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【解析】安徽省皖南八校2014届高三第一次联考数学文试题


【解析】安徽省皖南八校 2014 届高三第一次联考数学文试题

第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.复数 (1 ? i ) 2 的虚部是( A.0 B.2 C. ?2 ) D. 2i

2.已知集合 A ? x | y

? log 2 ( x 2 ? 1) , B ? ? y | y ? ( ) x ?1 ? ,则 A ? B ? ( A. ( ,1) 【答案】D

?

?

? ?

1 2

? ?

)

1 2

B. (1, 2)

C. (0, ??)

D. (1, ??)

3.“ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在区间 [3, ??) 内单调递增”的(
2

)

A.充分不必要条件 【答案】A 【解析】

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

试题分析:∵当函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在区间 [3, ??) 内单调递增时,对称轴 x ? a ? 3 ,∴“ a ? 3 ”是
2

“函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在区间 [3, ??) 内单调递增”的充分不必要条件.
2

考点:1.充分必要条件;2.二次函数的单调性.

4.下列函数,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是
-1-

A. f ( x) ?

1 x

B. f ( x) ?

?x

C. f ( x) ? 2? x ? 2 x

D. f ( x) ? ? tan x

5.曲线 y ? e x 在点 (2,e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(



A

e2

B

2e 2

C

4e 2

D

e2 2

6.已知向量 | a |? 2,| b |? 2, a ? b ? 1 ,则向量 a 与 a ? b 的夹角为( A.

?

?

? ?

?

? ?

)

?
4

B.

?
3

C.

5? 6

D.

2? 3

【答案】A 【解析】

?2 ?2 ? ? a ? b ? 2a ? b ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 , ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? a ? ( a ? b) a ? a ?b 4 ?1 3 ? ? ? ? 所以 cos ? a, a ? b ?? ? ? ? ? ? , 2 | a || a ? b | | a | ? | a ? b | 2 ? 3
试题分析:因为 | a ? b |? 所以向量 a 与 a ? b 的夹角为

? ?

?

? ?

?
6

.

考点:1.向量的夹角; 2.向量的数量积.

7.将函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的图象向左平移 m 个单位 m ? 0 ) ( ( , 对称中心,则 m 的最小值为( )
-2 -

?
2

,0) 是所得函数的图象的一个

A.

?
4

B.

?
6

C.

?
3

D.

?
12

8.设 P 为曲线 C : y ? 4 ln x ? 的横坐标的取值范围为( A. (0, 2 2] 【答案】D 【解析】

x2 ? 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角的取值范围为 [0, ] ,则点 P 4 4
) C. [2, ??) D. [2, 2 2]

B. (0, ??)

试题分析:设点 P 的横坐标为 x0 ( x0 ? 0) ,∵ y ' ? 即0 ?

4 1 4 1 ? x ,∴点 P 处的切线斜率为 k ? ? x0 ? [0,1] , x 2 x0 2

4 1 ? x0 ? 1 ,得 2 ? x0 ? 2 2 . x0 2

考点:1.利用导数求切线的斜率;2.切线的斜率与倾斜角的关系.

9.在 ?ABC 中,P 是 BC 边的中点, A, B, C 的对边分别是 a, b, c , c AC ? aPA ? bPB ? 0 , ?ABC 角 若 则 的形状为( A.直角三角形 ) B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形

????

??? ?

??? ?

?

-3-

10.动点 A ? x, y ? 在圆 x ? y ? 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.已知时间 t ? 0 时,
2 2

点 A 的坐标是 ( , ( )

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是 2 2

A、 ? 0,5? 【答案】B 【解析】

B、 ?5,11?

C、 [11,12]

D、 ? 0,5? 和 [11,12]

试题分析:依题意可设 y 关于 t (单位:秒)的函数为 y ? ? sin(?t ? ? )(? ? 0, ?? ? ? ? ? ) ,周期为 12,

2?

?

? 12 ,∴ ? ?

