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2014年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题


2014 数学竞赛

2014 年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题
第一套
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) ? ? 1、函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ?cos x ?3 的最小值等于__________ a11 a12 a13 a14 6 6

a21 a22 a23 a24 2、若圆(x?a)2+(y?2)2=4 被直线 x?y+3=0 截得的弦长为 2 3,则 a ? ____________ 3、已知方程 32 x ? 3x ?1 ? p 有两个相异的正实数解,则实数 p 的取值范围是___________ 31 32 33 34 a41 a42 a43 a44 4、将 25 个数排成五行五列:已知第一行成等差数列,而每一列都成等比数列, 且五个公比全相等. 若 a24 ? 4 , a41 ? ?2 , a43 ? 10 , 则 a11 ? a55 的值为__________
a51 a52 a53 a54 a a a a a15 a25 a35 a45 a55

π 9 3 5、在△ABC 中,A= , AP ? 2 AB ? AC ,四边形 ABPC 的面积为 ,则 AB ? AC =__________ 3 2 → 6、已知|→ a |=3|→ b |=6,→ a· b =-6,实数 x、y 满足 x+2y=1,则|x→ a +y→ b |的最小值为_________

? ?x?y≥0 7、已知实数 x、y 满足?x+y?2≥0 ,则 x ? 2 y ? 6 ? 3 y 的最大值是___________ ? ?2x?y?4≤0
8、实数 x, y 满足 5x2+4y2=10x,则 x ? y 的最大值为___________ 9、 一个直角梯形的上底比下底短, 该梯形分别绕它的上底、 下底、 直角腰旋转一周所得旋转体的体积分别为 112π、 80π 和 156π,则该梯形的周长为__________ 10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) π 11、设函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 1 . ⑴求函数 f ( x) 在[0, ]上的最大值与最小值; 2 bcosc ⑵若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求 的值. a
2 2

12、给定两个数列 ?xn ? , ? yn ? 满足 x0 ? y0 ? 1 , xn ?

xn ?1 2 ? xn ?1

(n ? 1) , yn ?
n

2 yn ?1 1 ? 2 yn ?1

(n ? 1) .

证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 j n ,使得 yn ? x j .

1

2014 数学竞赛

13、直线 L1:y=x,与直线 L2:y=kx(k>0),点 P(m, m)是 L1 上的动点,以 P 为圆心的圆切直线 L2 于点 A, 过点 P 作垂直于 x 轴的直线交 L2 于 B. (1)当|OB|=5|BA|时,求直线 L2 的方程; (2)若圆 P 的半径为 1,△OPA 的面积为 1,求 L2 的方程.

14、如图,△ABC 的内心为 I, M , N 分别是 AB, AC 的中点, AB ? AC ,△ABC 的内切圆 ? I 分别与边 BC, CA 相切于 D, E . 证明: MN , BI , DE 三线共点. A

M

N

F

I B D

E C

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2014 数学竞赛

第二套
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1、设关于 x 的不等式 4x2+2(p?2)x?2p2?p+1>0 的解集为 A,且 A∩[?1, 1]≠?,则实数 p 的取值范围是_______ π π 3π a1 2、将函数 f (x)=sin(ωx+ )的图象向右平移 个单位后与 g (x)=cos(ωx+ )的图象重合, 6 4 4 a2 a3 a4 则当|ω|最小时,f (π)=___ a5 a6 a7 a8 a9 3、已知 an ? 3 ? 2n ,把数列 {an } 的各项排成三角形状如右图所示, a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 记 A(i, j ) 表示第 i 行中第 j 个数,则 A(10,8) ? ? π 5π 4、已知 f(x)=sin( +α-x)+cos( -α-x)是偶函数,且-π2<α<π2,则满足条件的实数 α 有 个. 2 2 → → → → 5、已知△ABC 内接于圆 O,若CO· AB=2BO· CA,且|AB|=3,|CA|=6,则 cosA=_________ 6、设 u、v 是实数,则(u-v)2+( 4?u2-2v-5)2 的最小值为_________ 7、已知(x0,y0)是直线 x+y=2k-1 与圆 x2+y2=k2+2k-3 的交点,则当 x0y0 取最小值时 k= 8、已知点 M、N 分别在大小为 60° 的二面角 α-a-β 的 α、β 内,又点 P 到 α、β 的距离依次为 2 与 3, 则 ΔPMN 周长的最小值等于 . 9、 S ?
1 1 1 1 的整数部分是 ? ? ??? 3 5 7 99
A D O

