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高中数学知识点练习配套不等式


不等式 知识点与练习 知识点回顾:
一.不等式性质 1.不等式的性质: (1) a ? b ? b ? a , a ? b ? b ? a (反对称性) , a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c

(3) a ? b ? a ? c ? b ? c ,故 a ? b ? c ? a ?

c ? b (移项法则) 推论: a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) 同向不等式可相加但不能相减,即由 a>b,c>d,可以得出 a+c>b+d, 但不能得 a—c>b—d (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 推论 1: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd 推论 2: a ? b ? 0 ? a n ? b n 推论 3: a ? b ? 0 ? n a ? n b 2.常用的基本不等式和重要的不等式 (1) a ? R, a ? 0, a ? 0 当且仅当 a ? 0, 取“?”
2
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(2) a, b ? R, 则a ? b ? 2ab当且仅当 a ? b, 取“?”
2 2

(3) a, b ? R ,则 a ? b ? 2 ab 当且仅当 a ? b, 取“?”

?

a2 ? b2 a?b 2 (4) ?( ) 当且仅当 a ? b, 取“?” 2 2
a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? ?b ? c ? ?? ? (a, b, c ? R, a ? b ? c时取等) 3 3 ? ?
2

幂平均不等式: a1 ? a 2 ? ... ? a n ?
2 2 2

1 (a1 ? a 2 ? ... ? a n ) 2 n

b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b

(6)a ? 0时, | x |? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a 或 x ? a;
(7)

| x |? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a

若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |
2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? ?b ? c ? ?? ? (a, b, c ? R, a ? b ? c时取等) 3 3 ? ? (8)

若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

(9)

幂平均不等式: a1 ? a 2 ? ... ? a n ?
2 2 2
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1 (a1 ? a 2 ? ... ? a n ) 2 n

3 最值定理:设 x, y ? 0,由x ? y ? 2 xy
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(1)如积 xy ? P(定值),则积 x ? y有最小值2 P
2 (2)如积 x ? y ? S (定值),则积 xy 有最大值( )

S 2

4 均值不等式:
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a?b ? ab 2 a?b?c 3 ? abc 三个正数的均值不等是: 3
两个正数的均值不等式: n 个正数的均值不等式:
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a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? a1 a 2 ? a n n

5 四种均值的关系:两个正数 a、 b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间 的关系是
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2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

6、柯西不等式 一、二维形式的柯西不等式

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .)
二、二维形式的柯西不等式的变式

(1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .) (2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .)

(3)(a ? b)(c ? d ) ? ( ac ? bd ) 2 (a , b , c , d ? 0 , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .)
N维

二.不等式的证明方法 1、比较法:作差比较: A ? B ? 0 ? A ? B 作差比较的步骤: ①作差:对要比较大小的两个数(或式)作差 ②变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和 ③判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小 2、反证法:正难则反 3、放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 放缩法的方法有:
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①添加或舍去一些项,如: a ? 1 ? a ;
2

②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式, ④利用常用结论: Ⅰ、 k ? 1 ? k ?

1 k ?1 ? k

?

1 2 k



Ⅱ、

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ; 2 ? (程度大) 2 k (k ? 1) k ? 1 k k (k ? 1) k k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ; (程度小) 2 k k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1

Ⅲ、

4、换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换 元有三角换元和代数换元 如:
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已知 x ? y ? a ,可设 x ? a cos? , y ? a sin ? ;
2 2 2 2 2 已知 x ? y ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? 1 );

已知

x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin ? ; a2 b2

5、构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 6、综合法:由因导果
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7、分析法:执果索因 基本步骤:要证??只需证??,只需证?? 8、数学归纳法
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经典例题
一、选择题 1、如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是(

) D. ?
1 1 ?? a b

A.

1 1 ? a b

B. ab ? b 2

C. ?ab ? ?a 2

2、设变量 x, y 满足 x ? y ? 1, 则 x ? 2 y 的最大值和最小值分别为 (A)1,-1 (B)2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1 ( )

x ?1 3、不等式 ? 0 的解集为 2x ?1
A. ? ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

B. ??

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

C. ? ? ?. ?

? ?

1? 1? ? ? ? ?1,?? ? D. ? ? ?,? ? ? ?1,?? ? 2? 2? ?

? x ? 2y ? 2 ? 4、已知变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 3 x ? y 的取值范围是 ( ?4 x ? y ? ?1 ?
A. [ ?
错 误 !



3 , 6] 2
未 找 到

B. [ ?


3 , ?1] 2
源 。 5

C. [?1, 6] 、 设

D. [ ?6, ]
a, b, c, x, y, z
a?b?c ? x? y?z

3 2



是 正 数 , 且 (
3 4

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 10 , x 2 ? y 2 ? z 2 ? 40 , ax ? by ? cz ? 20 ,则



A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

6、下列不等式一定成立的是 A. lg( x 2 ? ) ? lg x( x ? 0) C. x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R )
2

( B. sin x ? D.
? 1 2



1 4

1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

1 ? 1( x ? R) x ?1
2

7、已知 x ? ln ? , y ? log 5 2, z ? e A. x ? y ? z

,则 C. z ? y ? x
2

( D. y ? z ? x



B. z ? x ? y
2

2 1 2 xy ? ? x ? 3 xy ? 4 y ? z ? 0 x y z的 x , y , z z 8、设正实数 满足 ,则当 取得最大值时,

最大值为( A.0

) B.1
9 C. 4

D.3

二、填空题

1、若不等式 x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 对 x ? (1, 2) 恒成立,则实数 k 的取值范围是______. 2、在实数范围内,不等式 x ? 2 ? 1 ? 1 的解集为_________ 3、已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b(a , b ? R ) 的值域为 [0 , ? ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解 集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为____. 4、若关于实数 x 的不等式 x ? 5 ? x ? 3 ? a 无解,则实数 a 的取值范围是_________ 5、设 x, y , z ? R ,且满足: x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ? _______. 6、设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x -ax-1)≥0,则 a=______________.
2

