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2015届高三北京昌平上学期期末理科数学试卷


有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 !

昌平区 2014-2015 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科)
2015.1

考生注意事项: 1.本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚.答题卡上

第一部分(选择题)必须用 2B 铅笔作答,第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时必须使用 2B 铅笔. 3. 修改时, 选择题用塑料橡皮擦干净, 不得使用涂改液. 请保持卡面整洁, 不要折叠、 折皱、 破损. 不 得在答题卡上作任何标记. 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均 不得分.

第Ⅰ卷(选择题
的一项.)

共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求

1. 已知集合 A ? x ( x ? 4)( x ? 2) ? 0 , B ? ?x | x ? 3? ,则 A A. {?2} B. {3} C. {4}

?

?

B 等于
D. {?2, 4}

2.已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是 A. a 2 ? b 2 B.

1 1 ? a b
C.16

C.

a?b

D. 2 a ? 2b

3. 执行如图所示的程序框图,输出 a 的值是 A.4
开始

B.8

D.32

a ? 1, n ? 1
2

n ? n ?1
1 1 1 1

a ? 2a

正(主)视图

侧(左)视图

n?3
是 输出 a



俯视图

结束

4.某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形 ,侧(左)视图是等腰三角形 ,俯视图是 正方形,则该四棱锥的体积是 A. 8 B.

8 3

C. 4

D.

4 3
第 1/10 页

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有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 ! 5. 已知直线 m 和平面 α,β,则下列四个命题中正确的是 A. 若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? C. 若 ? / / ? , m ? ? ,则 m ? ? B. 若 ? / / ? , m / /? ,则 m / / ? D. 若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ?

6. 在 2014 年 APEC 会议期间,北京某旅行社为某旅行团包机去旅游,其中旅行社的包机费为 12000 元, 旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算: 若旅行团的人数在 30 人或 30 人以下, 每张机票收费 800 元;若旅行团的人数多于 30 人,则给予优惠,每多 1 人,旅行团每张机票减少 20 元,但旅行团的 人数最多不超过 45 人,当旅行社获得的机票利润最大时,旅行团的人数是 A. 32 人 B. 35 人 C. 40 人 D. 45 人

7. 在 △ ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c . 若 a ? 1, A ? 30 , 则“ B ? 60 ”是“ b ? 3 ”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝. 甲:我没有偷;乙:丙 是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷. 根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是 A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁

第Ⅱ 卷(非选择题
9. 设复数 z ? 1 ? 2i ,则 | z | ? 10. (1 ? 2 x) 的展开式中, x 的系数是
5
2

共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. )
.

.(用数字作答)

? x ? y ≤ 1, ? 11. 若 x , y 满足约束条件 ? y ≤ x, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ≥ 0, ?
12. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (1, 0) , | b |= 2 ,则 | 2a ? b | = 13. 已知双曲线 x ?
2
?

.

.

y2 ? 1 (m ? 0) 的离心率是 2, 则 m ? ________ , 以该双曲线的右焦点为圆心且与 m
.

其渐近线相切的圆的方程是

14. 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,有如下结论: ① ?x ? ? ?1,1? ,有 f (? x) ? f ( x) ;② ?x ? ? ?1,1? ,有 f (? x) ? ? f ( x) ; ③ ?x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2 .(写出所有正确结论的序号)
第 2/10 页

④ ?x1 , x2 ? ? 0,1? ,有 f ( 其中正确结论的序号是

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有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 ! 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x . ( I ) 求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时的 x 值.

? 2

16.(本小题满分 13 分) 从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取 5 名同学的成绩,得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中 位数为 13, 乙班样本成绩的平均数为 16. (I) 求 x, y 的值; (II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论); (III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分,再从两组
甲 乙

9 x 2 6 0

0 1 2

9 5 y 8 0

剩余成绩中分别随机选取一个成绩,求这两个成绩的和 ? 的分布列及数学期望.
2 (注:方差 s ?

1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? n

? ( xn ? x ) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,… , xn 的平均数.)

17. (本小题满分 14 分)
? 如图, PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面, ?ADC ? ?BAD ? 90 . F 为 PA 中点, PD ? 2 ,

1 AB ? AD ? CD ? 1. 四边形 PDCE 为矩形,线段 PC 交 DE 于点 N . 2 (I) 求证: AC // 平面 DEF ; P (II) 求二面角 A ? BC ? P 的大小; (III)在线段 EF 上是否存在一点 Q ,使得 BQ 与
平面 BCP 所成角的大小为 若不存在,请说明理由.

