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2012届高考数学一轮复习课后强化作业8.7 圆锥曲线的综合问题(理)


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2012 届高考数学一轮复习课后强化作业 8.7 圆锥曲线的综合问题(理)
一、选择题

x2 y2 2 1. (2010?聊城模考)已知双曲线 2- 2=1 的一个焦点与抛物线 y =4x 的焦点重合, 且 a b
双曲线的离心率等于 5,则该双曲线

的方程为( 4 2 2 A.5x - y =1 5 C. - =1 5 4 [答案] D [解析] 抛物线 y =4x 焦点为(1,0), ∴双曲线中 c=1, 又 e= = 5,∴a=
2

)

B. - =1 5 4 5 2 2 D.5x - y =1 4

x2 y2

y2 x2

c a

5 1 4 2 2 2 ,∴b =c -a =1- = , 5 5 5

∴双曲线方程为 - =1. 1 4 5 5 2.(2010?山东郓城)已知对 k∈R,直线 y-kx-1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 5 m 实数 m 的取值范围是( A.(0,1) C.[1,5)∪(5,+∞) [答案] C ) B.(0,5) D.[1,5)

x2 y2

x2 y2

x2 y2 [解析] 直线 y=kx+1 过定点(0,1), 只要(0,1)在椭圆 + =1 内部即可, 从而 m≥1. 5 m
又因为椭圆 + =1 中 m≠5,∴m∈[1,5)∪(5,+∞). 5 m [点评] 含参数的直线与曲线位置关系的问题, 常常是直线过定点, 考虑定点与曲线位 置,以确定直线与曲线的位置.请再练习下题: 直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 25 16 A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定

x2 y2

x2

y2

)

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[答案] A

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[解析] 直线 y=k(x-1)+1 过椭圆内定点(1,1),故直线与椭圆相交. 3.图中的椭圆 C1、C2 与双曲线 C3、C4 的离心率分别为 e1、e2、e3、e4,则它们的大小关 系是( )

A.e1<e2<e3<e4 C.e1<e2<e4<e3 [答案] B

B.e2<e1<e3<e4 D.e2<e1<e4<e3

[解析] ∵C1、C2 为椭圆,∴e∈(0,1) ∵C3、C4 为双曲线,∴e∈(1,+∞) 比较 C1、C2 ∵a 相等而 C1 比 C2 的短轴小, ∴C1 的焦距比 C2 的焦距大,从而 e1>e2 同理 C4 的虚轴长>C3 虚轴长,而实轴长均为 a ∴C4 的焦距>C3 的焦距 ∴e4>e3 综上可得:e2<e1<e3<e4,选 B. [点评] 对于椭圆 e= = 越大开口越宽阔. 4.如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE,则以 A、

c a

1-? ? ,e 越大越扁,对于双曲线 e= =

?b?2 ?a?

c a

1+? ? ,e

?b?2 ?a?

B 为焦点,且过 D、E 两点的椭圆和双曲线的离心率的倒数和为(

)

A. 3 C.2 [答案] A

B.1 D. 2

[解析] 由题意,设 AB=2c,则 BD=AE=c,AD=BE= 3c,令椭圆和双曲线的离心率 |DA|+|DB| (1+ 3)c c c 分别为 e1、e2,对椭圆有:a= = ,∴e1= = = 3-1,对双 2 2 a ( 3+1)c 2

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|DA|-|DB| ( 3-1)c 曲线有:a′= = , 2 2 ∴e2=

c c = = 3+1, a′ ( 3-1)c
2 1 3-1 1 3+1

1 1 ∴ + =

e1 e2



= 3.