?
6

,∴ y ? ? sin(

?
6

t ? ? ) ,当 t ? 0 时, y ?

3 3 , ,sin ? ? ? 2 2

又 ?? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ∴ y ? ? sin(

?
3

或?

1 3 2? 2? ,又当 ? ? ? 时, A 点坐标为 ( ? , ) ,不合题意. 2 2 3 3

?

t ? ) 求函数的单调增区间,只需求 y ? sin( t ? ) 的减区间, 6 3 6 3

?

?

?

2 k? ?

?
6

t?

?
3

? 2 k? ?

3? ,∴ 12k ? 5 ? t ? 12k ? 11 , k ? 0 时, 5 ? t ? 11 . 2

考点:1.三角函数的周期;2.函数的单调区间.

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
-4-

11. sin

13? ? 6

.

1 【答案】 2

12.已知矩形 ABCD 的边长为 2, ?B ?

?
3

,点 P 在线段 BD 上运动,则 AP ? AC ?

??? ???? ?

.

?x ?1 (0 ? x ? 1) ? 13.已知函数 f ( x) ? ? x 1 , a ? b ? 0 , f (a ) ? f (b) , b ? f (a ) 的取值范围是 设 若 则 2 ? ( x ? 1) ? ? 2
3 【答案】[ ,2) 4 【解析】 试题分析:画出函数图象如图所示,由图象可知要使 a ? b ? 0 , f (a ) ? f (b) 同时成立,

.

1 ? b ?1, 2

1 1 3 bf (a ) ? bf (b) ? b(b ? 1) ? b 2 ? b ? (b ? ) 2 ? ,∴ ? bf (a ) ? 2 . 2 4 4

考点:1.函数图像;2.配方法求最值.

14. 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 A, B, C 的 对 边 , 若 a ?
-5-

2, b ? 2,sin B ? cos B ? 2 , 则 c 的 大 小



.

【答案】 3+1

15. 在 整 数 集 Z 中 , 被 5 除 所 得 余 数 为 k 的 所 有 整 数 组 成 一 个 “ 类 ” 记 为 [ k ] , 即 ,

[k ] ? ?5n ? k | n ? Z? , b ? 0,1, 2,3, 4,则下列结论正确的为
① 2013 ? [3] ; ② ?1 ? [3] ; ③ Z ? [0] ? [1] ? [2] ? [3] ? [4] ; ④“整数 a, b 属于同一类”的充要条件是“ a ? b ? [0] ” ;

(写出所有正确的编号).

⑤命题“整数 a, b 满足 a ? [1], b ? [3] ,则 a ? b ? [4] ”的原命题与逆命题都为真命题. 【答案】①③④

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本题满分 12 分) 设 p:?

?2 x ? 3 ? 1 , q : ( x ? a )( x ? a 2 ? 1) ? 0, a ? R 。 ?x ?1 ? 0 ?

(1)记 A ? x | ( x ? a )( x ? a 2 ? 1) ? 0, a ? R ,若 a ? 1 ,求集合 A;
-6-

?

?

(2)若 q 是 p 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 【答案】(1) A ? {x |1 ? x ? 2} ; (2) a ? ?1 .

考点:1.一元二次不等式的解法;2.充分必要条件.

17.(本题满分 12 分) 已知 函数 F ( x) ?

a 3 b 2 若 x ? x ? x(a ? 0), f ( x) ? F ?( x) , f (?1) ? 0 且对任意实数 x 均有 f ( x) ? 0 成立. 3 2

(1)求 f (x) 表达式; (2)当 x ? [ ?2,2]时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围. 【答案】 (1) f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ; (2) (??, ?2] ? [6, ??) .
2

-7-

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ( x ?

1 ), g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 2

?

(1)若 f ( x0 ) ? 0 ,求 g ( x0 ) 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 【答案】 (1) g ( x0 ) ?

