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抽象函数奇偶性对称性周期性

时间:2011-01-14


严守俊 2163558 13529652696 《函数的奇偶性周期性对称性》第 1 页 共 10 页

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函 数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值, 特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数

部分的一 个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比 较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及 函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义:
对于 f ( x ) 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得 f ( x ? T ) ? f ( x ) 恒成立, 则称函数 f ( x ) 具有周期性,T 叫做 f ( x ) 的一个周期,则 k T ( k ? Z , k ? 0 )也是 f ( x ) 的 周期,所有周期中的最小正数叫 f ( x ) 的最小正周期。 分段函数的周期:设 y ? f ( x ) 是周期函数,在任意一个周期内的图像为 C: y ? f ( x ),
x ? ?a , b ?, T ? b ? a

。把 y

? f ( x ) 沿 x 轴平移 KT ? K ( b ? a ) 个单位即按向量

a ? ( kT , 0 ) 平移,即得

y ? f ( x ) 在其他周期的图像:

y ? f ( x ? kT ), x ? ?kT ? a , kT ? b ? 。
? f (x) f (x) ? ? ? f ( x ? kT ) x ? ?a, b ? x ? ?kT ? a, kT ? b ?

2、奇偶函数: 设 y ? f ( x ), x ? ?a , b ?或 x ? ?? b , ? a ? ? ?a , b ? ①若 f ( ? x ) ? ? f ( x ), 则称 y ? f ( x )为奇函数; ②若 f ( ? x ) ? f ( x ) 则称 y ? f ( x )为偶函数 。
分段函数的奇偶性

3、函数的对称性: (1)中心对称即点对称:
①点 A ( x , y ) 与 B ( 2 a ? x , 2 b ? y ) 关于点 ( a , b ) 对称; ② 点 A ( a ? x , b ? y ) 与 B ( a ? x , b ? y ) 关于 ( a , b ) 对称; ③ 函数 y ? f ( x ) 与 2 b ? y ? f ( 2 a ? x ) 关于点 ( a , b ) 成中心对称; ④ 函数 b ? y ? f ( a ? x ) 与 b ? y ? f ( a ? x ) 关于点 ( a , b ) 成中心对称; ⑤ 函数 F ( x , y ) ? 0 与 F ( 2 a ? x , 2 b ? y ) ? 0 关于点 ( a , b ) 成中心对称。

(2)轴对称:对称轴方程为: Ax ①
点 A ( x , y )与 B ( x , y ) ? B ( x ?
/ /

? By ? C ? 0


,y ? 2 B ( Ax ? By ? C ) A
2

2 A ( Ax ? By ? C ) A
2

? B

2

? B

2

)

关于

严守俊 2163558 13529652696 《函数的奇偶性周期性对称性》第 2 页 共 10 页 直线 Ax
? By ? C ? 0 成轴对称;
? f ( x )与 y ? 2 B ( Ax ? By ? C ) A
Ax ? By ? C ? 0
2

②函数 y

? B

2

? f (x ?

2 A ( Ax ? By ? C ) A
2

? B

2

)

关于直线

成轴对称。
2 A ( Ax ? By ? C ) A
2

③ F ( x, y)

? 0与 F ( x ?

? B

2

,y?

2 B ( Ax ? By ? C ) A
2

? B

2

) ? 0

关于直线

Ax ? By ? C ? 0

成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论
(一)函数 y ? f ( x ) 图象本身的对称性(自身对称)



f (x ? a) ? ? f ( x ? b)

, 则

f (x)

具有周期性; 若

f ( a ? x ) ? ? f (b ? x ) , f ( x ) 则

具有对称性: “内同表示周期性,内反表示对称性” 。
1、 f ( a ? x ) ? f ( b ? x ) ? y ? f ( x ) 图象关于直线 x ?
( a ? x ) ? (b ? x ) 2 ? a ?b 2

对称

推论 1: f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 推论 2、 f ( x ) ? f ( 2 a ? x ) 推论 3、 f ( ? x ) ? f ( 2 a ? x ) 2、 f ( a ? x ) ? f ( b ? x ) ? 2 c
? y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x ) 的图象关于点 (
a ?b 2 , c ) 对称

推论 1、 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? 2 b ? y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a , b ) 对称 推论 2、 f ( x ) ? f ( 2 a ? x ) ? 2 b
? y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a , b ) 对称

推论 3、 f ( ? x ) ? f ( 2 a ? x ) ? 2 b ? y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a , b ) 对称 (二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、偶函数 y ? f ( x ) 与 y ? f ( ? x ) 图象关于 Y 轴对称 2、奇函数 y ? f ( x ) 与 y ? ? f ( ? x ) 图象关于原点对称函数 3、函数 y ? f ( x ) 与 y ? ? f ( x ) 图象关于 X 轴对称

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4、互为反函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? f
?1

( x ) 图象关于直线 y ? x 对称
b? a 2

5.函数 y ? f ( a ? x ) 与 y ? f ( b ? x ) 图象关于直线 x ?

