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导数题型总结


导数题型总结
题型一: 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量 ; 2 变更主元; 3 根分布; 4 判别式法

5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分 应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围

。 注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ' ( x) ? 0 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例 1:设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ,若 在区间 D 上, g ( x) ? 0 恒成立,则称函数 y ? f ( x) 在区间 D 上为“凸函数”,已知实数 m

x 4 mx3 3x 2 ? ? 是常数, f ( x) ? 12 6 2
(1)若 y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数”,求 m 的取值范围; (2) 若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m , 函数 f ( x) 在区间 ? a, b ? 上都为 “凸函数” , 求b ? a 的最大值.

例 2:设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式 f ?( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围.

第三种:构造函数求最值 题型特征: f ( x) ? g ( x) 恒成立 ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立;从而转化为第一、二 种题型 例 3;已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 处的切线斜率为 ?3 ,

g ( x) ? x 3 ?

t ?6 2 x ? (t ? 1) x ? 3 2

(t ? 0)

(Ⅰ)求 a , b 的值;

(Ⅱ)当 x ? [?1, 4] 时,求 f ( x ) 的值域;

(Ⅲ)当 x ? [1, 4] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。

二、参数问题 题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1:转化为 f ' ( x) ? 0或f ' ( x) ? 0 在给定区间上恒成立, 回归基础题型 解法 2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是 求的增或减区间的子集; 例 4:已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? (4a ? 1) x . 12 2

(Ⅰ)如果函数 g ( x) ? f ?( x) 是偶函数,求 f ( x) 的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 是 (??,

? ?) 上的单调函数,求 a 的取值范围.

例 5、已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2 ? a) x 2 ? (1 ? a) x(a ? 0). 3 2

(I)求 f ( x) 的单调区间; (II)若 f ( x) 在[0,1]上单调递增,求 a 的取值范围。

三、题型二:根的个数问题 题 1 函数 f(x)与 g(x)(或与 x 轴)的交点======即方程根的个数问题 解题步骤 第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋 势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组); 主要看极大值和极小值与 0 的关系; 第三步:解不等式(组)即可; 例 6、已知函数 f ( x) ? 函数. (1)求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围.

1 1 3 (k ? 1) 2 x ? x , g ( x) ? ? kx ,且 f ( x) 在区间 (2,??) 上为增 3 3 2

根的个数知道,部分根可求或已知。 例 7、已知函数 f ( x) ? ax ?
3

1 2 x ? 2x ? c 2

(1)若 x ? ?1 是 f ( x) 的极值点且 f ( x) 的图像过原点,求 f ( x) 的极值; (2)若 g ( x) ?

1 2 bx ? x ? d ,在(1)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) 的图像 2

与函数 f ( x) 的图像恒有含 x ? ?1 的三个不同交点?若存在,求出实数 b 的取值范围;否则 说明理由。

题 2:切线的条数问题====以切点 x0 为未知数的方程的根的个数 例 7、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其导数 f '( x) ? 0 的 x 的 取值范围为 (1,3) ,求: (1) f ( x ) 的解析式; (2)若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

题 3:已知 f ( x) 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数 解法:根分布或判别式法 例 8、已知函数 f ? x ? ?

1 3 1 x ? (m ? 3) x 2 ? (m ? 6) x , x ? R ( m 为常数)。 3 2

( ? )当 m ? 4 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; ( ?? )若函数 y ? f ? x ? 的区间 ?1, ?? ? 上有两个极值点,求实数 m 的取值范围。

例 9、已知函数 f ( x) ?

a 3 1 2 x ? x , (a ? R, a ? 0) 3 2

3.求 f ( x) 的单调区间; (2)令 g ( x) =

1 4 x +f(x)(x∈ R)有且仅有 3 个极值点,求 a 的取值范围. 4

其它例题:
3 2 ( a ? 0) 1、 (最值问题与主元变更法的例子) .已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? b

在区间 ? ?2,1? 上的最大值是 5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;

? tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. (Ⅱ)若 t ? [?1,1] 时, f ?( x)

2、(根分布与线性规划例子)已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? ax 2 ? bx ? c 3

(Ⅰ) 若函数 f ( x) 在 x ? 1 时有极值且在函数图象上的点 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行, 求 f ( x) 的解析式; ( Ⅱ ) 当 f ( x) 在 x ? (0, 1) 取 得 极 大 值 且 在 x ? ( 1 ,

2取 ) 得极小值时, 设点

M ( b? 2 , a ? 1 ) 所在平面区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求
直线 L 的方程.

3、(根的个数问题)已知函数 f(x) ? ax3 ? bx2 ? (c ? 3a ? 2b)x ? d (a ? 0) 的图象如图 所示。 (Ⅰ)求 c、 d 的值;

)的 ) 切线方程为 ( Ⅱ ) 若 函 数 f (x) 的 图 象 在 点 ( 2 , f ( 2 处 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f ( x )的解析式;
(Ⅲ) 若 x0 ? 5, 方程 f (x) ? 8a 有三个不同的根, 求实数 a 的取值范围。

4、(根的个数问题)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? x ? 1(a ? R ) 3

(1)若函数 f ( x) 在 x ? x1 , x ? x2 处取得极值,且 x1 ? x2 ? 2 ,求 a 的值及 f ( x) 的单调 区间; (2)若 a ?

1 1 2 5 ,讨论曲线 f ( x) 与 g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? ( ?2 ? x ? 1) 的交点个数. 2 2 6

5、(简单切线问题)已知函数 f ( x) ? 函数 g ( x ) ? f ( x ) ?

2 10 x3 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 , 2 5 a

3bx ? 3. a2

(Ⅰ) 若函数 g ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 g ( x) 的解析式; (Ⅱ) 若函数 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上为增函数,且 b ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上都成
2

立,求实数 m 的取值范围.

6、已知函数 f ( x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x ) 取得极值 ?2 . (1)求 f ( x ) 的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1 , x2 ? (?1,1), 不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 恒成立


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