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2011届高三数学上册学情分析测试题1


江苏省南京市第 27 高级中学 2011 届高三学情分析 数学试卷 一.填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,
计 70 分)

1. 命题“若 a , b 都是偶数, 则 a ? b 是偶数”的逆否命题是: 2. 已知复数 z 1 ? ? 1 ? 2 i , z 2 ? 1 ? i , z 3 ? 3 ? 2 i , 它们所对应的点分别为 A

, B , C . 若
OC ? x OA ? y OB , 则 x ? y 的值是

.

.

3. 已知 ? ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 成等差数列, 且 AB ? 1, BC ? 4 , 则边 BC 上的中线
AD 的长为

.
? ? ) 2 2 , 则 cos ? ? sin ? 的值为

4. 若

cos 2 ? sin( ? ? ? 4

.

5. 某人 5 次上班途中所花的时间(单位: 分钟)分别为 x, y, 10, 11, 9. 已知这组数据的平均 数为 10, 方差为 2 则 | x ? y | 的值为 6. 若向量 e 1 与 e 2 满足: | e 1 |? 2 | e 2 |?
2 , (e 1 ? 2e 2 )
2

.
? 4 , 则 e 1 与 e 2 所夹的角为
2

.

7. 已知集合 A ? Z , 且 A ? ? , 从 A 到 Z 的两个函数分别为 f ( x ) ? x ? 1, g ( x ) ? x ? 3 , 若对 A 中任意一个 x , 都有 f ( x ) ? g ( x ), 求其中 A 为单元集的概率 .

8. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价. 该地区的电网销售电价 表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 高峰电价(单 位:元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 低谷电价(单位: 元/千瓦时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时, 低谷时间段用电量为 1 0 0 千瓦时, 则按 这种计费方式该家庭本月应付的电费为 9. 设 a ? lg e , b ? (lg e ) , c ? lg
2

元(用数字作答) .

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

e , 则 a , b , c 的大小关系是

.

10. ? , ? 是两个不重合的平面, 在下列条件中, 可判断平面 ? , ? 平行的是 ① m , n 是平面 ? 内两条直线, 且 m // ? , n // ? ; ③ ? 内不共线的三点到 ? 的距离相等; ④ m , n 是两条异面直线, m ? ? , n ? ? , 且 m // ? , n // ? .
x
2

② ? , ? 都垂直于平面 ? ;

. (把真命题的序号填上)

11. 已知椭圆 C :

? y

2

? 1 的右焦点为 F , 右准线为 l , 点 A ? l , 线段 AF 交 C 于点 B ,

2

若 FA ? 3 FB , 则 | AF |?

. .

12. 下图是一个算法的流程图, 则输出 S 的值是

13. 公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若 a 4 是 a 3 与 a 7 的等比中项, S 8 ? 32 , 则 S 10 ? .

? x 2 ? 1, x ? 0 2 14. 已 知 函 数 f ( x ) ? ? , 则 满 足 不 等 式 : f (1 ? x ) ? f ( 2 x ) 的 x 的 范 围 1, x ? 0 ?



.

二. 解答题(本大题共 6 小题,满分 90 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 。 15. (本题满分 14 分)设向量 a ? (sin x , 3 cos x ), b ? (cos x , cos x ), ( 0 ? x ? (1) 若 a // b , 求 tan x 的值; (2) 求函数 f ( x ) ? a ? b 的周期和函数最大值及相应 x 的值. y c y
? 2 ).

16. (本题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中, AB ? AC , D 、E 分别为 BC 、
B 1 C 的中点.

B1 C1 E B D C

A1

(1) 求证: DE // 平面 ABB 1 A 1 ; (2) 求证: 平面 ADE ? 平面 BB 1 C .

A

17. ( 本 题 满 分 14 分 )
a 3 ? a 6 ? 55 , a 2 ? a 7 ? 16 .

已 知 {a n } 是 一 个 公 差 大 于 0 的 等 差 数 列 , 且 满 足

(1) 求数列 { a n } 的通项公式: (2) 若数列 { a n } 和数列 { b n } 满足等式:
an ? b1 2
1

?

b2 2
2

?? ?

bn 2
n

( n 为正整数), 求数列 { b n } 的前 n 项和 S n .