对称

推论 1:函数 y ? f ( a ? x ) 与 y ? f ( a ? x ) 图象关于直线 x ? 0 对称 推论 2:函数 y ? f ( x ) 与 y ? f ( 2 a ? x ) 图象关于直线 x ? a 对称

推论 3:函数 y ? f ( ? x ) 与 y ? f ( 2 a ? x ) 图象关于直线 x ? ? a 对称

(三)抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性
性质 1 若函数 y=f(x)关于直线 x=a 轴对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(2a-x)=f(x) (3)f(2a+x)=f(-x) 性质 2 若函数 y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=-f(a-x)(2)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x) 易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质 1(或 2)当 a=0 时的特例。

2、复合函数的奇偶性 定义 1、 若对于定义域内的任一变量 x,均有 f[g(-x)]=f[g(x)],则复 数函数 y=f[g(x)]为偶函数。 定义 2、 若对于定义域内的任一变量 x,均有 f[g(-x)]=-f[g(x)],则 复合函数 y=f[g(x)]为奇函数。 说明: (1) 复数函数 f[g(x)]为偶函数, f[g(-x)]=f[g(x)]而不是 f[-g(x)] 则 =f[g(x)],复合函数 y=f[g(x)]为奇函数,则 f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是 f[-g(x)]=-f[g(x)]。 (2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则 f(x+a)=f(-x+a);y=f(x +a)为奇函数,则 f(-x+a)=-f(a+x) (3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数 y=f(x)关于直线 x =a 轴对称(或关于点(a,0)中心对称) 3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于直线 x=(b-a)/2 轴对称 性质 4、复合函数 y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中 心对称 推论 1、 复合函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 y=f(a+x)与 y=-f(a-x)关于原点中心对称

严守俊 2163558 13529652696 《函数的奇偶性周期性对称性》第 4 页 共 10 页 4、函数的周期性 若 a 是非零常数,若对于函数 y=f(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件 之一成立,则函数 y=f(x)是周期函数,且 2|a|是它的一个周期。 ①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x) ③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x) 5、函数的对称性与周期性 性质 5 若函数 y=f(x)同时关于直线 x=a 与 x=b 轴对称,则函数 f(x)必 为周期函数,且 T=2|a-b| 性质 6、若函数 y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函 数 f(x)必为周期函数,且 T=2|a-b| 性质 7、若函数 y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线 x=b 轴对 称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T=4|a-b|
6、函数对称性的应用 (1)若 y ? f ( x ) 关于点( h , k ) 对称,则 x ? x ? 2 h , y ? y ? 2 k ,即
/ /

f ( x) ? f ( x ) ? f ( x) ? f (2h ? x) ? 2k
/

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n ) ? f ( 2 h ? x n ) ? f ( 2 h ? x n ? 1 ) ? ? ? f ( 2 h ? x 1 ) ? 2 nk

(2)例题 1、 f ( x ) ?
a
4
x

a
x

x

?

关于点( a

1 1 , )对称: 2 2

f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 1 ;

f (x) ?

?1
x ?1

? 2 x ? 1关于( 0, 1)对称:

f ( x) ? f (? x) ? 2
1 f( x ) ? f ( ) ? 1 x

2
f (x) ? x

1
?

?1

(? ? R , x ? 0 ) 关于(

1 1 , )对称: 2 2

2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称: f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 。 3、 f ( x ) ? f ( 2 a ? x ) 或 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ), 则 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? a 对 若 称。设 f ( x ) ? 0 有 n 个不同的实数根,则
x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? x 1 ? ( 2 a ? x 1 ) ? x 2 ? ( 2 a ? x 2 ) ? ? ? x n ? ( 2 a ? x n ) ? na .
2 2

(当 n ? 2 k ? 1时,必有

x1 ? 2 a ? x1 , ? x1 ? a )

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(四)常用函数的对称性

三、函数周期性的几个重要结论
1、 f ( x ? T ) ? f ( x ) ( T ? 0 ) ? y ? f ( x ) 的周期为 T , k T ( k ? Z )也是函数的周期 2、 f ( x ? a ) ? f ( x ? b ) ? y ? f ( x ) 的周期为 T ? b ? a 3、 f ( x ? a ) ? ? f ( x )
1 f (x) 1 f (x) 1 ? f (x) 1 ? f (x) 1 f (x) ? 1

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 2 a

4、 f ( x ? a ) ?

