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2011届高三数学上册统考检测试题1


河南省开封市 2010—2011 学年度高三年级统考 数学试题(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22;23 题为 选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后

,再选涂其他答案的标 号,非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整, 笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。 参考公式: 样本数据 x 1 , x 2 , ? , x n 的标准差;
1 n

s ?

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ( x n ? x ) ], 其中 x 为样本平均数;
2 2 2

柱体体积公式: V ? Sh , 其中 S 为底面面积 锥体体积公式: V ?
1 3 Sh , 其中 S 为底面面积
2

、h 为高;
, h 为高;
3

球的表面积、体积公式: S ? 4 ? R , V ?
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4 3

? R , 其中 R 为球的半径.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} , 集 合 A ? {1, 2, 5} , C U B ? {4, 5, 6} , 则 A ? B = A.{1,2} B.{5} C.{1,2,3} D.{3,4,6} ( )

2.已知 i 是虚数单位,则 A. 3 ? 3i

6i

3

1? i

等于 C. ? 3 ? 3i
2

( D. ? 3 ? 3i



B. 3 ? 3i
2

3.已知命题 p : ? x ? R , x ? 0 ;和命题 q : ? x ? Q , x ? 3, 则下列命题为真的是 ( A. p ? q
3



B. ( ? p ) ? q

C. p ? ( ? q )

D. ( ? p ) ? ( ? q ) ( )

4.已知 f ( x ) ? ? x ? x , x ? [ m , n ], 且 f ( m ) ? f ( n ) ? 0, 则 f ( x ) 在 区 间 ( m , n ) 上 A.有三个零点 B.有两个零点 C.有一个零点 D.不能确定

5.已知函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,则函 数 f ( x ) 的解析式为 A. f ( x ) ? 2 s in ( B. f ( x ) ? 2 s in ( C. f ( x ) ? 2 s in ( D. f ( x ) ? 2 s in (
1 2 1 2 1 2 1 2 x? x? x? x?


?
4 3? 4 ) )



?
4

) )

3? 4

6.如图所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶 点为圆心,半径为
a 2

的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板 ( )

上每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是 A. 1 ? B.
?
4

?
8

C. 1 ?

?
4

D.与 a 的值有关联 7.如图是一个算法的程序框图,若该程序输出的结果为 ,
5 4

则判断框中应填入的条件是 A.T>4 B.T<4





C.T>3

D.T<3
1 2 ,

8.设函数 f ( x )( x ? R ) 为奇函数, f (1) ?
f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ? f ( 2 ), 则 f (5) =





A.0 C.
5 2

B.1 D.5
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9.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座 灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点 间的距离是 ( ) A. 1 0 2 海里 B. 1 0 3 海里 C. 2 0 2 海里 D. 2 0 3 海里

10.如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,不一定成立的为 ( ) A.AC⊥BE B.AC//截面 PQMN C.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° D.AC=BD
?2e x ? 2 ? 11.设 f ( x ) ? ? ,则不等式 f ( x ) ? 2 的解集为 2 ? lo g 3 ( x ? 1) x ? 2 ?
x ?1





A. (1, 2 ) ? (3, ? ? ) C. (1, 2 ) ? ( 1 0 , ? ? )

B. ( 1 0 , ? ? ) D. (1,2)

12.在 ? A B C 中,| B C |? 2 | A B |, ? A B C ? 1 2 0 ? ,则以 A,B 为焦点且示点 C 的双曲线的 离心率为 A.
7 ? 2 3

( B.
6 ? 2 2



C. 7 ? 2

D. 3 ? 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题。每个试题考生都必须做答。 第 22 题~第 23 题为选考题,考试根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填写在答题卷指定位置) 13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 . ...

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14.某校为了解同三同学寒假期间学习情况,抽查了 100 名同学,统计他们每天平均学习时 间,绘成频率分布直方图(如图) ,则这 100 名同学中学习时间在 6 到 8 小时内的人数 为 人。
[来源:Ks5u.com]

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15.与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ? 1 2 x ? 1 2 y ? 5 4 ? 0 都相切的半径最小的圆的标
2 2

准方程是


2 2 2

16.在 ? A B C 中,角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,若 ( a ? c ? b ) tan B ? 角 B 的值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明。证明过程和演算步骤

3 a c ,则

17.本小题满分 12 分) ( 已知数列 { a n } 为等差数列, a 1 ? 1 .{ b n } 为等比数列, 且 数列 { a n ? b n } 的前三项依次为 3,7,13。求 (Ⅰ)数列 { a n } ,{ b n } 的通项公式; (Ⅱ)数列 { a n ? b n } 的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=CC1=2,? A C B ? 9 0 ? ,E、 F 分别是 BA、BC 的中点,G 是 AA1 上一点,且 A C 1 ? E G . (Ⅰ)确定点 G 的位置; (Ⅱ)求三棱锥 C1—EFG 的体积.