18. (本题满分 16 分)已知 ? ABC 中,
?

cos A cos B

?

AC BC

?

3 4

,

(1) 求证: ? C ? 90 ; (2) 如图, 以 C 为原点, CB , CA 分别在 x 轴和 y 的正半轴, 当 AB ? 5 时, 求 ? ABC 的内切圆的方程? 点, 求 PA
2

(3)若 AB ? t ( t ? 0 ), P 为内切圆上的一个动

? PB

2

? PC 的最大值和此时的 P 点坐标.
2

19. (本题满分 16 分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展, 将价格控制在适当范围内, 决定 对 淡水鱼养殖提供政府补贴. 设淡水鱼的市场价格为 x 元/千克, 政府补贴为 t 元/千克. 根 据市场调查, 当 8 ? x ? 14 时, 淡水鱼的市场日供应量 P 千克与市场日需求量 Q 千克近 似 地满足关系: P ? 1000 ( x ? t ? 8 )( x ? 8 , t ? 0 ) , Q ? 500
40 ? ( x ? 8 ) ( 8 ? x ? 14 )
2

(1) 当 P ? Q 时的市场价格称为市场平衡价格. 将市场价格 x 表示为政府补贴 t 的函数, 并 求出函数的定义域. (2) 为使市场平衡价格不高于每千克 10 元, 政府补贴至少为每千克多少元?

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ? x ? 3 ax ( a ? R )
3

(1) 当 a ? 1 时, 求 f ( x ) 的最小值; (2) 若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线, 求 a 的取值范围; (3 )设 g ( x ) ? | f ( x ) |, x ? [ ? 1, 1] , 求 g ( x ) 的最大值 F ( a ) 的解析式.

参考答案(六)
一.填空题

2010. 9. 26

题号
1

答案
“若 a ? b 不是偶数, 则 a ,
b 不都是偶数”

题号
8

答案
148.4

2 3 4 5 6 7
4

5

9 10 11 12 13
4 15

c ? a ? b

3
1 2
4



2
63 60
( ? 1, 2 ? 1).

3? 4 4 2 ?1
2

?

14

7.【解析】 x ? 1 ? x ? 3 ? ? 1 ? x ? 2 , ? A ? Z , ? x ? ? 1, 0 , 1, 2 . 又 A ? ? , ? A 可 能
4 为 2 ? 1 个, 其中 A 为单元集有 4 个, ? P ?

4 2 ?1
4

?

4 15

.

8.【解析】对于应付的电费应分二部分构成, 高峰部分为 50 ? 0.568 ? 150 ? 0.598 ; 对于低 峰 部分为 50 ? 0.288 ? 50 ? 0.318 , 二部分之和为 148.4 11. 【解析】过点 B 作 BM ? l 于 M , 并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N , 易知 FN ? 1 . 由 题意
FA ? 3 FB , 故 | BM | ?
2

2 3

. 又由椭圆的第二定义, 得 | BF |?
3 4 2

2 2
3

?

2 3
4

?

2 3
5

. ?| AF | ?

2 .

12.【解析】 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 31 ? 33 输出 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 63 .

2 13.【解析】由 a 4 ? a 3 ? a 7 ? 2 a 1 ? 3 d ? 0 , 再由 S 8 ? 8 a 1 ?

56 2

d ? 32 得 2 a 1 ? 7 d ? 8

则 d ? 2 , a 1 ? ? 3 , 所以, S 10 ? 10 a 1 ?
?1 ? x 2 ? 2 x ? ? x ? ( ? 1, 14.【解析】. ? ?1 ? x 2 ? 0 ?

90 2

d ? 60 .

2 ? 1).

二.解答题(本题共 4 小题,

计 130 分)

15. 解: (1)∵ a // b ,? sin x cos x ?
?0 ? x ? ? 2 ,? cos x ? 0 ,? sin x ?

3 cos

2

x ? 0,

3 cos x ? 0 , ? tan x ?
2

sin x cos x

?

3.