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 2 a

5、 f ( x ? a ) ? ?

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 2 a

6、 f ( x ? a ) ?

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 3 a

7、 f ( x ? a ) ? ?

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 2 a

8、 f ( x ? a ) ?

1 ? f (x) 1 ? f (x)

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 4 a

9、 f ( x ? 2 a ) ? f ( x ? a ) ? f ( x )

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 6 a
), 则T ? p 2 .

10、若 p

? 0 , f ( px ) ? f ( px ?

p 2

11、 y ? f ( x ) 有两条对称轴 x ? a 和 x ? b ( b ? a ) ? y ? f ( x ) 周期 T ? 2 ( b ? a ) 推论:偶函数 y ? f ( x ) 满足 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? y ? f ( x ) 周期 T ? 2 a 12、 y ? f ( x ) 有两个对称中心 ( a , 0 ) 和 (b , 0 ) ( b ? a ) ? y ? f ( x ) 周期 T ? 2 ( b ? a ) 推论:奇函数 y ? f ( x ) 满足 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? y ? f ( x ) 周期 T ? 4 a 13、 y ? f ( x ) 有一条对称轴 x ? a 和一个对称中心 (b , 0 ) ( b ? a ) ? f ( x ) 的 T ? 4 ( b ? a )

四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型

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灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性,可巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分 析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。 1.求函数值 例 1.(1996 年 高考题) 设 f ( x ) 是 ( ?? , ?? ) 上 的奇函 数, f ( 2 ? x ) ? ? f ( x ), 当
0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? x ,则 f ( 7 . 5 ) 等于(-0.5)

(A)0.5;

(B)-0.5;

(C)1.5;

(D)-1.5.

例 2. (1989 年北京市中学生数学竞赛题)已知 f ( x ) 是定义在实数集上的函数,且
f ( x ? 2 ) ?1 ? f ( x ) ? ? 1 ? f ( x ) , f (1) ? 2 ?
3 , 求 f (1989 ) 的值. f (1989 ) ? 3 ?2。

2、比较函数值大小 例 3.若 f ( x )( x ? R ) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? ?0 ,1 ? 时, f ( x ) ? x 1998 , 试比较
f( 98 19 )、 f( 101 17 )、 f ( 104 15
1 1998 1

) 的大小.

解:? f ( x )( x ? R ) 是以 2 为周期的偶函数,又? f ( x ) ? x
0 ? 1 17 ? 16 19 ? 14 15 ? 1 ,? f ( 1 17 )? f( 16 19 )? f( 14 15 ), 即 f ( 101 17

在 ?0 ,1 ? 上是增函数,且
98 19 )? f( 104 15 ).

? f(

3、求函数解析式
例 4.(1989 年高考题)设 f ( x ) 是定义在区间 ( ?? , ?? ) 上且以 2 为周期的函数,对
k ? Z ,用 I k 表示区间 ( 2 k ? 1, 2 k ? 1), 已知当 x ? I 0 时, f ( x ) ? x . 求 f ( x ) 在 I k 上的解
2

析式. 解:设 x ? ( 2 k ? 1, 2 k ? 1), ? 2 k ? 1 ? x ? 2 k ? 1 ? ? 1 ? x ? 2 k ? 1
? x ? I 0 时,有 f ( x ) ? x ,? 由 ? 1 ? x ? 2 k ? 1得 f ( x ? 2 k ) ? ( x ? 2 k )
2 2

? f ( x ) 是以 2 为周期的函数,? f ( x ? 2 k ) ? f ( x ), ? f ( x ) ? ( x ? 2 k ) .
2

例 5.设 f ( x ) 是定义在 ( ?? , ?? ) 上以 2 为周期的周期函数,且 f ( x ) 是偶函数,在区 间 ?2 ,3 ? 上, f ( x ) ? ? 2 ( x ? 3 ) ? 4 . 求 x ? ?1, 2 ? 时, f ( x ) 的解析式.
2

解:当 x ? ?? 3 , ? 2 ? ,即 ? x ? ?2 , 3 ? ,
f ( x ) ? f ( ? x ) ? ? 2 ( ? x ? 3) ? 4 ? ? 2 ( x ? 3) ? 4
2 2

又 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数,于是当 x ? ?1, 2 ? ,即 ? 3 ? x ? 4 ? ? 2 时,