5.已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个公共 点,则椭圆的长轴长为( A.3 2 C.2 7 [答案] C [解析] 根据题意设椭圆方程为 得, 4(b +1)y +8 3b y-b +12b =0, ∵椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个公共点, ∴Δ =(8 3b ) -4?4(b +1)(-b +12b )=0, 即(b +4)(b -3)=0,∴b =3, 长轴长为 2 b +4=2 7,故选 C.
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2

) B.2 6 D.4 2

+ =1(b>0),则将 x=- 3y-4 代入椭圆方程 b2+4 b2

x2

y2

x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线 a b
与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2] C.[2,+∞) [答案] C [解析] ∵渐近线 l1:y= x 与过焦点 F 的直线 l 平行,或渐近线 l1 从该位置绕原点按 逆时针旋转时,直线 l 与双曲线的右支交于一个点. B.(1,2) D.(2,+∞) )

b a

∴ ≥ 3,即 c =a +b ≥4a ,∴e≥2,故选 C.

b a

2

2

2

2

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x2 y2 a b

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7.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),过椭圆的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点,若 → → OA?OB=0,则椭圆的离心率 e 等于( A. C. -1+ 5 2 1 2 ) B. D. -1+ 3 2 3 2

[答案] A [解析] 如图,F2(c,0)把 x=c 代入椭圆 2+ 2=1 得 A(c, ).

x2 y2 a a

b2 a

→ → 由OA?OB=0 结合图形分析得 |OF2|=|AF2|, 即 c= ? b =ac? a -c =ac ? ( ) + -1=0? e +e-1=0? e=

b2 a

2

2

2

c a

2

c a

2

5-1 . 2
2 2

8.(2010?长沙一中、雅礼中学联考)若椭圆 mx +ny =1(m>0,n>0)与直线 y=1-x 交 1 于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的连线的斜率为 ,则椭圆的离心率为( 2 A. C. 1 2 3 2 B. D. 2 2 6 2 )

[答案] B [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 中点为?

?x1+x2,y1+y2?,mx2+ny2=1,mx2+ny2 ? 1 1 2 2 2 ? ? 2
1 1 -

y1+y2 m x1-x2 1 m m 1 =1, 两式相减得 =- ? , ∴ =- ?(-1), 即 = , 离心率 e= x1+x2 n y1-y2 2 n n 2 m n
2 ,故选 B. 2

m n
1



m
1- =

9.(2010?广东罗湖区调研)P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)左支上的一点,F1、F2 分别
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x2 y2 a b

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A.-a C.-c [答案] A

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) B.-b D.a+b-c

是左、右焦点,且焦距为 2c,则△PF1F2 的内切圆的圆心的横坐标为(

[解析] 设内切圆 M 与△PF1F2 三边切点分别为 E、 F, 由双曲线定义知 2a=|PF2|-|PF1| = (|PF| + |FF2|) - (|PE| + |EF1|) = |FF2| - |EF1| = |DF2| - |DF1| ,又 |DF2| + |DF1| = 2c , ∴|DF2|=a+c,|DF1|=c-a,∴xD=-a,即圆心 M 的横坐标为-a.

? ? 2 10.(2010?北方四校联考)已知抛物线 C:y =2px(p>0),过点 A? ,0?的直线与抛物 2 ? ?
p p → → 线 C 交于 M、 N 两点,且MA=2AN,过点 M、N 向直线 x=- 作垂线, 垂足分别为 P、 Q, △MAP、 2
△NAQ 的面积分别为记为 S1 与 S2,那么( A.S1 S2=2∶1 C.S1 S2=4∶1 [答案] C [解析] 依题意,点 A 为抛物线的焦点,直线 x=- 为抛物线的准线,则|MP|=|MA|, 2 |NA|=|NQ|,∠PMA=π -∠QNA,故 S1=|MP||MA|sin∠PMA=4|AN| sin∠QNA=4S2,故选 C. 二、填空题 11.(2010?吉林省调研)已知过双曲线 2- 2=1 右焦点且倾斜角为 45°的直线与双曲 线右支有两个交点,则双曲线的离心率 e 的取值范围是________. [答案] (1, 2) [解析] 由条件知,渐近线的倾斜角小于 45°,即 <1,∴ 即 e <2,∵e>1,∴1<e< 2. 12.下列图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边上的中点,双曲线均以图中的 F1、
2 2

) B.S1 S2=5∶2 D.S1 S2=7∶1

p

x2 y2 a b

b a

c2-a2 c2 <1,∴ 2<2, 2 a a

F2 为焦点,设图(1),(2),(3)中的双曲线的离心率分别为 e1、e2、e3.则 e1、e2、e3 的大小
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关系为________.

