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函数单调性习题课


函数单调性 习题课
注增函数、减函数的定义: : 1. ①所有的单调性,必须在定义域内来谈; 设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I ②单调性必须指明区间; 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2 ③目前函数单调性的证明只能用定义来 证明; ①当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2) ,则称f(x) ④函数的单调区间是定义域的子集,在 在该区间

上是增函数。 求函数单调区间时,应首先确定其定义域。 定义中的 X 1,X2相对于单调区间具有任意性, ②当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2) ,则称f(x) 不能用特殊值替代。 在该区间上是减函数。

2. 函数单调区间的求法:
方法:①图象法 ②定义法

例1.如果函数f(x)=2x2-mx-3,当 x∈[-2, +≦)时是增函数,当x∈(-≦,

-2)时是减函数,则f(1)=(
A. -3 B. 13

C

)

C.

7

D.

由m而定的常数

(2) 如果函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间

(-≦,1]上为减函数.则( C )
A. a=-2 C. a≤-2 B. a=2 D. a≥2

例2 若函数y=|x-3|,试求出它的单调区间. y y=|x-3| 解:画图 y 3
o -3 x

o
-3

3

x

y=|x-3|的单调增区间为 [3,?? ) y=|x-3|的单调减区间为

( ?? ,3)

练习:

1. 若函数f(x+1)=x2-2x+1,试求f(x)的单调 区间. 答:减区间为( ? ?, 2]

增区间为( 2, ? ?) 2.若函数f(x)=|2x-4|,试求f(x)的单调区间 .

练习
3.已知 f ?x? ? ax ? 2ax ? 2 ? b?a ? 0?在?2,3? 上有最大值5和最小值2,求 a , b 的值。
2

2 例3 ( 1 )求函数y ? 5 ? 4 x ? x ( 其中x ? ( ?5,4] )的单调区间。

单调增区间为( - 5, ? 2]; 单调减区间为( - 2, 4];

y

4 -5 -2 o 1

x

例3.(2)试求 y ? 5 ? 4x ? x 的单调区间
2

2 ? 5 ? 4 x ? x ? 0 ? ?5 ? x ? 1
在[?2,??)为减函数

2 又 ? t ? 5 ? 4 x ? x 在(? ?, ?2 )为增函数;

?y ?

2 5 ? 4 x ? x 单调增区间为

(- 5, -2 )单调减区间为 [?2, 1]

2 练习:试求 y ? ? x ? 2x ? 8 的单调区间.

答:单调增区间为( ? ?,?2] 单调减区间为 [4,??)

y

2

o X=1

4 x

例4 证明函数 f(x)=x3+1在(-≦,+≦) 上是增函数。 证明:设x1<x2∈(-≦,+≦)
f(x2)-f(x1)=x23+1-(x13+1)

=x23-x13
=(x2-x1)(x22+x1x2+x12) =(x2-x1)[(x2+1/2x1 )2+3/4x12]

≧x1<x2

? x1-x2>0

(x2+1/2x1 )2+3/4x12 >0

? f(x2)-f(x1)>0
? x1<x2 时 ? f(x)=x3+1 f(x1)<f(x2)

在(-≦,+≦)上是增函数

例6:已知函数 f ( x )的定义域为 x ? [?1, 1] 2 上的增函数, 且f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 1); 求x取值范围。

解: ? f ( x )的定义域为 [?1 , 1] ? ?1 ? x ? 1 ? 1; 且 ? 1 ? x ? 1 ? 1
2

?? 1 ? x ? 1 ? 1 ?0? x? ? ?? 1 ? x ? 1 ? 1
2

2

2 又 ? f ( x )为增函数: f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 2 ? x ?1 ? x ?1 2 ?x ? x ? 0 ? x ? 0, 或 x ? 1 又 ?1 ? x ? 2 ?1 ? x ? 2

练习:已知函数f(x)在区间(0, +≦)上是
3 减函数,试比较f(a ? a ? 1)与f( )的大小。 4
2

1 2 3 3 2 解: ?a ? a ?1 ? (a ? ) ? ? 2 4 4
f ( x )在( 0, ? ?)为减函数 3 2 ? f ( a ? a ? 1) ? f ( ) 4

练习:讨论函数

a x ? 1(其中a≠ 1 f (x) ? 2 x?2



在区间(-2,+≦ )上的单调性。
解:设 ? 2 ? x ? x
1 1 2 2

ax ? 1 ax ? 1 ? f (x ) ? f (x ) ? ? x ?2 x ?2
1 2 1 2

( 2a ? 1)( x ? x ) ? ( x ? 2)( x ? 2)
1 2 1 2


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