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江西省高安中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试卷(创


江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期末考试

高一年级数学试题(理创)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1. 为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生 视力情况差

异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ). A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 2. 已知实数 x、y 满足 a x ? a y (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A. )
3 3

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

B. ln ( x ? 1) > ln ( y ? 1)
2 2

C. sin x ? sin y D. x ? y

3. 不等式

- x 2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集为( x ?1



A. {x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1} C. {x | x ? ?3或 ? 1 ? x ? 1}

B. {x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1} D. {x | x ? ?3或 ? 1 ? x ? 1} )

4. 运行下图所示的程序,如果输出结果为 sum=1320,那么判断框中应填(

A.i≥9 B.i≥10 C.i≤9 D.i≤10 y x 5. 某种产品的广告费支出 与销售额 (单位:万元)之间有如下一组数据:

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70 )

? ? 6.5 x ? a ,则 a 的值是( 若 y 与 x 之间的关系符合回归直线方程 y
A.17.5 B.27.5 C.17 D.14 ) D.56
? ?

6. 已知等差数列{an}满足 a5 ? a 6 =28,则其前 10 项之和为 ( A.140 B.280 C.168

7. 连续抛掷两次骰子, 得到的点数分别为 m, n , 记向量 a ? ? m, n ? , b ? ?1, ?1? 的夹角为 ? ,
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则 ? ? ? 0, A.

? ?

??

? 2?

的概率是(



5 12

B.

1 2
2

C.

7 12

D.

5 6


8. 在等比数列{an}中, a 3 , a 9 是方程 3x —11x+9=0 的两个根,则 a5 a 6 a 7 =( A. 3 3 B.

11 2

C. ? 3 3

D.以上皆非

y≥0, ? ? 9. 若实数 x、y 满足不等式组?x-y≥0, ? ?2x-y-2≥0,
1 A.[-1, ] 3 1 1 B.[- , ] 2 3

,则 Z=

y-1 的取值范围是( x+1

)

1 D.[- ,1) 2 2 1 2 2 10. 若直线 2ax+ by - 2= 0( ab ? 0 ) 平分圆 x + y - 2x- 4y - 6 = 0,则 + 的最小值是 a b ( ) A.1 B.5 C.4 2 D.3+2 2 11. 在△ABC 中,若 sin B sin C ? cos 2 A.等边三角形 12. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 部分是( ) D. 3

1 C.[- ,+∞) 2

A ,则△ABC 是( 2
C.直角三角形

) D.等腰直角三角形

B.等腰三角形

3 1 1 , an?1 ? an 2 ? an ? 1(n ? N * ) ,则 m ? ? ? 2 a1 a2

?

1 a2009

的整数

A. 0 B. 1 C. 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 已知 A 船在灯塔 C 的正东方向, 且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km, B 船在灯塔 C 北偏西 30 0 处,A,B 两船间的距离为 3 km,则 B 船到灯塔 C 的距离为 km. 2 14. 若不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是________. 15. 在△ABC 中, sin( A ? B ) ? sin C ?

3 ,BC= 3 AC,则角 B 的大小为________. 2

1 1 2 1 2 3 1 16. 数列{an}的前 n 项和是 S n ,若数列{an}的各项按如下规则排列: , , , , , , , 2 3 3 4 4 4 5 2 3 4 1 2 n-1 , , ,…, , ,…, ,…,有如下运算和结论: 5 5 5 n n n 3 31 ①a23= ;②S11= ; 8 6 ③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列; n2+n ④数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前 n 项和 Tn = ; 4 5 ⑤若存在正整数 k,使 S k <10, S k ?1 ≥10,则 a k = . 7 在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答应写出文字
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说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b ?

cos B b . ?? cos C 2a ? c

13,a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18.(12 分) 已知关于 x 的一次函数 y ? ax ? b , (1)设集合 P={-2,-1,1,2,3}和 Q={-2,0,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b,求函数 y ? ax ? b 是增函数的概率;

? ? 1 ? a ? 1, ? (2)实数 a,b 满足条件 ? ? 1 ? b ? 1, 求函数 y ? ax ? b 的图象经过二、三、四象限的概率. ?a ? b ? 1 ? 0. ?
19.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a ?

1 )x ? 1, a

(1)若 a ? 0 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若对于任意 x ? (1,3) , f ( x) ?

1 x ? ?3 恒成立,求 a 的取值范围. a

20. (12 分) 已知数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q( q ? R, q ? 1 , q ? 0 ) 的等比数列.若 a1 ? (d ? 2) 2 , a3 ? d 2 , b1 ? (q ? 2) 2 , b3 ? q 2 . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?cn ? 对任意自然数 n 均有 c1 ? c2 ? c3 ? b1 2b2 3b3 值.
? cn ? an ?1 ,求 c1 ? c3 ? c5 ? nbn

? c2 n ?1 的

21.(12 分)在 ?ABC 中,已知 3 tan A tan B ? 3 ? tan A ? tan B ,记角 A,B,C 的对边 依次为 a, b, c . (1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 ,且 ?ABC 是锐角三角形,求 a 2 ? b 2 的取值范围.

