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2013年高考文科数学总复习4-1


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新课标高考总复习(文)

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考纲要求 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能 进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(

正 弦、余弦、正切)的定义.

考情分析 本节内容在高考中要求较低, 单独命题的可能性不大,多与其 他知识结合命题.2010年上海卷考 查了三角函数与充要条件的结合 问题.

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(对应学生用书P59)
知识梳理 1.任意角

(1)角的分类
按旋转方向分为正角、负角、零角. (2)象限角

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(3)象限界角

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(4)终边相同的角

所有与角α终边相同的角(连同α在内).可构成一个集合S={β|β=α
+2kπ,k∈Z}.

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问题探究1:(1)终边相同的角相等吗?它们的大小有何关系? (2)锐角是第一象限角,第一象限角是锐角吗?小于90°的角是锐 角吗? 提示:(1)终边相同的角不一定相等,它们相差360°的整数倍. 但它们不是锐角. 小于90°的角也不一定是锐角,如0°,-30°,都不是锐角.

(2)第一象限角不一定是锐角,如390°,-300°都是第一象限角,

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2.弧度制

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3.任意角的三角函数 三角函数 定义 正弦

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余弦

正切

设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x ,y),那么
y叫做α的正弦,记 作sinα x叫做α的余 弦,记作 cosα + - 叫做α的正切 ,记作tanα + -

各 象 限 符 号

Ⅰ Ⅱ

+ +


Ⅳ 口诀










一全正,二正弦,三正切,四余弦

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三角 函数 正弦

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余弦 正切

三角 函数 线 有向线段MP为 正弦线 有向线段OM为余弦 线 有向线段AT为正 切线

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问题探究2:如何用三角函数线比较三角函数值的大小? 提示:利用三角函数线比较三角函数值的大小既要注意三角函数 线的长度,同时又要注意它的方向与x,y轴正方向相同意味着三角函数 值为正,只需比较三角函数线的长短即可,越长三角函数值越大,否则 越小.

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问题探究3:你能否利用三角函数线证明:当x为锐角时sinx<x<tan x.
提示:如图 x 终边与单位圆 O 的交点为 P,单位圆与 x 轴正半轴交 点为 A, P 点作 PM⊥OA 于 M, A 作 AT⊥OA 交 OP 于 T, 过 过 连接 AP, 则 sinx=MP,x= ,tanx=AT

由 S△ OAP<S 扇形 OAP<S△ OAT 1 1 1 即 OA· PM< OA· < OA· AT 2 2 2 则 PM< <AT

π 因此当 0<x< 时 sinx<x<tanx. 2

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自主检测

1.sin(-270° )=( A.-1 B.0

) 1 C. 2 D.1

解析:解法一:∵-270° 角的终边位于 y 轴的非负半轴上,在其上 任取一点(0,y),则 r=y, y y 故 sin(-270° = =1. )= r y 解法二:sin(-270° )=sin(-270° +360° )=sin90° =1.

答案:D

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2.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧 度数为( A. π 3 ) B. 2π 3 C. 3 D. 2

解析:设圆半径为 R,由题意可知: 圆内接正三角形的边长为 3R. ∴圆弧长为 3R. 3R ∴该圆弧所对圆心角的弧度数为 = 3. R

答案:C

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)

3.将表的分针拨慢 10 分钟,则分针转过的角的弧度数是( A. π 3 B. π 6 C.- π 3 D.- π 6

解析:将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转, ∴C、D 不正确. 2 1 又∵拨慢 10 分,∴转过的角度应为圆周的 = , 12 6 1 π 即为 ×2π= . 6 3

答案:A

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)

4.若α=k· 180°+45°(k∈Z),则α在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限

B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

解析:当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· 180°+225°=m· 360°+22 5°,故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时,α=m· 360°+45°,故α为 第一象限角. 答案:A

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5.(2012 年哈三中高三月考)扇形的中心角为 120° ,半径为 3,则 此扇形的面积为( A.π ) 5π B. 4 3π C. 3 2 3 2 D. π 9

2π 1 2π 解析:∵120° = ,∴S 扇形= × ×( 3)2=π,∴选 A. 3 2 3

答案:A

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6.(2011 年遵义四中月考)点 P 从点(0,1)沿单位圆 x2+y2=1 顺时针 2 2 第一次运动到点( ,- )时,转过的角是________弧度. 2 2 3 解析:点 P 转过的角的绝对值为 π,顺时针旋转应为负角.所以转 4
3 过的角是- π. 4

3 答案:- π 4

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(对应学生用书 P60) 考点 1 终边相同角的表示 1.角的集合的表示形式不是惟一的,如:终边在 y 轴的负半轴上的 π 3π 角的集合可以表示为{x|x=2kπ- , K∈Z}, 也可以表示为{x|x=2kπ+ , 2 2 k∈Z}. α 2.已知 α 的终边位置,确定 kα, (k∈N*)的终边的方法:先用终 k α 边相同角的形式表示出角 α 的范围,再写出 kα 或 的范围,然后就 k 的 k α 可能取值讨论 kα 或 的终边所在位置. k

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α 例 1 已知角 α 是第一象限角,确定 2α, 的终边所在的位置. 2 α α 【分析】 由角 α 的范围写出 2α, 的范围,分类讨论 2α, 的终 2 2

边所在位置
【解】 ∵α 是第一象限的角, π ∴k·2π<α<k·2π+ (k∈Z). 2 (1)k·4π<2α<k·4π+π(k∈Z), 即 2k·2π<2α<2k·2π+π(k∈Z), ∴2α 的终边在第一象限或第二象限或 y 轴的非负半轴上.

