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2.2.2等比数列的前n项和(1)

时间:2017-08-05


沈阳市第三十五中学生本课堂导学案

课题:等比数列的前 n 项和

科目:

数学

设计人: 秦颖

备课组长:陈艳萍

年级主任:徐亮

2.3.2 等比数列的前 n 项和
【使用说明】 1.阅读材料部分,自主高效预习; 2.结

合课本基础知识和例题,完成预习自测 题;对合作探究部分认真审题,做不好的上课时组内讨论。 3.将预习中不能解决的问题标识 出来,并写到后面“我的疑惑”处,准备课上讨论质疑。 【学习目标】1.掌握等比数列的前 n 项和公式及推导过程;2.能用等比数列的前 n 项和公式解 决实际问题;3.通过自主学习、合作探究,体验学习的快乐 . 【知识回顾】 1.等比数列的定义:q =____________;2. 等比数列的通项公式: an = ___________________. 3.等比数列相关性质: 4.等差数列前 n 项和 Sn=____________________________. 【材料】由国际象棋的故事引出的等比数列及其求和问题 国王要奖赏国际象棋的发明者 ,问他有什么要求 ,发明者说:“请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒,在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒,在第 3 个格子里放上 4 颗麦粒,依此类推,每个格子里 放的麦粒数都是前一个格子里放的 2 倍,直到第 64 个格子,请给我足够的粮食来实现上述要 求”.国王觉得这并不是很难办到的 ,就欣然同意了他的要求 .请问, 国王能兑现他的承诺吗? 由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的 2 倍,且共有 64 个格子, 上述问题可看成求等比数列 1,2 ,2 ,2 ,...2
1 2 3 63

①-②得 即 Sn=

【新知生成】从而,等比数列的前 n 项和公式: 1)首相、公比与项数: Sn ? ?

? _______, (q ? 1) ? _________ ? ________ .(q ? 1) ? _______, (q ? 1) ? _________ ? ________ .(q ? 1)

2)首相、末项与公式: Sn ? ?

的和

注:①知三求二:n q a1 an Sn ②注意 q=1 的情况,分类讨论 ③错位相减法:乘公比(作用是构造许多相同项)后错开一项后再减。 【预习自测】 1 1.等比数列中 a1=-4,q= ,则 Sn= ______ 2 1 1 1 2.求等比数列 , , ,…的前 8 项的和. 2 4 8 3. 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? (?2) n?1 = 4. 2 2 ? 2 4 ? 2 6 ? ? ? 2 2 n ? 【我的疑惑】 ________________________________________________________________________________ 【新知应用】 1.已知{an}为等比数列:⑴ a1=1,ak=243,q=3,求 Sk; ⑵a1=3,a5=48,求 S5 ; 3 9 1 1 ⑶a3= ,S9= ,求 a1 和 q; (4) a1=4,q=- ,an= ,求 Sn. 2 2 2 16

S ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 263 (1) (1)*2得2S ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 263 ? 264 (2) (2) -()得 1 2S ? S ? 2 ?1,
64



S ? 264 ? 1

友情提示:据换算,共有 7000 亿吨,当时世界年产量 6 亿吨。 思考: (2)式中等式两边为什么乘以 2?乘以其他数可以吗? (2)-(1)的目的是什么? 归纳上述思路,完成下面的探究: 【探究新知】设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,即 Sn=a1+a2+a3?an-1+an 数列 ?an ? 前 n 项和公式的推导(错位相减法) : 当 q=1 时,易求

sn ? na1

当 q ? 1 时, sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? an ① qsn= ②

沈阳市第三十五中学生本课堂导学案

课题:等比数列的前 n 项和

科目:

数学

设计人: 秦颖

备课组长:陈艳萍

年级主任:徐亮

1 1 1 1 2.求数列 1 , 2 , 3 , 4 ,....前 n 项的和。 2 4 8 16

【当堂检测】 1、数列 1, a , a 2 , a 3 ,?, a n ?1 ,?的前 n 项和为( ). n n?2 n ?1 1? a 1? a 1? a A. B. C. D. 以上都不对 1? a 1? a 1? a 2、等比数列中,已知 a1 ? a2 ? 20 , a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 ? ( ). A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 3、等比数列前 n 项和为 54 ,前 2 n 项和为 60 ,则前 3n 项和为( ) A. 54 B. 64 C. 66

【巩固提高】 1)S2=30,S3=155,求 Sn; 3)a1+an=66, 2)a1+a3=10; a4+a6=4,求 S5;
5

2 3

D. 60

2 3
.

4、等比数列的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,则 a= 5、等比数列中,已知 a1 ? ?1, a4 ? 64,求q及S4 .

a2an-1=128, 求 q

【课后作业】 1.已知等比数列中 q=

1 7 , S 5 ? 3 ,求 a1 与 a4 2 8

2.求等比数列

3 3 3 93 , , ... 前多少项的和等于 . 2 4 8 32
1 , a8 ? 1 ,求前 8 项的和 s 8 。 2

3.已知等比数列{ an }的公比 q ?

4. 若sn= 189, q=2, an=96,求a1和n 5. 已知 a1 ? 2, S 3 ? 26, 求 q 和 a3 ; ※ 知识拓展 1. 若 q ? ?1 , m ? N * ,则 Sm , S2 m ? Sm , S3 m ? S2 m , ? ? ? 构成新的等比数列,公比为 q . a 2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为 , a , aq . 若四个同符号的数成等比数 q a a 列,可设这四个数为 3 , , aq, aq 3 . q q 【自我评价】 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
m

6. 在等比数列{ an }中, S3 ? 4, S 6 ? 36 ,求公比 q. 【课堂小结】 【思维导图】


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