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22.(12 分 ) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 若对任意的正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 . Sn ? am ,则称 {an } 是“ H 数列” (1)若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n (n ? N* ) ,证明:数列 {an } 是“ H 数列” ; (2)设 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 {an } 是“ H 数列” ,求 d 的值; (3) 证 明 : 对 任 意 的 等 差 数 列 {an } , 总 存 在 两 个 “ H 数 列 ” {bn } 和 {cn } , 使 得 成立. (n ? N ) an ? bn ? cn
*

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江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期末考试

高一年级数学试题答案(理创)
一.选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把答案填写在答题纸上) 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 B 5 A 6 A 7 C 8 C 9 D 10 D 11 B 12 B

二.填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

6 ?1

14. (?2,2]

15.

? 6

16.②④⑤

三.解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)解:(1) 法一:由正弦定理

a b c ? ? ? 2R 得 sin A sin B sin C

a ? 2 R sin A,b ? 2 R sin B,c ? 2 R sin C
将上式代入已知

cos B b cos B sin B ?? 得 ?? cos C 2a ? c cos C 2 sin A ? sin C

即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 即 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 ∵ A ? B ? C ? ?,∴ sin( B ? C ) ? sin A,∴ 2 sin A cos B ? sin A ? 0 ∵ sin A≠ 0,∴ cos B ? ?

1 , 2

∵B 为三角形的内角,∴ B ? 法二:由余弦定理得 cos B ?

2 ?. 3

a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 , cos C ? 2ac 2ab

将上式代入

cos B b a 2 ? c2 ? b2 2ab b ?? 得 × 2 ?? 2 2 cos C 2a ? c 2ac 2a ? c a ?b ?c
2 2

整理得 a ? c ? b ? ? ac , ∴ cos B ?
2

a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 ? ?? 2ac 2ac 2

∵B 为三角形内角,∴ B ? (2)将 b ?

2 ? 3
2 ? 代入余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得 3

13,a ? c ? 4 ,B ?

b 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B ,

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∴ 13 ? 16 ? 2ac(1 ?

1 1 3 ) ,∴ac ? 3 , ∴ S △ABC ? ac sin B ? 3. 2 2 4

18. (12 分)解: (1)由已知 a ? 0 ,设 A 事件为:函数 y ? ax ? b 是增函数,则

P ? A? ?

9 3 ? 15 5

? ? 1 ? a ? 1, 7 ? (2)线性约束条件 ? ? 1 ? b ? 1, 所表示的区域面积 S= , 2 ?a ? b ? 1 ? 0. ?

? ? 1 ? a ? 0, ? 要使函数 y ? ax ? b 的图象经过二、 三、 四象限, 则实数 a, b 必须满足条件 ? ? 1 ? b ? 0, ?a ? b ? 1 ? 0. ?
其面积为 S1 =1,所求的概率为 P ?

S1 2 = . S 7

19. (12 分)解: (1)∵不等式 f ( x) ? ( x ?

1 )( x ? a ) ? 0 , a ? 0 a 1 1 当 0 ? a ? 1 时,有 ? a ,∴不等式的解集为 {x | a ? x ? } ; a a 1 1 当 a ? 1 时,有 ? a ,∴不等式的解集为 {x | ? x ? a} ; a a
当 a ? 1 时,不等式的解集为 x ? {1} .

(2)任意 x ? (1,3) , f ( x) ? 成立,所以 a ? ( x ?

1 4 x ? ?3 恒成立,即 x 2 ? ax ? 4 ? 0 恒成立,即 a ? x ? 恒 a x

4 ) min , x ? (1,3) , 所以 a ? 4 x

20. (12 分)解:(1) ∵ a3 ? a1 ? 2d , ∴ d 2 ? (d ? 2) 2 ? 2d , 解得 d =2. ∴ a1 ? 0 , ∴ an ? 2(n ? 1) .

q 2 ∵ b3 ? q 2 , ∴ q ? . (q ? 2) 2 b1 ∵ q ? 0, q ? 1 , ∴ q ? 3 .
又 b1 ? 1 , ∴ bn ? 3n ?1 . (2) 由题设知 c1 ? a2 , ∴ c1 ? a2b1 ? 2 . b1 当 n ? 2 时, c1 ? c2 ? c3 ? ? cn ?1 ? cn ? an ?1 , b1 2b2 3b3 (n ? 1)bn ?1 nbn c cn ?1 c1 c2 ? ? 3 ? ? ? an , b1 2b2 3b3 (n ? 1)bn ?1 两式相减,得 cn ? an ?1 ? an ? 2 . nbn
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2