5 5? ? ; (2) h( x) 的单调递增区间是 [k? ? , k? ? ] . 4 12 12

-8-

(2) h( x) ? f ( x) ? g ( x)

1 ? 1 ? [1 ? cos(2 x ? )] ? 1 ? sin 2 x 2 6 2

1 ? 3 ? [cos(2 x ? ) ? sin 2 x] ? 2 6 2

?

1 3 1 3 ( cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 2 2

1 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? 2 3 2
当 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

,即 k? ?

5? ? ( k ? Z )时, ? x ? k? ? 12 12

函数 h( x) ?

1 ? 3 sin(2 x ? ) ? 是增函数, 2 3 2

故函数 h( x) 的单调递增区间是 [k? ?

5? ? , k? ? ] ( k ? Z ).(12 分) 12 12

考点:1.降幂公式;2.诱导公式;3.两角和与差的正弦公式;4.三角函数的单调性.

19.(本题满分 13 分) 某高速公路旁边 B 处有一栋楼房,某人在距地面 100 米的 32 楼阳台 A 处,用望远镜路上的车辆,上午 11 时测得一客车位于楼房北偏东 15? 方向上, 且俯角为 30? 的 C 处, 秒后测得该客车位于楼房北偏西 75? 方 10 向上,且俯角为 45? 的 D 处。 (假设客车匀速行驶) (1)如果此高速路段限速 80 公里/小时,试问该客车是否超速; (2)又经过一段时间后,客车到达楼房 B 的正西方向 E 处,问此时客车距离楼房 B 多远.
-9-

【答案】(1) 客车没有超速; (2)客车距楼房 50 6 米.

(2)在 Rt ?BCD 中, ?BCD ? 300 , 又因为 ?DBE ? 150 ,所以 ?CBE ? 1050 , 所以 ?CEB ? 450 , 在 ?BCE 中,由正弦定理可知 所以 EB ?

EB BC , ? 0 sin 30 sin 450

BC sin 300 ? 50 6 米.客车距楼房 50 6 米. (13 分) sin 450

考点:1.正弦定理;2.勾股定理;3.在直角三角形中求边长.

20.(本题满分 13 分) 已知 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x), n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x) , 其中 ? ? 0 , 若函数 f ( x) ? m ? n , 且函数 f ( x) 的图象与直线 y ? 2 相邻两公共点间的距离为 ? . (1)求 ? 的值; (2)在 ?ABC 中. a, b, c 分别是 A, B, C 的对边,且 a ? 3, b ? c ? 3, f ( A) ? 1 ,求 ?ABC 的面积.
- 10 -

??

?

?? ?



? ? ? ,∴ ? ? 1 .(6 分) ?

- 11 -

21.(本题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? xe ? ax .
x 2

(1)若 a ? 1 时,求 x ? 1 处的切线方程; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) 2(e ? 1) x ? y ? e ? 1 ? 0 ; (2) a 的取值范围是 (??, e) . 【解析】 试题分析:本题考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法,突出考查综合运用数学 知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问,将 a ? 1 代入得到 f ( x) 解析式,对 f ( x) 求导,将 x ? 1 代 入得到切线的斜率,再将 x ? 1 代入 f ( x) 中得到切点的纵坐标,最后利用点斜式方程直接写出切线方程; 第二问,将恒成立问题转化成函数 g ( x) ?

ex 的最小值问题,对 g ( x) 求导,判断 x ? 0 范围内的函数的单 x
- 12 -

调性,判断出当 x ? 1 时, g ( x) min ? e ,所以 a ? e . 试题解析:(1)当 a ? 1 , f ( x) ? xe x ? x 2

f ' ( x) ? ( x ? 1)e x ? 2 x , f ' (1) ? 2e ? 2 , f (1) ? e ? 1 ,
故所求切线方程为: y ? (e ? 1) ? 2(e ? 1)( x ? 1) , 化简得: 2(e ? 1) x ? y ? e ? 1 ? 0 .(5 分)

- 13 -


【解析】安徽省皖南八校2014届高三第一次联考数学文试题

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