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2.2.1用样本的频率分布估计总体分布(1)


用样本的频率分布 估计总体分布

例 某市政府为了节约生活用水,计划在本 市试行居民生活用水定额管理,即确定一个 居民月用水量标准a ,用水量不超过a的部分 按平价收费,超过a的部分按议价收费。 ①如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那 么标准a定为多少比较合理呢? ②为了较合理地确定这个标准,你认为需要做 哪些工作?

通过抽样,我

们获得了100位居民某年的月平均用水量 (单位:t) ,如下表:

思考:由上表,大家可以得到什么信息?

1.求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 4.3 - 0.2 = 4.1 2.决定组距与组数
组数:将数据分组,当数据在100个以内时,

按数据多少常分5-12组。
组距:指每个小组的两个端点的距离,

极差 4.1 组数= = = 8.2 组距 0.5 3.将数据分组
[0,0.5 ),[0.5,1 ),…,[4,4.5]

4.列频率分布表 100位居民月平均用水量的频率分布表

注意:这里出来了条形图中条形的宽度。频率不仅与条形的高 度有关,而且与它的宽度有关。 为了使选择不同宽度的总体分布相同,我们用另一种图形表 示,即直方图——用面积表示概率。

5.画频率分布直方图
频率/组 距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

注意: ① 这里的纵坐标不是频率, 而是频率/组距;
直方图

② 某个区间上的概率用这 区间的面积表示;
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t

0

频率 小长方形的面积 = 组距× = 频率 组距 思考:所有小长方形的面积之和等于?

探究:
同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位 不同,得到的图的形状也会不同。不同的形状给人以不 同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断。分 别以1和0.1为组距重新作图,然后谈谈你对图的印象。

画一组数据的频率分布直方图,可以按 以下的步骤进行: 一、求极差,即数据中最大值与最小值的差 二、决定组距与组数 :组距=极差/组数 三、分组,通常对组内数值所在区间, 取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间 四、登记频数,计算频率,列出频率分布表 五、画出频率分布直方图(纵轴表示频率/组距)

频率分布折线图
频率/组 距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

0

0.5 1 1.5

2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t

连接频率直方图中各小长方形上端中点的折线,叫 频率分布折线图

当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那 么频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线 ——总体密度曲线.
频率 组距

总体在区间

(a , b) 内取值的概率

P(a ? ? ? b) ? S阴影

S
a b

产品 尺寸 (mm)

说明:在(a,b)内的概率与在[a,b)内的概率是一样 的

总体密度曲线
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值 的概率,精确地反映了总体的分布规律。是研究总 体分布的工具.

用样本分布直方图去估计相应的总体分布时,一般 样本容量越大,频率分布直方图就会无限接近总体 密度曲线,就越精确地反映了总体的分布规律,即 越精确地反映了总体在各个范围内取值概率。

频率分布直方图
频率分布直方图的纵轴(矩形的高)表示频率与组 距的比值,其相应组距上的频率等于该组距上的面积。

频率/组 距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 月平均用水量/t

如果当地政府希望85%以上的居民每月的用水量不超出 标准,根据频率分布表和频率分布直方图,你能对制定 月用水量提出建议吗? 你认为3吨这个标准一定能够保证85%以上的居民用水 量不超过标准吗?

例题.一个容量为100的样本,数据的分组和各组的 相关信息如下表,试完成表中每一行的两个空格.
分组
[12,15) [15,18)

频数
6

频率
0.08

频率/组距

[18,21)
[21,24) [24,27) 21

0.30
0.69

[27,30)
[30,33) [33,36] 合计

16
0.10 1.00 100 1.00

应用举例:
例1、对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
寿命 个数
100~200 200~300 300~400 400~500 500~600

20

30

80

40

30

(1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计电子元件寿命在100h~400h以内的概率; (4)估计电子元件寿命在400h以上的概率;

(1)列出频率分布表;
寿命 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 合计 频数 20 30 80 40 频率 0.10 0.15 0.40 0.20 累积频率 0.10

30 200

0.15 1

0.25 0.65 0.85 1

频率/组距

0

100 200 300 400 500 600 寿命( h)

(3)由频率分布表可以看 出,寿命在 100h ~ 400 的电子元件出现的频率 为 : 0.65,所以我们估计电子 元件寿命在 100h ~ 400h的概率为: 0.65.

( 4 ) .由频率分布表可知,寿 命在400h以上的电子 元件出现的频率为: 0.20 ? 0.15 ? 0.35 ,故我们 估计电子元件寿命在 400h以上的概率为: 0.35.

课堂小结
编制频率分布直方图的步骤: ①找最大值与最小值。 ②决定组距与组数 ③决定分点 ④登记频数,计算频率,列表,画直方图
说明:(1)确定分点时,使分点比数据多一位小数,并且把第1小组的起 点稍微再小一点.


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