极值点分别在-1 和 处, 3 且极大值、极小值都是负值,图象如图, 故交点只有一个. ?y=f?x?, a-1 (2)联立? 得 x2+3x+1= +x, x-1 y = g ? x ? , ? 整理得 a=x3+x2-x(x≠1), ?y=a, 1 即联立? 对 h(x)求导可以得到极值点分别在-1 和 处,画出草图如图. 3 2 3 ?y=h?x?=x +x -x ?x≠1?,

1 5 h(-1)=1,h( )=- , 3 27 当 a=h(-1)=1 时,y=a 与 y=h(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在 y=h(x)曲线上), 5 故 a=- 时恰有两个公共点. 27 13.解 (1)f′(x)=aex(x+2),g′(x)=2x+b.

由题意,得两函数在 x=0 处有相同的切线. ∴f′(0)=2a,g′(0)=b, ∴2a=b,f(0)=a,g(0)=2,∴a=2,b=4, ∴f(x)=2ex(x+1),g(x)=x2+4x+2. (2)f′(x)=2ex(x+2),由 f′(x)>0 得 x>-2, 由 f′(x)<0 得 x<-2, ∴f(x)在(-2,+∞)单调递增, 在(-∞,-2)单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2. ①当-3<t<-2 时,f(x)在[t,-2]上单调递减, 在[-2,t+1]上单调递增, ∴f(x)min=f(-2)=-2e 2.


②当 t≥-2 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增, ∴f(x)min=f(t)=2et(t+1);
2 ?-2e ?-3<t<-2?, ∴f(x)=? t ?2e ?t+1??t≥-2?.


(3)令 F(x)=kf(x)-g(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 由题意当 x≥-2 时,F(x)min≥0. ∵?x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立, ∴F(0)=2k-2≥0,∴k≥1. F′(x)=2kex(x+1)+2kex-2x-4 =2(x+2)(kex-1), 1 1 ∵x≥-2,由 F′(x)>0 得 ex> ,∴x>ln ; k k 1 1 1 由 F′(x)<0 得 x<ln ,∴F(x)在(-∞,ln )内单调递减,在[ln ,+∞)内单调递增. k k k 1 ①当 ln <-2,即 k>e2 时,F(x)在[-2,+∞)单调递增, k 2 - F(x)min=F(-2)=-2ke 2+2= 2(e2-k)<0, e 不满足 F(x)min≥0. 1 2 当 ln =-2,即 k=e2 时,由①知,F(x)min=F(-2)= 2(e2-k)=0,满足 F(x)min≥0. k e 1 1 1 ③当 ln >-2,即 1≤k<e2 时,F(x)在[-2,ln )内单调递减,在[ln ,+∞)内单调递增. k k k

1 F(x)min=F(ln )=ln k(2-ln k)>0, k 满足 F(x)min≥0. 综上所述,满足题意的 k 的取值范围为[1,e ].
2


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