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[答案] e1=e3>e2 [解析] 在图(1)中,令|F1F2|=2c,因为 M 为中点, 所以|F1M|=c,且|MF2|= 3c, 2c |F1F2| 2 ∴e1= = = = 3+1. 2a |MF2|-|MF1| 3-1 在图(2)中,令|F1M|=m,则|F1F2|=2 2m,|MF2|= 5m. |F1F2| 2 2 10+ 2 ∴e2= = = < 3+1=e1. |MF2|-|MF1| 2 5-1 在图(3)中,令|F1F2|=2c,则|F1P|=c,|F2P|= 3c, ∴e3= 3+1.故 e1=e3>e2. 13.(2010?安徽安庆联考)设直线 l:y=2x+2,若 l 与椭圆 x + =1 的交点为 A、B, 4 点 P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为 2-1 的点 P 的个数为________. [答案] 3 [解析] 设与 l 平行且与椭圆相切的直线方程为 y=2x+b, 代入 x + =1 中消去 y 得,8x +4bx+b -4=0, 4 由 Δ =16b -32(b -4)=0 得,b=±2 2, 显见 y=2x+2 与两轴交点为椭圆的两顶点 A(-1,0),B(0,2), 2 2-2 ∵直线 y=2x+2 2与 l 距离 d= , 5 1 5 2 2-2 ∴欲使 S△ABP= |AB|?h= h= 2-1, 须使 h= , ∵d=h, ∴直线 y=2x+2 2 2 2 5
2 2 2 2

y2

y2

2

2

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x2 y2

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与椭圆切点,及 y=2x+4-2 2与椭圆交点均满足,∴这样的点 P 有 3 个. 14.对于曲线 C: + =1,给出下面四个命题: 4-k k-1 ①曲线 C 不可能表示圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; 5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< . 2 其中所有正确命题的序号为________. [答案] ③④ 5 [解析] ∵当 k= 时, 方程表示圆, ∴①②错误; 曲线 C 为双曲线时, (4-k)(k-1)<0, 2 5 ∴k<1 或 k>4,故③正确;曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆时,4-k>k-1>0,∴1<k< .故④ 2 正确. 三、解答题 15.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,坐标原点到直线 AB 的距离为

x2 y2 a b

3 ,其中 2

A(0,-b),B(a,0).
(1)求双曲线的标准方程; (2)设 F 是双曲线的右焦点,直线 l 过点 F 且与双曲线的右支交于不同的两点 P、Q,点

M 为线段 PQ 的中点.若点 M 在直线 x=-2 上的射影为 N,满足PN?QN=0,且|PQ|=10,求
直线 l 的方程.

→ →



[解析]

? ? 3 (1)依题意有? ab = , 2 a +b ? ?a +b =c .
2 2 2 2 2 2

c =2, a

解得 a=1,b= 3,c=2. 所以,所求双曲线的方程为 x - =1. 3 → (2)当直线 l⊥x 轴时,|PQ|=6,不合题意.当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程 为 y=k(x-2).

y2

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y ? ?x2- =1(x>0) 3 由? ? ?y=k(x-2)
2 2 2 2 2

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得,

(3-k )x +4k x-4k -3=0.① 因为直线与双曲线的右支交于不同两点,所以 3-k ≠0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),则 x1、x2 是方程①的两个正根,于是有
2

? ? 4k +3 ?x x = k -3 >0, ? ?Δ =(4k ) -4(3-k )(-4k -3)>0,
4k x1+x2= 2 >0, k -3
2 1 2 2 2 2 2 2