(2) f ( x ) ? a ? b ? sin x cos x ?
1 2 3 2 3 2

3 cos

x,
? 3 3 2

?

sin 2 x ?

cos 2 x ?

? sin( 2 x ?

)?

. ?T ?
? 2

2? 2

? ?. ?

? x ? (0,

? 2

), ? 2 x ?

? 3

?(

? 3

,

4 3

?) ? 当 2 x ?

? 3

?

, 即x ?

时,

12

f ( x ) 取得最大值, 最大值为 sin

? 2

?

3 2

?1?

3 2

B1 C1 E B D C

A1

16. 证明: (1) 在 ? CBB 1 中, ∵ D 、 E 分别为 BC 、 B 1 C 的中点, ∴ DE // BB 1 , 又? BB 1 ? 平面 ABB 1 A 1 ,
DE ? 平面 ABB 1 A 1 , ∴ DE // 平面 ABB 1 A 1

A

(2) ∵三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 是直三棱柱, ∴ BB 1 ? 平面 ABC , ∵ AD ? 平面 ABC , ∴ BB 1 ? AD , ∵在 ? ABC 中, AB ? AC , D 为 BC 的中点, ∴ AD ? BC ∵ BB 1 ? BC ? B , BB 1 、 BC ? 平 面 B 1 BC .
ADE

∴ AD ? 平 面 BB 1 C , 又 ? AD ? 平 面

∴平面 ADE ? 平面 BB 1 C . 17. 解: (1) 解: 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 则依题设 d ? 0 由 a 2 ? a 7 ? 16 . 得 2 a 1 ? 7 d ? 16 由 a 3 ? a 6 ? 55 . 得 ( a 1 ? 2 d )( a 1 ? 5 d ) ? 55 ① ②

由①得 2 a 1 ? 16 ? 7 d 将其代入②得 (16 ? 3 d )( 16 ? 3 d ) ? 220 . 即 256 ? 9 d ? 220
2

?d

2

? 4 , 又 d ? 0 ,? d ? 2 代入①得 a 1 ? 1 , ? a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1
bn 2
n

(2) 令 c n ?

, 则有 a n ? c 1 ? c 2 ? ? ? c n ,

a n ? 1 ? c 1 ? c 2 ? ? ? c n ? 1 两式相减得

a n ? 1 ? a n ? c n ? 1 , 由(1)得 a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ? 2 , c n ? 1 ? 2 , c n ? 2 ( n ? 2 ), 即当 n ? 2 时,
n ?1

bn ? 2 cn ? 2
n

, 又当 n ? 1 时, b 1 ? 2 a 1 ? 2 , ? b n ? ?
n ?1

?2, ?2
n ?1

( n ? 1) (n ? 2)

于是: S n ? b 1 ? b 2 ? ? ? b n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 4

? 2? 2 ?? ? 2
2

n ?1

?4 ?

2(2

n ?1

? 1)

2 ?1

? 2

n?2

?6.

, 所以 sin 2 A ? sin 2 B , cos B sin B AC 3 ? ? ? , 所以 A ? B , 所以 ? C ? 90 得证. 解得, A ? B 或 A ? B ? , 又 2 cos B BC 4 AC 3 2 2 2 ? (2) 由 (1) 得, AC ? BC ? AB , 又 , 所以, AC ? 3 , BC ? 4 , 设圆心为 M , BC 4 1 1 连结 MA , MB , MC , 由 S ? ABC ? ( AB ? BC ? AC ) ? r ? CB ? CA , 解得 r ? 1, 2 2 18. 解: (1)由正弦定理得,
, 所以 sin B BC ? cos A

sin A

?

AC

cos A

?

sin A

所以 M (1, 1) ,所以圆的方程为: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

(3) 设 P ( x , y ) , A ( 0 , 3 a ), B ( 4 a , 0 ), ( a ? 0 ) , AB ? t , 所以 a ?
(x ? a ) ? (y ? a )
2 2

t 5

, 此时内切圆方程为:

? a
2

2

.
2

? PA

2

? PB
2

2

? PC

? x
2

? ( y ? 3a ) ? ( x ? 4 a ) ? y ? x
2 2 2 2

2

? y

2

? 3[( x ? a ) ? ( y ? a ) ] ? 2 ax ? 19 a , 因为 P ( x , y ) 为内切圆上的点,

所以 PA

2

? PB
2

2

? PC

2

? 3a

2

? 2 ax ? 19 a

2

? ? 2 ax ? 22 a , 又 0 ? x ? 2 a ,

所以, PA
? 22 a
2

2

? PB

2

? PC

2

? ? 2 ax ? 22 a

2

?