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α π (2)k·π< <k·π+ (k∈Z), 2 4

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α π 当 k=2n(n∈Z)时,2nπ< <2nπ+ (n∈Z), 2 4 α ∴ 的终边在第一象限. 2 α π α 当 k=2n+1(n∈Z)时, (2n+1)π< <(2n+1)π+ (n∈Z), 2nπ+π< 即 2 4 2 5π <2nπ+ (n∈Z), 4 α ∴ 的终边在第三象限. 2 α 综上, 的终边在第一象限或第三象限. 2

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(1)解题时,根据条件一定要注意一般性,防止以偏概全. (2)要分清象限角和终边在坐标轴上的角. 尤其对象限界角应引起注意.

(3)讨论角的终边所在象限,一定要注意分类讨论,做到不重不漏,

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若角α与β的终边在一条直线上,则α与β的关系是________. 解析:当α、β的终边重合时, β=α+k· 2π,k∈Z. 当α、β的终边互为反向延长线时, β=π+α+k· 2π=α+(2k+1)π,k∈Z. 答案:β=α+nπ,n∈Z.

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考点 2 弧长与扇形的面积

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涉及弧长和扇形面积的计算,可用的公式有角度和弧度表示两种, 其中弧度表示的公式结构简单易记好用.弧长和扇形面积的核心公式是 圆周长公式 C=2πr 和圆面积公式 S=πr2, 当用圆心角的弧度数 x 代替 2π 1 2 时,即可得到一般弧长和扇形面积公式 l=|α|r,S= |α|r . 2

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例2 已知扇形的周长为4cm,当它的半径和圆心角各取什么值时, 扇形面积最大?并求出这个最大面积. 【分析】 利用扇形的弧长和面积公式,可以把扇形的面积表示 成圆心角的三角函数,或表示成半径的函数,进而求解.

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【解】 解法一:设扇形的圆心角为 α(0<α<2π),半径为 r,面积为 S,弧长为 l,则有 l=αr. 4 由题意有:αr+2r=4,得 r= (cm), α+2 1 4 2 8α ∴S= ( )· α= 2 2 α+2 α +4α+4 8 = ≤ 4 α+ +4 2 α 8 4 α·+4 α =1(cm2),

4 当且仅当 α= ,即 α=2 时取等号, α 4 此时 r= =1(cm). 2+2

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为 1cm2.

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故当半径 r=1 cm,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大,其最大值 解法二:设扇形的圆心角为 α(0<α<2π),半径为 r,面积为 S,则扇 4-2r 形的弧长为 rα,由题意有:2r+rα=4?α= . r 1 2 1 4-2r 2 ∴S= αr = × ×r =2r-r2=-(r-1)2+1, 2 2 r ∴当 r=1(cm)时,S 有最大值 1(cm2), 4-2r 此时 α= =2(弧度). r 故当半径为 1cm,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大,其最大值为 1cm2.

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(1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简 捷. (2)从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于R的不等式或 利用二次函数求最值的方法确定相应最值.

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解答下列各题:

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(1)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数; (2)已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20cm,求扇形的面积.
解:(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π),弧长为 l,半径为 r,

?l+2r=10, ? 依题意有?1 ?2lr=4. ?
解之得 r1=1,r2=4.

① ②

①代入②得 r2-5r+4=0, 当 r=1cm 时,l=8(cm),此时,θ=8rad>2πrad 舍去; 2 1 当 r=4cm 时,l=2(cm),此时,θ= = rad. 4 2

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(2)设扇形弧长为 l, π 2π ∵72° =72× rad= rad, 180 5 2π ∴l=αR= ×20=8π(cm), 5

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1 1 ∴S= lR= ×8π×20=80π(cm2). 2 2

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考点3

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三角函数的定义及符号判断

定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r, 然后用三角函数的定义求解. 求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若直线 的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.

(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,

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3 x.求 sinα 6

例 3 (1)已知角 α 终边经过点 P(x, 2)(x≠0), cosα= - 且 1 + 的值. tanα

(2)如果点 P(sinθ· cosθ,2cosθ)位于第三象限,试判断角 θ 的终边所 在的象限.