7、已知 a, b, c ?, a ? 2b ? 3c ? 6, 则a2 ? 4b2 ? 9c2的最小值为 ______. 三、简答题 1、设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明:

1 (Ⅰ) ab ? bc ? ca ? ; 3

a 2 b2 c2 (Ⅱ) ? ? ? 1. b c a

2、设 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) . 求证

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? Sn ? . 2 2

3、设 a n ? 1 ?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. a 3 n 2

4、求证:对于任意的 x, y, z ? (0,1), 不等式 x ? (1 ? y) ? y ? (1 ? z ) ? z ? (1 ? x) ? 1成立。

不等式 参考答案

一、选择题 1、 【答案】D 2、答案:B 3、答案:A 4、 【解析】做出不等式所表示的区域如图,由 z ? 3 x ? y 得 y ? 3 x ? z , 平 移 直 线 y ? 3 x , 由 图 象 可 知 当 直 线 经 过 点 E (2,0) 时 , 直 线

y ? 3 x ? z 的截距最小,此时 z 最大为 z ? 3 x ? y ? 6 ,当直线经过

?4 x ? y ? ?1 ,解得 C 点时,直线截距最大,此时 z 最小,由 ? ?2 x ? y ? 4
1 ? 3 3 ?x ? 2 ,此时 z ? 3 x ? y ? ? 3 ? ? ,所以 z ? 3 x ? y 的取值范 ? 2 2 ? ?y ? 3
围是 [?

3 ,6] ,选 A. 2
2 2
2

5、解析:由于 (a ? b ? c )( x ? y ? z ) ? (ax ? by ? cz )
2 2 2

2

等号成立当且仅当

a b c ? ? ? t , 则 a=t x b=t y c=t z , t 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 10 x y z a b c a?b?c a?b?c ? ? ? , 所以 ? t ? 1 / 2 ,答案选 C. x y z x? y?z x? y?z
2

所以由题知 t ? 1 / 2 又

6、 【解析】由基本不等式得 x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R) ,答案 C 正确.

7、 【解析】 ln ? ? ln e ? 1 , log 5 2 ? log 5 5 ? 8、B 二、填空题 2、 【答案】 ? 0, 4?

1 ? 1 1 1 1 ? ? ,故选答案 D. ,z ?e 2 ? 2 e 4 2

3、 【解析】由值域为 [0 , ? ?) ,当 x 2 ? ax ? b =0 时有 V? a 2 ? 4b ? 0 ,即 b ?

a2 , 4

∴ f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? x 2 ? ax ?

a2 ? a? ??x? ? . 4 ? 2?

2

a a a a? ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? . 2 2 2 2 ? ?
∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 c ? 9 . 4、【答案】 ? ??,8?

2

a 2

a 2

5、 【答案】

3 14 7
2

6、 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x -ax-1 都过定点 P(0,—1). 考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M(
2

1 ,0),还可分析得:a>1; a ?1 1 ,0), 代 入 a ?1

考 查 函 数 y2=x -ax-1: 显 然 过 点 M(
2

得: ?

3 a ? 1 ? , 舍去 a ? 0 , 得 ? 1 ? 0 , 解之得 : a ? 0 or ? ? 2 ? a ?1? a ?1 3 . 2 3 2

答案: a ?

【答案】 a ?

7、 【答案】12 三、解答题 1、

2、解析

此数列的通项为 a k ?
? k ? k (k ? 1) ?

k (k ? 1) , k ? 1,2,? , n.
n n 1 k ? k ?1 1 ? k ? ,? ? k ? S n ? ? (k ? ) , 2 2 2 k ?1 k ?1

2 即 n(n ? 1) ? S n ? n(n ? 1) ? n ? (n ? 1) .

2

2

2

2

1 1 1 1 1 3、 解析 a n ? 1 ? 1a ? a ? ? ? a ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 . 3 n 2 3 n 2 又 k 2 ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ? 1 ,进行部分放缩) , 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? , k (k ? 1) k ? 1 k k 1 于是 a n ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 2 ? ? 2. 2 2 2 n 2 2 3 n ?1 n 2 3 n
4、证明:设 f ( x) ? (1 ? y ? z ) ? x ? y ? (1 ? z ) ? z, 显然该函数是以 x 为主元的一次函数。 当 x ? (0,1) 时, f ( x ) 是单调函数,且 f (0) ? y ? y ? z ? z ? ( y ? 1) ? (1 ? z ) ? 1 ? 1,

f (1) ? 1 ? y ? z ? 1.
所以,当 x ? (0,1) 时, f ( x ) 的最大值小于 1,即 x ? (1 ? y) ? y ? (1 ? z) ? z ? (1 ? x) ? 1

? k ? k (k ? 1) ?

n n 1 k ? k ?1 1 ? k ? ,? ? k ? S n ? ? (k ? ) , 2 2 2 k ?1 k ?1 2 即 n(n ? 1) ? S n ? n(n ? 1) ? n ? (n ? 1) . 2 2 2 2


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