E N C B

? ? 若存在,请求出 FQ 的长; 6
A

F D

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第 3/10 页

有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 ! 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f (x) =ln x-a2x2+ax (a∈ R ). ( I ) 当 a=1 时,求函数 f (x)的单调区间; ( II ) 若函数 f (x)在区间 (1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 经过点 P (1, . ) ,离心率是 2 a b 2 2

(I) 求椭圆 C 的方程; (II) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点 M ,求证:直线 l 恒过定 点.

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

?2an ? 2n ? 2, n为奇数 1 , an ?1 ? ? ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 2 ? ?an ? n, n为偶数

bn ? a2n ,其中 n ? N* .
(I) 求 a2 ? a3 的值; (II) 证明:数列 ?bn ? 为等比数列; (III) 是否存在 n(n ? N ) ,使得 S 2 n ?1 ?
*

41 ? b2 n ? 若存在,求出所有的 n 的值;若不存在,请说明 2

理由.

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有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 !

昌平区 2014-2015 学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷(理科)参考答案 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.)
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 C 6 B 7 A 8 A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) . 9. 12. 2

5

10.

40

11. 2 14.② ③ ④

2 2 13. 3 ; ( x ? 2) ? y ? 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x ? 2 ?

1 ? cos 2 x 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4

………… 5 分 ………… 7 分 …………9 分 …………11 分 …………13 分

2? ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期为 ? . 2 ? ? ? ?? (Ⅱ)因为 0 ? x ? , 所以 ? 2 x ? ? . 2 4 4 4 ? ? ? 当 2 x ? ? 时,即 x ? 时, 4 2 8
所以 T ? 所以 f ( x) 有最大值 2 ? 1 .

16.(本小题满分 13 分) 解: ( I )经计算得:甲班数据依次为 9,12,10 ? x, 20, 26 ,所以中位数为 10 ? x ? 13 ,得 x ? 3 ;

1 x乙 ? (9 ? 15 ? 10 ? y ? 18 ? 20) ? 16 ,得 y ? 8 .……………4 分 5
(II)乙班整体水平高. 或解: x甲 ?

1 (9 ? 12 ? 13 ? 20 ? 26) ? 16 , 5

1 2 s甲 ? [(9 ? 16)2 ? (12 ? 16)2 ? (13 ? 16)2 ? (20 ? 16)2 ? (26 ? 16)2 )] ? 38 , 5 1 x乙 ? (9 ? 15 ? 18 ? 18 ? 20) ? 16 , 5
250265489.doc 第 5/10 页

有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 !

1 74 2 s乙 ? [(9 ? 16)2 ? (15 ? 16)2 ? (18 ? 16)2 ? (18 ? 16)2 ? (20 ? 16)2 )] ? ? 14.8 . 5 5
2 2 因为 s甲 ,所以乙班的水平高. ? s乙

……………7 分

(III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分,则甲班:12,13,20, 乙班:15,18,18. 这两班测试成绩的和为 ? ,则 ?=27,28,30,31,35,38 , 所以 P (?=27)=

1 1 2 2 1 2 ,P (?=28)= ,P (?=30)= ,P (?=31)= ,P (?=35)= ,P (?=38)= . 9 9 9 9 9 9

所以 ? 的分布列为

?
P
所以 ? 的期望为

27

28

30

31

35

38

1 9

1 9

2 9

2 9

1 9

2 9

1 1 2 2 1 2 E (? ) ? 27 ? ? 28 ? ? 30 ? ? 31? ? 35 ? ? 38 ? ? 32 . .……………13 分 9 9 9 9 9 9
17. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)连接 FN , 在 ?PAC 中, F , N 分别为 PA, PC 中点,所以 FN / / AC , 因为 FN ? 平面DEF , AC ? 平面DEF , 所以 AC / / 平面DEF …………………4 分

(Ⅱ) 如 图 以 D 为 原 点 , 分 别 以 DA, DC , DP 所 在 直 线 为 x,y,z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系

D ? xyz.
P

z

…………………5 分
E

N F

C D

y

x

A

B

则 P(0,0, 2), B(1,1,0), C(0, 2,0), 所以 PB ? (1,1, ? 2), BC ? (?1,1,0). 设平面 PBC 的法向量为 m ? ( x, y, z ), 则 ?