2

所以 k >3.② 1 → → → 因为PN?QN=0,则 PN⊥QN,又 M 为 PQ 的中点,|PQ|=10,所以|PM|=|MN|=|MQ|= 2 |PQ|=5. 又|MN|=x0+2=5,∴x0=3, 而 x0=

2

x1+x2
2



2k 2 =3,∴k =9,解得 k=±3. k2-3

2

∵k=±3 满足②式,∴k=±3 符合题意. 所以直线 l 的方程为 y=±3(x-2). 即 3x-y-6=0 或 3x+y-6=0.

x2 2 16.(2010?安徽江南十校联考)已知椭圆 C: 2+y =1(a>1)的上顶点为 A,左、右焦点 a
为 F1、F2,直线 AF2 与圆 M:x +y -6x-2y+7=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若椭圆内存在动点 P,使|PF1|,|PO|,|PF2|成等比数列(O 为坐标原点),求PF1?PF2 的取值范围. [解析] (1)圆 M:x +y -6x-2y+7=0 化为(x-3) +(y-1) =3, 则圆 M 的圆心为 M(3,1),半径 r= 3. 由 A(0,1),F2(c,0),(c= a -1),得直线 AF2:
2 2 2 2 2 2 2

x +y=1, c
即 x+cy-c=0, |3+c-c| 由直线 AF2 与圆 M 相切,得 = 3, c2+1
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解得 c= 2或 c=- 2(舍去).

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则 a =c +1=3,故椭圆 C 的方程为: +y =1. 3 (2)由(1)知 F1(- 2,0)、F2( 2,0),设 P(x,y), 由题意知|PO| =|PF1|?|PF2|, 即( x +y ) = (x+ 2) +y ? (x- 2) +y , 化简得:x -y =1,则 x =y +1≥1. 因为点 P 在椭圆内,故 +y <1,即 +x -1<1, 3 3
2 3 2 3 ∴x < ,∴1≤x < , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

x2

2

x2

2

x2

2

→ → 2 2 2 又PF1?PF2=x -2+y =2x -3, → → ∴-1≤PF1?PF2<0. 17.(2010?北京崇文区)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2, 且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点.

(1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 的斜率为 1 时,求△POQ 的面积; (3)在线段 OF 上是否存在点 M(m,0),使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存 在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析] (1)由已知,椭圆方程可设为 2+ 2=1(a>b>0). ∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为 2, ∴b=c=1,a= 2. 所求椭圆方程为 +y =1. 2 (2)右焦点 F(1,0),直线 l 的方程为 y=x-1. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),

x2 y2 a b

x2

2

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?x +2y =2 ? 由? ?y=x-1 ?
2 2 2

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得,3y +2y-1=0,

1 解得 y1=-1,y2= . 3 1 1 2 ∴S△POQ= |OF|?|y1-y2|= |y1-y2|= . 2 2 3 (3)假设在线段 OF 上存在点 M(m,0)(0<m<1),使得以 MP、MQ 为邻边的平行四边形是菱 形.因为直线与 x 轴不垂直,所以设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). 由?
?x +2y =2 ? ? ?y=k(x-1)
2 2 2

可得,(1+2k )x -4k x+2k -2=0.
2

2

2

2

2

4k 2k -2 ∴x1+x2= 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k →

MP=(x1-m,y1),MQ=(x2-m,y2),PQ=(x2-x1,y2-y1).其中 x2-x1≠0 以 MP,MQ





为邻边的平行四边形是菱形 → → → → → → ?(MP+MQ)⊥PQ?(MP+MQ)?PQ=0 ?(x1+x2-2m,y1+y2)?(x2-x1,y2-y1)=0 ?(x1+x2-2m)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0 ?(x1+x2-2m)+k(y1+y2)=0

? 4k 2-2m?+k2? 4k 2-2?=0 ?? ? ?1+2k ? ?1+2k ? ? ?
?2k -(2+4k )m=0?m= 2(k≠0). 1+2k 1 ∴0<m< . 2
2 2

2

2

k2

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