10、 已知非负实数 a、 b、 c 满足 a+b+c=1, 则 a2+b2+c2+18abc 的最大值为_________, 最小值为____________ 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 4 11.已知△ ABC 的内切圆半径为 2,且 tanA=- ,求△ ABC 面积的最小值. 3

B

C

2 ? 2an ? 2 ? n ? N *? . (1)求数列{an}的通项公式; 12.数列{an}满足: a1 ? 3 , an ?1 ? an

(2)求证:数列{an}中的任两项互质; (3)记 bn ?

1 1 , S n 为{bn}的前 n 项和,求 S2011 的整数部分. ? an an ? 2

3

2014 数学竞赛

13、如图, △ABC 中,AB>AC,AE 是其外接圆的切线,D 为 AB 上的点,且 AD=AC=AE. 求证:直线 DE 过△ABC 的内心. A

E D C B

14、设正整数 a, b, c 的最大公约数为 1, 并且

ab ? c ,证明: a ? b 是一个完全平方数. a ?b

4

2014 数学竞赛

第三套
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1、设 f ( x) ? cos2 x ?
2 1 3 2 sin x cos x ? 2 , x ? [?

? ?

, ] ,则 f ( x) 的值域为 6 4

2、若函数 f ? x ? ?

x 1 ? x2

,且 f ( n ) ? x ? ? ?? f [ f [ f ? f ( x)]] ,则 f (8) ?1? ? ?? ?
n个f

π 3.在△ABC 中,若 tan A tan B ? 1 ,则 sin(C- )=____________ 12 4、 设 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 36 上一动点, 点 A(20, 0), 当 P 在圆上运动时, 线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为_____________ ??? ? ???? 5、已知四边形 ABCD , AC 是 BD 的垂直平分线,垂足为 E , O 为直线 BD 外一点.设向量 OB ? 5 , OD ? 3 , ??? ? ???? ??? ? ???? 则 (OA ? OC )?(OB ? OD) 的值是__________ 6、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 A1D1 和 CC1 的中点. 则四面体 O ? MNB1 的体积为 7、设等差数列{an}的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则
S S1 S2 , ,?, 15 中最大的是 a1 a2 a15

8、实数 x, y 满足 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 y ,则 x ? y 的最大值是__________ 9、{a}表示实数 a 的正的小数部分,如: ?1.2? ? 0.2, ??0.3? ? 0.7, 则方程 ?lg( x ? 2)? ? ?lg x? ? 1 在区间 ?10,60 ? 上的 根是 10、不定方程 ?
1 x 1 1 4 ? ? 满足 x≤y≤z 的所有正整数解为______________________. y z 5

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) π 11、已知单位圆与 x 轴正半轴交于点 A,P, Q 是单位圆上的两点,O 是坐标原点,∠AOP= ,∠AOQ=α, 6 3 4 π → → α∈[0, π). ⑴若 Q( , ), 求 cos(α- )的值;⑵设函数 f (α)=OP· OQ,求 f (α)的值域. 5 5 6

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2014 数学竞赛

12、如图,在⊙O 中,弦 CD 垂直于直径 AB,M 是 OC 的中点, AM 的延长线交⊙O 于点 E,DE 与 BC 交于点 N. 求证:BN=CN. 证明:连结 AC,BD.证△BCD∽△OCA?

A

CB CD ? . CO CA
O M C E N B D

CN CD CB CB 1 证△CDN∽△CAM? ? ? ? ? CN ? CB. ? BN ? CN. CM CA CO 2CM 2

x2 y2 y 13、已知点(x,y)在椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的第一象限上运动. ⑴求点( , xy)的轨迹 C1 的方程; a b x 3 ⑵若把轨迹 C1 的方程表达式记为 y=f (x),且在(0, )内 y=f (x)有最大值,试求椭圆 C 的离心率的取值范围. 3

14、设 m 是一个小于 2006 的四位数,已知存在正整数 n,使得 m-n 为质数,且 mn 是一个完全平方数, 求满足条件的所有四位数 m.

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