19. (本题满分 12 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问 卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 10 50
3 5

不喜爱打篮球 5

合计

已右在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)已知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢打羽毛球,B1,B2, B3 还喜欢打乒乓球,C1,C2 还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、 喜欢踢足球的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查, B1 和 C1 不全被选中的概 求 率。 下面的临界值表供参考:
p(K
2

? k)

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025
(源#网 KS5U.COM]

[来源:高&考%资

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

P (参考公式: K

5.024

?

n(ad ? bc)

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

, 其中 n ? a ? b ? c ? d )

20. (本小题满分 12 分)如图所示,已知 A、B、C 是椭圆 E :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 上三

点, 其中点 A 的坐标为 ( 2 3 , 0 ) , 过椭圆的中心 O, AC ?BC BC BC 且 ,| (Ⅰ)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程;

| ? AC 2|

|.

(Ⅱ)若椭圆 E 上存在两点 P,Q,使得 ? P C Q 的平分线总垂直于 z 轴,试判断向量
???? ??? ? P Q 与 A B 是否共线,并给出证明.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 3

x ? a x ? b 在 x ? ? 2 处有极值。
3 2

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 在[-3,3]上有且仅有一个零点,求 b 的取值范围。

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22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 l:几何证明选讲 如图,已知 AP 是圆 O 的切线,P 为切点,AC 是圆 O 的割线,与圆 O 交于 B,C 两点, 圆心 O 在 ? P A C 的内部,点 M 是 BC 的中点. (Ⅰ)证明 A,P,O,M 四点共圆; (Ⅱ)求 ? O A M ? ? A P M 的大小。
[来源:高&考%资(源#网 KS5U.COM]

参考答案
一、选择题: 1—5:ABCCB 二、填空题: 13:6 16:
?
3 , 2? 3

6—10:CBCAD

11—12: CA

14:30

15: ( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 2
2 2

三、解答题:
? ? a 1 ? b1 ? 3 ? ? ? ? b1 ? 2 , d ? 2 , q ? 2 a 2 ? b2 ? 7 ? a 3 ? b 3 ? 13 ? ? a1 ? 1

17.解: (Ⅰ)设公差为 d,公比为 q

?n

2

? 2 n ? 1, b a ? 2 ??????6 分
n

(Ⅱ) S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? ( b 1 ? b 2 ? ? ? b n ) ?
2

1 ? 2n ? 1 2

n?

2 (1 ? 2 )
2

1? 2

n

? 2

n ?1

? 2 ??????6 分

18.(Ⅰ)取 AC 的中点 D,连结 DE、DG,则 ED∥BC
? BC ? AC ,? ED ? AC

又 CC 1 ? 平面 ABC , 而 ED ? 平面 ABC ,? CC 1 ? ED 。
? CC
1

? AC ? C ,? ED ? 平面 A1 ACC 1 . ? ED ? AC

1

又? AC

1

? EG,ED ? EG ? E ,? AG ? 平面 EDG ,? AC

1

? DG .

连结 A1 C ,? AC 1 ? ,? A1 C ∥DG
? D 是 AC 的中点,? G 是 AA 1 的中点。????6 分

(Ⅱ)? A1 C 1 ∥EF, EF ? 平面 EFG , A1 C 1 ? 平面 EFG
? A 1 C 1 ∥平面 EFG
? V C 1 ? EFG ? V A 1 ? EFG ,G 是 AA 1 的中点 ? V A 1 ? EFG ? V A ? EFG , 而 V A ? EFG ? V G ? EFA
? V C 1 ? EFG ? V G ? EFA ? 1 3 ? 1 2 ?1?1?1 ? 1 6

??????6 分

19.解: (Ⅰ)列联表补充如下: 喜爱打篮球 男生 20 女生 10 合计 30 (Ⅱ)? K
2

不喜爱打篮球 5 15 20
2

合计 25 25 50??3 分

?