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有 f ( x) ? f ( x ? 4) ? f ( x ) ? ? 2 ?( x ? 4 ) ? 3 ? ? 4 ? ? 2 ( x ? 1) ? 4 (1 ? x ? 2 ).
2 2

? f ( x ) ? ? 2 ( x ? 1) ? 4 (1 ? x ? 2 ).
2

4、判断函数奇偶性
例 6.已知 f ( x ) 的周期为 4,且等式 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) 对任意 x ? R 均成立, 判断函数 f ( x ) 的奇偶性. 解:由 f ( x ) 的周期为 4,得 f ( x ) ? f ( 4 ? x ) ,由 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) 得
f ( ? x ) ? f ( 4 ? x ) ,? f ( ? x ) ? f ( x ), 故 f ( x ) 为偶函数.

5、确定函数图象与 x 轴交点的个数
例 7.设函数 f ( x ) 对任意实数 x 满足 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) , f ( 7 ? x ) ?
f ( 7 ? x ) 且 f ( 0 ) ? 0 , 判断函数 f ( x ) 图象在区间 ?? 30 , 30 ? 上与 x 轴至少有多少个交点.

解:由题设知函数 f ( x ) 图象关于直线 x ? 2 和 x ? 7 对称,又由函数的性质得
f ( x ) 是以 10 为周期的函数.在一个周期区间 ?0 ,10 ? 上,

f ( 0 ) ? 0 , f ( 4 ) ? f ( 2 ? 2 ) ? f ( 2 ? 2 ) ? f ( 0 ) ? 0 且 f ( x ) 不能恒为零

,

故 f ( x ) 图象与 x 轴至少有 2 个交点. 而区间 ?? 30 , 30 ? 有 6 个周期,故在闭区间 ?? 30 , 30 ? 上 f ( x ) 图象与 x 轴至少有 13 个交 点.

6、在数列中的应用
例 8.在数列 ?a n ? 中, a 1 ?
a 1 ? a 5 ? a 9 ? ? ? a 1997 .

3,an ?

1 ? a n ?1 1 ? a n ?1

( n ? 2 ) ,求数列的通项公式,并计算

分析:此题的思路与例 2 思路类似. 解:令 a 1 ? tg ? , 则 a 2 ?
1 ? a1 1 ? a1 ? 1 ? tg ? 1 ? tg ? ? tg (

?
4

??)

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1 ? a2 1 ? a2 1 ? tg ( ? 1 ? tg (

?
4

??) ? tg ( 2 ? ??)

a3 ?

?
4

?
4

??)

????

? ? ? a n ? 1 ? tg ( n ? 1) ? ?? ? 4 ?

1 ? a n ?1 ? ? ? ? , 于是 a n ? ? tg ( n ? 1) ? ? ? ? ? 1 ? a n ?1 4 ? ? ?

不难用归纳法证明数列的通项为: a n ? tg (

?
4

n?

?
4

? ? ) ,且以 4 为周期.

于是有 1,5,9 ?1997 是以 4 为公差的等差数列,
? a 1 ? a 5 ? a 9 ? ? ? a 1997 ,由 1997 ? 1 ? ( n ? 1) ? 4 得总项数为 500 项,

? a 1 ? a 5 ? a 9 ? ? ? a 1997 ? 500 ? a 1 ? 500

3.

7、在二项式中的应用
例 9.今天是星期三,试求今天后的第 92
92

天是星期几?

分析:转化为二项式的展开式后,利用一周为七天这个循环数来进行计算即可. 解:? 92
? 92
92
92

? ( 91 ? 1)

92

? C 92 91
0

92

? C 92 91
1

91

? ? ? C 92 91
90

2

? C 92 ? 91 ? 1
91

? ( 7 ? 13 ? 1)

92

? C 92 ( 7 ? 13 )
0

92

? C 92 ( 7 ? 13 )
1

91

? ? ? C 92 ( 7 ? 13 )
90

2

? C 92 ( 7 ? 13 ) ? 1
91

因为展开式中前 92 项中均有 7 这个因子,最后一项为 1,即为余数, 故 92
92

天为星期四.

8、复数中的应用
例 10. (上海市 1994 年高考题) z ? ? 设 且大于 1 的正整数 n 中最小的是 ? ? (A) 3 ;
1 2 1 2 ? 3 2 i ( i 是虚数单位 ), 则满足等式 z
n

? z,

(B)4
? 3 2
n ?1



(C)6



(D)7.

分析:运用 z ? ?

i 方幂的周期性求值即可.