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【解析】 x 3 = x 2 x +2 6
2

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x (1)解: |PO|= x +2,由余弦函数定义 cosα= = |PO| ∵x≠0 ∴x=± 10 当 x= 10时,P( 10,- 2),sinα

- 2 6 5+ 6 1 10 + = + =- 6 tanα 12 - 2 - 2 - 10 1 当 x=- 10时,P(- 10,- 2),sinα+ = + = tanα 2 - 2 6 5-6 6

(2)因为点P在第三象限, ∴sinθ· cosθ<0且2cosθ<0, 因此必有sinθ>0,cosθ<0,故θ的终边在第二象限.

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(1)若α角的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.(2)根据三角 函数的定义讨论角α在各个象限三角函数值的符号,记忆口诀为:一全 正、二正弦、三两切、四余弦.

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1 (1)已知角α的终边上一点P的坐标为(- 3,y)(y≠0),且sinα= y, 2 1 则cosα- 等于( tanα 3 3 A. 或- 2 2 3 C.- 2 限. A.一 B.二 C.三 D.四 ) 3 B. 2 3 3 3 D. 或- 2 2

(2)已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第________象

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2

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y 1 解析:(1)∵|PO|= 3+y ,根据正弦函数的定义知 2 =2y, 3+y ∵y≠0,解得y=± 1,∴|PO|=2,P(- 3,± 1). - 3 3 当y=1时,cosα= =- , 2 2 1 3 cosα= =- , 3 - 3 ∴cosα- 1 3 3 =- + 3= . 2 2 tanα

- 3 -1 3 3 当y=-1时,cosα= =- ,tanα= = , 2 2 - 3 3 1 3 3 3 ∴cosα- =- - 3=- . 2 2 tanα 所以选D.

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?tanα<0 (2)因为点P(tanα,cosα)在第三象限,因此有? ?cosα<0

∴α是第二象限角,故选B.

答案:(1)D

(2)B

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考点4 三角函数线的应用

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三角函数线是三角函数的一种几何表示,三角函数线体现了数形 结合的思想.例如,借助三角函数可以直接得到sinα与cosα的大小关 系.在直角坐标系内作直线y=x(如图所示),则有:

(1)当角α的终边落在直线y=x上时,sinα=cosα; (2)当角α的终边落在直线y=x的上方时,sinα>cosα;

(3)当角α的终边落在直线y=x的下方时,sinα<cosα.

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)

例4 在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围为( π π 5π A.( , )∪(π, ) 4 2 4 π 5π C.( , ) 4 4 π B.( ,π) 4 π 5π 3π D.( ,π)∪( , ) 4 4 2

【解析】

在单位圆中画三角函数线,如图所示,要使在(0,2π)

π 5 内,sinx>cosx,则x∈( , π). 4 4

【答案】

C

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(1)利用三角函数线可以观察三角函数的单调性、周期性和作三角 函数图象等. 1 (2)利用三角函数线可以解不等式和证明不等式,例如求满足 sinx> 2 的 x 的范围等.

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在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角 α的集合: 3 1 (1)sinα≥ ;(2)cosα≤- . 2 2

3 解:(1)作直线y= 交单位圆于A、B两点,连接OA、OB,则OA 2 与OB围成的区域即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为 π 2 {α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3

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1 (2)作直线x=- 交单位圆于C、D两点,连接OC、OD,则OC与 2 OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α 2 4 的集合为{α|2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3

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(对应学生用书P61)

易错点 忽视对参数的讨论
已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0),求θ角的正弦、余弦和正切

值.
【错解】 ∵x=3a,y=4a, ∴r= ?3a?2+?4a?2=5a, y 4 x 3 y 4 于是sinθ= = ,cosθ= = ,tanθ= = . r 5 r 5 x 3

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【错因分析】

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本题的错误在于求r时,没有考虑参数a的取值情

况,默认为a>0,从而导致出错.
【正确解答】 ∵x=3a,y=4a,

∴r= ?3a?2+?4a?2= 25a 2 =5|a|. (1)当a>0时,r=5a, y 4 x 3 sinθ= = ,cosθ= = , r 5 r 5 y 4 tanθ= = ; x 3 (2)当a<0时,r=-5a, y 4 x 3 sinθ= =- ,cosθ= =- , 5 5 r r y 4 tanθ= = . x 3

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在用三角函数的定义求三角函数值时,若含有字母参数,要注意 对参数的讨论,另外在这部分内容中还要注意:(1)区分第一象限角,锐 角和小于90°角的不同;(2)角度制和弧度制是表示角的两种不同方式, 可以互化但不能在同一个式子中混用.

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角α终边上一点P(4m,-3m)(m≠0),则2sinα+cosα的值为_______ _.
2 答案:± 5

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1.终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 2.由角终边满足条件求角的三角函数值时,结合坐标系分类讨 论. 3.注意在弧度制下,计算扇形的面积和弧长更方便简洁. 4.三角函数值的符号判定要依据角的范围,不要扩大角的范围.


2013年高考文科数学复习试卷4

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