? ?m ? PB ? ( x, y, z ) ? (1,1, ? 2) ? 0 ? ?m ? BC ? ( x, y, z ) ? (?1,1, 0) ? 0

,

即?

? ? ?x ? y ? 2z ? 0 ?x ? x , 解得 ? , z ? 2 x ? x ? y ? 0 ? ? ? ?
250265489.doc 第 6/10 页

有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 !

?x ? 1 ? 令 x ? 1 ,得 ? y ? 1 , 所以 m ? (1,1, 2). …………………7 分 ? ?z ? 2
因为平 面ABC的法向量 n ? (0,0,1), 所以 cos n, m ?

n?m n?m

?

2 , 2
? . 4

由图可知二面角 A ? BC ? P 为锐二面角, 所以二面角 A ? BC ? P 的大小为 (Ⅲ) 设存在点 Q 满足条件. 由 F ( , 0, …………………9 分

1 2

2 ), E (0, 2, 2). 设 FQ ? ? FE(0 ? ? ? 1) , 2

1? ? 2(1 ? ? ) 1? ? 2(1 ? ? ) , 2? ? 1, ), …………………11 分 , 2? , ) , BQ ? (? 2 2 2 2 ? 因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 , 6
整理得 Q( 所以 sin

? BQ ? m | 5? ? 1| 1 ?| cos BQ, m |?| |? ? , 6 BQ ? m 2 19? 2 ? 10? ? 7 2

…………………13 分

则 ? 2 ? 1,由0 ? ? ? 1知 ? ? 1 ,即 Q 点与 E 点重合. 故在线段 EF 上存在一点 Q ,且 | FQ |?| EF |?

19 . 2

…………………14 分

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? x ,定义域是 (0, ??) .

f ' ( x) ?

1 ? 2x ?1, x

由 f ' ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;由 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ; 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? 0,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? . …………………5 分 (Ⅱ) (法一)
' 因为函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,所以 f ( x) ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,

则 f ( x) ?
'

1 ? 2a 2 x ? a ? 0 ,即 g ( x) ? 2a2 x2 ? ax ?1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立. …………………7 分 x
…………………9 分

① 当 a ? 0 时, g ( x) ? ?1 ? 0 ,所以 a ? 0 不成立.

250265489.doc

第 7/10 页

有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 !
2 ② 当 a ? 0 时, g ( x) ? 2a2 x2 ? ax ?1, ? ? 9a ? 0 ,对称轴 x ?

a . 4a 2

1 ? a ? ? 或a ? 1 ? g (1) ? 0 2 ? ? g (1) ? 2 a ? a ? 1 ? 0 ? ? ? 2 ,即 ? ,解得 ? ? a 2 ?1 ? ? a ? 4a ? a ? 0或a ? 1 ? ? 4a 2 ? ? 4
所以实数 a 的取值范围是 a ? ?

1 ,a ?1. 2

…………………13 分

(法二) f ( x) ?
'

1 ?2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 2a 2 x ? a ? ,定义域是 (0, ??) . x x

①当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x 在区间 (1, ??) 上是增函数,所以 a ? 0 不成立. …………………8 分 ② a ? 0 时,
2 2 令 f ' ( x) ? 0 ,即 2a x ? ax ? 1 ? 0 ,则 x1 ? ?

1 1 , x2 ? , 2a a

…………………9 分

(i)当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ?

1 , a

?1 ? , ?? ? . ?a ?
1 ? 1 ,解得 a ? 1 . a
…………………11 分

因为函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,+所以 (ii)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? ?
'

1 , 2a

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ? ?

? 1 ? , ?? ? . ? 2a ?
1 1 ? 1 ,解得 a ? ? . 2a 2
…………………13 分

因为函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,所以 ? 综上实数 a 的取值范围是 a ? ? 或a ? 1 .

1 2

19.(本小题满分 14 分)

3 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 3 ? ?a ? 2 3 ?c 解: (I)由 ? ? ,解得 ? , 2 ?b ? 1 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
x2 ? y2 ? 1 . 所以椭圆 C 的方程是 4
250265489.doc .…………………5 分 第 8/10 页

有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 ! (II)方法一 (1)由题意可知,直线 l 的斜率为 0 时,不合题意. (2)不妨设直线 l 的方程为 x ? ky ? m .
? x ? ky ? m ? 由 ? x2 , 2 ? ? y ?1 ?4

消去 x 得 (k 2 ? 4) y 2 ? 2kmy ? m2 ? 4 ? 0 .