50 ? ( 20 ? 15 ? 10 ? 5 ) 30 ? 20 ? 25 ? 25

? 8 . 333 ? 7 . 879

? 99 . 5 % 的把握认为喜爱打篮球与性别有关。??????6 分

(Ⅱ)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名,其一切 可能的结果组成的基本事件如下:
( A1 , B1 , C 1 ), ( A1 , B1 , C 2 ), ( A1 , B 2 , C 1 ), ( A1 , B 2 , C 2 ), ( A1 , B 3 , C 1 ), ( A1 , B 3 , C 2 ) , ( A 2 , B1 , C 1 ), ( A 2 , B1 , C 2 ), ( A 2 , B 2 , C 1 ), ( A 2 , B 2 C 2 ), ( A 2 , B 3 , C 1 ) , ( A3 , B 3 , C 2 ), ( A3 , B1 , C 1 ), ( A3 , B1 , C 2 ), ( A3 , B 2 , C 1 ) , ( A3 , B 3 , C 2 ), ( A3 , B 2 , C 2 ), ( A 3 , B 2 , C 1 ) , ( A 4 , B1 , C 1 ), ( A 4 , B 3 , C 2 ), ( A 4 , B 2 , C 1 ) , ( A 4 , B 2 , C 2 ), ( A 4 , B 3 , C 1 ), ( A 4 , B 3 , C 2 ) , ( A5 , B1 , C 1 ), ( A5 , B1 , C 2 ), ( A5 , B 2 , C 1 ) , ( A5 , B 2 , C 2 ), ( A5 , B 3 , C 1 ), ( A5 , B 6 , C 2 ) ,

基本事件的总数为 30????8 分 用 M 表示“ B1 , C 1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 M 表示“B1,C1 全被选中” 这一事件,由于 M 由 ( A1 , B1 , C 1 ), ( A 2 , B1 , C 1 ), ( A3 , B1 , C 1 ), ( A 4 , B1 , C 1 ), ( A5 , B1 , C 1 ) 5 个基本事件组成, 所以 P ( M ) ?
5 30 ? 1 6 1 6 ? 5 6

????10 分 ????12 分

由对立事例年的概率公式得 P ( M ) ? 1 ? P ( M ) ? 1 ? 20.解: (Ⅰ)∵|BC|=2|OC|,|BC|=2|AC| ∴|OC|=|AC|
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∴△OCA 为等腰三角形 来源:高&考%资(源#网]
[

由 A ( 2 3 ,0 )得 C ( 3 , ? 2 分 , 3 )
a ? 2 3 代入

椭圆方程得:b=2 ∴椭圆方程为
x
2

?

y

2

?1

????4 分
1 3

12

4

(Ⅱ) A ( 2 3 , 0 ), B ( ? 3 , ? 3 ), ? k Ab ? 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), PC 方程为 : y ?

3 ? k(x ?

3)

则 CQ 方程为 y ?
? y ? 3 ? k(x ? ? 2 由? x2 y ? ?1 ? 4 ? 12
2 2

3 ? ?k(x ?

3)

??????6 分

3)

得 (` ? 3 k ) x ? 6 3 k ( k ? 1) x ? 9 k ? 18 k ? 3 ? 0 ????8 分
2

由 3 ? x1 ?

6 3 k ( k ? 1) 1 ? 3k
2 2

解得 x 1 ?

3 3k

? 6 3k ? 1 ? 3k
2

3

,

所以 y 1 ?

? 3 3k

2

? 2 3k ?
2

3

1 ? 3k

????10 分

用-k 代 k 得:
x2 ? 3 3k
2

? 6 3k ? 1 ? 3k
2

3

, y2 ?

? 3 3k

2

? 2 3k
2

1 ? 3k

? k PQ ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

?

1 3

? k AB

? 向量 PQ 与 AB 共线

????12 分

2 21.解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? x ? 2 a x

由题意知: f ? ( ? 2 ) ? 4 ? 4 a ? 0, 得 a ? ? 1 ????2 分
2 ? f ?( x ) ? x ? 2 x

令 f ? ( x ) ? 0, 得 x ? ? 2 或 x ? 0 令 f ? ( x ) ? 0, 得 - 2 < x < 0
? f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , ? 2 ) 和 (0, ? ? )

单调递减区间是(-2,0)????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) ?
f (?2) ? 4 3
? 函数 f ( x ) 在区间[-3,3]上有且公有一个零点,

1 3

x ? x ?b
3 2

? b 为函数极大值, f (0 ) ? b 为极小值????7 分

? f ( ? 3) ? 0 ? f (3) ? 0 ? f ( ? 3) ? 0 或 ? 或 ? ? ? f (0 ) ? 0 ? f (?2) ? 0 ? f (3) ? 0
?1 8 ? b ? 0 ?b ? 0 ? 或 ?4 或 即? ?b ? 0 ? ?b ? 0 ?3 ?b ? 0 ????10 分 ? ?1 8 ? b ? 0

? ?18 ? b ? ?

4 3

,即 b 的取值范围是 [ ? 1 8, ?

4 3

). ????12 分

22.解: (Ⅰ)证明:连结 OP,OM 因为 AP 与圆 O 相切,所以 OP⊥AP。 因为 M 是圆 O 的弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC。 于是∠OPA+∠OMA=180° 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互补, 所以 A,P,O,M 四点共圆。 ????5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A,P,O,M 四点共圆, 所以∠OAM=∠OPM。 由(Ⅰ)得 OP⊥AP。 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知∠OPM+∠APM=90° 所以∠OMA+∠APM=90° ????10 分


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