∴ c n ? 2nbn ? 2n ? 3 n ?1 ( c1 ? b1a2 ? 2 适合). 设 T= c1 ? c3 ? c5 ? ? c2 n ?1 , ∴ T ? 2 ? 6 ? 3 2 ? 10 ? 3 4 ? ? ? (4n ? 2) ? 3 2 n ? 2

3 2 T ? 2 ? 3 2 ? 6 ? 3 4 ? 10 ? 36 ? ? ? (4n ? 6) ? 3 2 n ? 2 ? (4n ? 2) ? 3 2 n
两式相减 ,得

? 8T ? 2 ? 4 ? 3 2 ? 4 ? 3 4 ? ? ? 4 ? 3 2 n ? 2 ? (4n ? 2) ? 3 2 n
9(9 n ?1 ? 1) 1 9 ? (4n ? 2) ? 9 n = 2 ? ? 9 n ? ? (4n ? 2) ? 9 n 9 ?1 2 2 5 5 n = ? ? ? 9 ? 4n ? 9 n . 2 2 5 n 5 ∴T ? ? ( ? ) ? 9n . 16 2 16
=2 ? 4?
2? ,∴ 3
?

21. (12 分)(1)依题意: tan A ? tan B ? ? 3 ,即 tan( A ? B) ? ? 3 ,又 0 ? A ? B ? ? , 1 ? tan A tan B ∴
A? B ?

C ?? ? A? B ?
?

? , 3

A ? ,即 ? ? (2)由三角形是锐角三角形可得 ? ? ? A? 2 ? ?B ? ? ? ? 2
6

2

由正弦定理得 a ? b ? c 得 sin A sin B sin C

a?

c 4 ? sin A ? sin A , b ? 4 sin B ? 4 sin( 2? ? A) sin C 3 3 3 3

a2 ? b2 ?
?

16 2 [sin 2 A ? sin 2 ( ? ? A)] 3 3
16 8 4? ? [cos 2 A ? cos( ? 2 A)] 3 3 3

16 8 1 3 16 8 1 3 ? ( cos 2 A ? sin 2 A) ? [cos 2 A ? (? ) cos 2 A ? (? ) sin 2 A] = 3 3 2 2 3 3 2 2 ? ? ? ? 5? , 16 8 ? ? A ? ,∴ ? 2A ? ? ? ? sin(2 A ? ) ∵ 6 2 6 6 6 3 3 6 1 ? 20 ∴ 即 ? a 2 ? b 2 ≤8 . ? sin(2 A ? )≤1 2 6 3 22. (12 分)解:(1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 2n ?1 ? 2n ?1
?
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ∴ n ? 1 时, S1 ? a1 ,当 n ? 2 时, Sn ? an ?1 ∴ {an } 是“ H 数列” (2) Sn ? na1 ?
n(n ? 1) n(n ? 1) d ?n? d 2 2 n(n ? 1)d ? 1 ? (m ? 1)d 2

对 ?n ? N* , ?m ? N* 使 Sn ? am ,即 n ? 取 n ? 2 得 1 ? d ? (m ? 1)d , m ? 2 ?
1 d

∵ d ? 0 ,∴ m ? 2 ,又 m ? N* ,∴ m ? 1 ,∴ d ? ?1 ⑶设 {an } 的公差为 d 令 bn ? a1 ? (n ? 1)a1 ? (2 ? n)a1 ,对 ?n ? N* , bn ?1 ? bn ? ?a1
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cn ? (n ? 1)(a1 ? d ) ,对 ?n ? N* , cn ?1 ? cn ? a1 ? d

则 bn ? cn ? a1 ? (n ? 1)d ? an ,且 {bn } 、 {cn } 为等差数列
n(n ? 1) n(n ? 3) (?a1 ) ,令 Tn ? (2 ? m)a1 ,则 m ? ?2 2 2 当 n ? 1 时 m ? 1 ;当 n ? 2 时 m ? 1
{bn } 的前 n 项和 Tn ? na1 ?

当 n ? 3 时,由于 n 与 n ? 3 奇偶性不同,即 n(n ? 3) 非负偶数, m ? N* 因此对 ?n ,都可找到 m ? N* ,使 Tn ? bm 成立,即 {bn } 为 H 数列
{cn } 的前 n 项和 Rn ?

n(n ? 1) n(n ? 1) (a1 ? d ) ,令 cm ? (m ? 1)( a1 ? d ) ? Rn ,则 m ? ?1 2 2

∵对 ?n ? N* , n(n ? 1) 是非负偶数,∴ m ? N* 即对 ?n ? N* ,都可找到 m ? N* ,使得 Rn ? cm 成立,即 {cn } 为 H 数列 因此命题得证.

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