…………………7 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y2 ? ?

m2 ? 4 2km ……① , ………② y y ? 1 2 k2 ? 4 k2 ? 4 ………………… 8 分

因为以 AB 为直径的圆过点 M ,所以 MA ? MB ? 0 . 由 MA ? ( x1 ? 2, y1 ), MB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,得 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 . 将 x1 ? ky1 ? m, x2 ? ky2 ? m 代入上式, 得 (k 2 ? 1) y1 y2 ? k (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2)2 ? 0 . ……… 将①②代入③,得 解得 m ? ③ ……………………12 分

5m ? 16m ? 12 ? 0 , k2 ? 4
2

6 或 m ? 2 (舍) . 5 6 综上,直线 l 经过定点 ( ,0). …………………14 分 5
方法二 证明: (1) 当 k 不存在时,易得此直线恒过点 ( , 0) .

6 5

…………………7 分

(2)当 k 存在时.设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , M (2,0) .

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 由? 4 ,可得 (4k ? 1) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 . ? y ? kx ? m ?

? ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0
x1 ? x2 ? ?8km , ……① 4k 2 ? 1
……. ② …………………9 分

x1 x2 ?

4m 2 ? 4 4k 2 ? 1

由题意可知

MA ? MB ? 0 , MA ? ( x1 ? 2, y1 ), MB ? ( x2 ? 2, y2 ),

y1 ? kx1 ? m, y2 ? kx2 ? m.
可得 ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 . 整理得 (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? (k ? 1) x1x2 ? 4 ? m ? 0 ③
2 2

…………………10 分

250265489.doc

第 9/10 页

有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 ! 把①②代入③整理得 由题意可知

12k 2 ? 16km ? 5m 2 ? 0, 4k 2 ? 1
6 k. 5

12k 2 ? 16km ? 5m2 ? 0,

解得 m ? ?2k , m ? ?

(i) 当 m ? ?2k时,即y ? k ( x ? 2) ,直线过定点(2,0)不符合题意,舍掉. ……………12 分 (ii) m ? ?

6 6 6 k时 ,即 y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0) ,经检验符合题意. 5 5 5 6 5
.…………………14 分

综上所述,直线 l 过定点 ( , 0) 20. (本小题满分 13 分) 解:(I) 因为 a2 ? 1, a3 ? ?3 ,所以 a2 ? a3 ? ?2 . (或者根据已知 a2n?1 ? a2n ? ?2n ,可得 a3 ? a2 ? ?2 . )

……………3 分

(II) 证明: bn?1 ? a2n?2 ? 2a2n?1 ? 4n ? 2(?a2n ? 2n) ? 4n ? ?2a2n ? ?2bn ,

b1 ? a2 ? 2a1 ? 1, ,故数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为-2 的等比数列.
(III)由 (II) 知 bn ? (?2)n?1 , 所以 b2n ? (?2)2n?1 ? ?22n?1 . 设 cn ? a2n ? a2n?1 (n ? N* ), 则cn ? ?2n, , 又 S2n?1 ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ?

……………7 分

? (a2n ? a2n?1 )

? a1 ? c1 ? c2 ?
? ?n 2 ? n ?
则由 S 2 n ?1 ?

? cn

1 . 2

41 ? b2 n ,得 2n2 ? 2n ? 40 ? 4n , 2
x 2

设 f ( x) ? 4 ? 2 x ? 2 x ? 40( x ? 2) , 则 g ( x) ? f ' ( x) ? 4x ln 4 ? 4 x ? 2 ,

g ' ( x) ? 4x ln 2 4 ? 4 ? 0( x ? 2) ,所以 g ( x) 在 ?2, ??? 上单调递增,
g ( x) ? g (2) ? f '(2) ? 0 ,即 f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ?2, ??? 上单调递增
又因为 f (1) ? 0, f (3) ? 0 , 所以仅存在唯一的 n ? 3 ,使得 S 2 n ?1 ?

41 ? b2 n 成立.……………13 分 2

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第 10/10 页


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