解:? z
? z
3

n

? z ,? z ( z

? 1) ? 0 ? z

n ?1

? 1,

? 1,? n ? 1必须是 3的倍数 , 即 n ? 1 ? 3 k ( k ? N ),

? n ? 3 k ? 1 ( k ? N ). ? k ? 1时 , n 最小 ,? ( n ) min ? 4 .故选择 ( B )

严守俊 2163558 13529652696 《函数的奇偶性周期性对称性》第 9 页 共 10 页 9、解“立几”题
例 11.ABCD— A1 B 1 C 1 D 1 是单位长方体,黑白二蚁都从点 A 出发,沿棱向前爬行,每走 一 条 棱称 为 “走 完一 段 ” 白 蚁爬 行 的路 线是 AA 1 ? A1 D 1 ? ? , 黑 蚁 爬 行的 路 线是 。
AB ? BB 1 ? ? . 它们都遵循如下规则:所爬行的第 i ? 2 段所在直线与第 i 段所在直线必

须是异面直线(其中 i ? N ) .设黑白二蚁走完第 1990 段后,各停止在正方体的某个顶点处, 这时黑白蚁的距离是 ? ? (A)1; (B) 2 ; (C) 3 ; (D)0.

解:依条件列出白蚁的路线 AA 1 ? A1 D 1 ? D 1 C 1 ? C 1 C ? CB ?
BA ? AA 1 ? ? , 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了 A 点.可验证知:黑白二蚁走

完六段后必回到起点,可以判断每六段是一个周期. 1990=6 ? 331 ? 4 ,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不难计算出 在走完四段后黑蚁在 D 1 点,白蚁在 C 点,故所求距离是 2 .

例题与应用
例 1:f(x) 是 R 上的奇函数 f(x)=- f(x+4) ,x∈[0,2]时 f(x)=x,求 f(2007) 的值 例 2:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2,求 f(2009) 的值 。故 f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2 例 3:已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 x ? ?? 2 , 0 ? 时,f(x)=- 2x+1,则当 x ? ?4 , 6 ? 时求 f(x)的解析式 例 4:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+999)= ? 试判断函数 f(x)的奇偶性. 例 5:已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 x ? ?? 2 , 0 ? 时,f(x)是减 函数,求证当 x ? ?4 , 6 ? 时 f(x)为增函数 例 6:f(x)满足 f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000),a∈[5,9]且 f(x) 在[5,9]上单调.求 a 的值. 例 7:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(x)= f(4-x),f(7+x)= f(7-x),f(0)=0, 求在区间[-1000,1000]上 f(x)=0 至少有几个根? 解:依题意 f(x)关于 x=2,x=7 对称,类比命题 2(2)可知 f(x)的一个周期是 10
1 f (x)

,f(999+x)=f(999-x),

严守俊 2163558 13529652696 《函数的奇偶性周期性对称性》第 10 页 共 10 页
故 f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0 即在区间(0,10]上,方程 f(x)=0 至少两个根 又 f(x)是周期为 10 的函数,每个周期上至少有两个根, 因此方程 f(x)=0 在区间[-1000,1000]上至少有 1+ 2 ?
2000 10

=401 个根.

例 1、 函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的函数,那么 y=-f(x+4)与 y=

f(6-x)的图象之间(D ) A.关于直线 x=5 对称 B.关于直线 x=1 对称 C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称 解:据复合函数的对称性知函数 y=-f(x+4)与 y=f(6-x)之间关于 点((6-4)/2,0)即(1,0)中心对称,故选 D。(原卷错选为 C) 例 2、 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于 x=1 对称,证明 f(x) 是周期函数。(2001 年理工类第 22 题) 例 3、 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时 f(x)=x,则 f(7.5)等于(-0.5)(1996 年理工类第 15 题) 例 4、 设 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(10+x)=f(10-x),f(20- x)=-f(20+x),则 f(x)是(C ) A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 六、巩固练习
1、函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的函数,那么 y=-f(x+4)与 y= f(6-x)的图象( )。 A.关于直线 x=5 对称 B.关于直线 x=1 对称 C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称 2、设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时, f(x)=x,则 f(7.5)=( )。 A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 3、设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且满足 f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x),则 f(x)是( )。 A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 4、f(x)是定义在 R 上的偶函数,图象关于 x=1 对称,证明 f(x)是周期函数。 参考答案:D,B,C,T=2。
{ 5、在数列 x n} 中 , 已 知 x1 ? x 2 ? 1, x n ? 2 ? x n ? 1 ? x n ( n ? N *), x1 0 0 =-1. 求


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