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2.2.2等比数列的前n项和(1)

时间:2012-09-29


沈阳市第三十五中学生本课堂导学案

课题:等比数列的前 n 项和

科目:

数学

设计人: 秦颖

备课组长:陈艳萍

年级主任:徐亮

2.3.2 等比数列的前 n 项和
【使用说明】1.阅读材料部分,自主高效预习;2.结合课

本基础知识和例题,完成预习自测 题;对合作探究部分认真审题,做不好的上课时组内讨论。3.将预习中不能解决的问题标识 出来,并写到后面“我的疑惑”处,准备课上讨论质疑。 【学习目标】1.掌握等比数列的前 n 项和公式及推导过程;2.能用等比数列的前 n 项和公式解 决实际问题;3.通过自主学习、合作探究,体验学习的快乐. 【知识回顾】 1.等比数列的定义:q =____________;2.等比数列的通项公式:an = ___________________. 3.等比数列相关性质: 4.等差数列前 n 项和 Sn=____________________________. 【材料】由国际象棋的故事引出的等比数列及其求和问题 国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒,在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒,在第 3 个格子里放上 4 颗麦粒,依此类推,每个格子里 放的麦粒数都是前一个格子里放的 2 倍,直到第 64 个格子,请给我足够的粮食来实现上述要 求”.国王觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了他的要求.请问, 国王能兑现他的承诺吗? 由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的 2 倍,且共有 64 个格子, 上述问题可看成求等比数列 1, 2 , 2 , 2 ,... 2
2

①-②得 即 Sn=
? _ _ _ _ _ _ _ , ( q ? 1) ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ ? _ _ _ _ _ _ _ _ .( q ? 1) ? _ _ _ _ _ _ _ , ( q ? 1) ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ ? _ _ _ _ _ _ _ _ .( q ? 1)

【新知生成】从而,等比数列的前 n 项和公式: 1)首相、公比与项数: S n ? ?

2)首相、末项与公式: S n ? ?

注:①知三求二:n q a1 an Sn ②注意 q=1 的情况,分类讨论 ③错位相减法:乘公比(作用是构造许多相同项)后错开一项后再减。 【预习自测】 1 1.等比数列中 a1=-4,q= ,则 Sn= ______ 2 2.求等比数列
1 2



1 4



1 8

,…的前 8 项的和.

1

2

3

63

的和
3 63

3. 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? ( ? 2 ) n ? 1 = 4. 2 2 ? 2 4 ? 2 6 ? ? ? 2 2 n ?

S ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 (1) (1) * 2 得 2 S ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2
2 3 63

【我的疑惑】 ________________________________________________________________________________ 【新知应用】 1.已知{an}为等比数列:⑴ a1=1,ak=243,q=3,求 Sk; ⑵a1=3,a5=48,求 S5 ; 3 9 1 1 ⑶a3= ,S9= ,求 a1 和 q; (4) a1=4,q=- ,an= ,求 Sn. 2 2 2 16

? 2 (2 )
64

( 2)(1) 得 2 S ? S ? 2 -

64

? 1,
?1



S ? 2

64

友情提示:据换算,共有 7000 亿吨,当时世界年产量 6 亿吨。 思考: (2)式中等式两边为什么乘以 2?乘以其他数可以吗? (2)-(1)的目的是什么? 归纳上述思路,完成下面的探究: 【探究新知】设等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,即 Sn=a1+a2+a3?an-1+an 数列 ? a n ? 前 n 项和公式的推导(错位相减法) : 当 q=1 时,易求
s n ? n a1

当 q ? 1 时, s n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ? a n ① qsn= ②

沈阳市第三十五中学生本课堂导学案

课题:等比数列的前 n 项和

科目:

数学

设计人: 秦颖

备课组长:陈艳萍

年级主任:徐亮

2.求数列 1

1 2

, 2

1 4

, 3

1 8

, 4

1 16

,.... 前 n 项的和。

【当堂检测】 1、数列 1, a , a 2 , a 3 ,?, a n ? 1 ,?的前 n 项和为( A.
1? a
n

). D. 以上都不对 ). )

1? a

B.

1? a

n ?1

1? a

C.

1? a

n?2

1? a

2、等比数列中,已知 a1 ? a 2 ? 2 0 , a 3 ? a 4 ? 4 0 ,则 a 5 ? a 6 ? ( A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 3、等比数列前 n 项和为 5 4 ,前 2 n 项和为 6 0 ,则前 3 n 项和为( A. 5 4 【巩固提高】 1)S2=30,S3=155,求 Sn; 3)a1+an=66, 2)a1+a3=10; a4+a6=4,求 S5;
5

B. 6 4

C. 6 6

2 3

D. 6 0

2 3

4、等比数列的前 n 项和 S n ? 3 n ? a ,则 a= 5、等比数列中,已知 a1
? ? 1, a 4 ? 6 4, 求 q 及 S 4 .

.

a2an-1=128, 求 q

【课后作业】 1.已知等比数列中 q=

1 2

,S5 ? 3

7 8

,求 a 1 与 a 4

2.求等比数列

3 3 3 93 , , ... 前多少项的和等于 . 2 4 8 32
1 2

3.已知等比数列{ a n }的公比 q ?

, a 8 ? 1 ,求前 8 项的和 s 8 。

4. 若 s n=189 , q = 2 , a n= 96 ,求 a 1 和 n 5. 已知 a 1 ? 2 , S 3 ? 26 , 求 q 和 a 3 ; ※ 知识拓展 1. 若 q ? ? 1 , m ? N * ,则 S m , S 2 m ? S m , S 3 m ? S 2 m , ? ? ? 构成新的等比数列,公比为 q . 2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为 列,可设这四个数为
a q
3

6. 在等比数列{ a n }中, S 3 ? 4 , S 6 ? 36 ,求公比 q.
m

【课堂小结】

【思维导图】

a q

, a, aq

. 若四个同符号的数成等比数

,

a q

, aq, aq

3

.

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为(

). A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差


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第十二节等比数列的前n项和

(2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情况. 2.推导等比数列前 n 项...变式训练 2 等比数列的前 n 项和为 Sn,若 S10=10,S20=30,S60=630,求 ...

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