22 25

t ,

2

所以, 当 P 坐标为 ( 0 ,

t 5

) 时, PA

2

? PB

2

? PC 的最大值为
2

22 25

t .

2

19. 解: (1) 由题意, 得: 1000 ( x ? t ? 8 ) ? 500 即有: ( x ? 8 ?
4t 5 )
2

40 ? ( x ? 8 )

2

?

4 25

( 50 ? t ) ? x ? 8 ?
2

4t 5

?

2 5

50 ? t

2

,
2

? x ?8?

4 5

t?

2 5

4t 2 ? ? ?8 ? 50 ? t , ? x ? 8 且 t ? 0 , ? 5 5 ?t ? 0 ?
2

50 ? t

? 8

? t ? ( 0 , 10 ) ,

即函数的定义域为 t ? ( 0 , 10 ) . (2) 由题意, 得: 8 ?
4 5 t? 2 5 50 ? t
2

? 10 ? t ? 1 . 答: 略.

20. 解: (1) ? 当 a ? 1 时 , f ( x ) ? 3 x ? 3 , 令 f ( x ) ? 0 , 得 x ? ? 1 或 x ? 1
' 2 '

当 x ? ( ? 1, 1) 时, f ( x ) ? 0 , 当x ? ( ?? , ? 1] ? [1, ?? ) 时, f ( x ) ? 0 ,
' '

? f ( x ) 在 ( ? 1, 1) 上单调递增减, 在 ( ?? , ? 1], [1, ?? ) 上单调递增 ? f ( x ) 的极小值是 f ( ? 1) ? ? 2 .

(2)? f ( x ) ? 3 x ? 3 a ? ? 3 a ,? 要使直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线
' 2

y ? f ( x ) 的切线,当且仅当 ? 1 ? ? 3 a 时成立,? a ?
3

1 3

.

(3) 因 g ( x ) ? | fx ) |? | x ? 3 ax | 在 [ ? 1,1] 上是偶函数, 故只要求在 [ 0 ,1] 上的最大值 ① 当 a ? 0 时, f ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 [ 0 ,1] 上单调递增且 f ( 0 ) ? 0 ,? g ( x ) ? f ( x )
'

F ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3 a .

② 当 a ? 0 时, f ( x ) ? 3 x ? 3 a ? 3 ( x ?
' 2

a )( x ?

a ),

(ⅰ) 当 a ? 1 ? a ? 1
g ( x ) ? | f ( x ) |? ? f ( x ), ? f ( x ) 在 [ 0 , 1] 上单调递增, 此时 F ( a ) ? ? f (1) ? 3 a ? 1

(ⅱ) 当 0 ?

a ? 1, 即 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [ 0 ,

a ] 上单调递减

在 [ a , 1] 单调递增; 1° 当 f (1) ? 1 ? 3 a ? 0 , 即

1 3

? a ? 1 时,

g ( x ) ? | f ( x ) |? ? f ( x ), ? f ( x ) 在 [ 0 ,
F (a ) ? ? f ( a ) ? 2a

a ] 上单调递增, 在 [ a ,1] 上单调递减

a ; 2° 当 f (1) ? 1 ? 3 a ? 0 , 即 0 ? a ?

1 3

(ⅰ) 当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3 a , 即 0 ? a ? (ⅱ) 当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3 a , 即
? ?1 ? 3 a , ? ? 综上 F ( x ) ? ? 2 a a , ? ? 3 a ? 1, ? ? (a ? ( 1 4 ( a ? 1) 1 4 ? a ? 1) .
1 4 ? a ?

1 4 1

时 , F ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3 a 时 , F(a ) ? ? f ( a ) ? 2a a

3

)


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