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2015年全国高中数学联赛模拟试题08


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 08 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.不等式

10 x 2 ? 20 x ? 18

? x ? 1?

3

? x 3 ? 5 x 的解集是

2.适

当排列三个正实数 10a 2 ? 81a ? 207, a ? 2, 26 ? 2a 使得它们取常用对数后构成公差为 1 的等差数列, 则 a 的值等于 3. 已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC ? 10cm, BD? 6 cm, M, N分别是 AB, CD 的中点,若异面直线

AC , BD 所成角为 60 ,则 MN ?
4.在△ ABC 中,设

a?b sin B a?c ? ? 且 cos( A ? B) ? cos C ? 1 ? cos 2C ,则 a sin B ? sin A b

5.设 P 为圆 x ? y ? 1 上一定点,点 Q , R 在该圆的内部或圆周上,且△ PQR 是边长为
2 2

2 3

的正三角形,则

OQ ? OR 的最小值是
6.已知 a, b, c ? 0,1 ,则

2

2

? ?

a b c ? ? 的取值范围是 bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (3, 2) 作直线 l1 , l2 分别与椭圆交于点 A, B, C , D ,过 A, B 分别作椭圆的切线 7.过椭圆 25 9 交于 P ,过 C , D 分别作椭圆的切线交于 Q ,则直线 PQ 的方程是
8.正六边形 ABCDEF 的中心为 O ,对 A, B, C , D, E , F , O 这 7 个点中的任意两点,以其中一点为起点,另 一点为终点作向量,任取其中两个向量,它们的数量积的绝对值的数学期望是 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.

n2 ? n 9. 已知数列 ?Sn ? 的通项公式为 Sn ? ,数列 ?Mn ? 满足: M1 ? St1 , M 22 ? M1 ? M 3 2 * * 且当 n ? 2 时 M n = Stn - Stn?1 ,其中 t1 ? 1, tn ? N ? n ? 2, n ? N ? = Stn - Stn?1
证明:一定存在数列 ?tn ? 使得数列 ?Mn ? 中的每个数均为完全平方数

10.非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 3 . 求 S ? (a ? ab ? b )(b ? bc ? c )(c ? ca ? a ) 的最大值.
2 2 2 2 2 2

11.已知 A △A1 A2 A3 有两边所在的 1 ? x1 , y1 ? , A 2 ? x2 , y2 ? , A 3 ? x3 , y3 ? 是抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上不同的三点,
2 2 直线与抛物线 x ? 2qy ? q ? 0? 相切,证明:对不同的 i, j ? ?1, 2,3? , yi y j yi ? y j 为定值

?

?

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 08 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.不等式

10 x 2 ? 20 x ? 18

? x ? 1?

3

? x 3 ? 5 x 的解集是

即原不等式解集为 x x ? ?2或 ? 1 ? x ? 1
2

?

?

2.适当排列三个正实数 10a ? 81a ? 207, a ? 2, 26 ? 2a 使得它们取常用对数后构成公差为 1 的等差数列,则 a 的值等于

3. 已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC ? 10cm, BD? 6 cm, M, N分别是 AB, CD 的中点,若异面直线

AC , BD 所成角为 60 ,则 MN ?

4.在△ ABC 中,设

a?b sin B a?c ? ? 且 cos( A ? B) ? cos C ? 1 ? cos 2C ,则 a sin B ? sin A b

5.设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上一定点,点 Q , R 在该圆的内部或圆周上,且△ PQR 是边长为

2 3

的正三角形,则

OQ ? OR 的最小值是

2

2

6.已知 a, b, c ? 0,1 ,则

? ?

a b c ? ? 的取值范围是 bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (3, 2) 作直线 l1 , l2 分别与椭圆交于点 A, B, C , D ,过 A, B 分别作椭圆的切线 25 9 交于 P ,过 C , D 分别作椭圆的切线交于 Q ,则直线 PQ 的方程是
7.过椭圆

8.正六边形 ABCDEF 的中心为 O ,对 A, B, C , D, E , F , O 这 7 个点中的任意两点,以其中一点为起点,另 一点为终点作向量,任取其中两个向量,它们的数量积的绝对值的数学期望是

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.

n2 ? n ,数列 ?Mn ? 满足: M1 ? St1 , M 22 ? M1 ? M 3 2 * * 且当 n ? 2 时 M n = Stn - Stn?1 ,其中 t1 ? 1, tn ? N ? n ? 2, n ? N ? = Stn - Stn?1
9. 已知数列 ?Sn ? 的通项公式为 Sn ? 证明:一定存在数列 ?tn ? 使得数列 ?Mn ? 中的每个数均为完全平方数

证明:因为 M1 ? S1 ? 1 ,若 t2 ? 2, M 2 ? S2 ? S1 ? 3 ? 1 ? 2 , M 3 ? St3 ? S2 ? 因为 M 22 ? M1 ? M 3 ,所以

t3 ? t3 ? 1? ? 3 ? 4 , t3 ?t3 ?1? ? 14 ,此方程无整数解; 2 t3 ? t3 ? 1? ?6, 若 t2 ? 3, M 2 ? S3 ? S1 ? 6 ? 1 ? 5 , M 3 ? St3 ? S3 ? 2 t3 ? t3 ? 1? ? 6 ? 25 , t3 ?t3 ? 1? ? 62 ,此方程无整数解; 因为 M 22 ? M1 ? M 3 ,所以 2 t3 ? t3 ? 1? ? 10 , 若 t2 ? 4, M 2 ? S4 ? S1 ? 10 ? 1 ? 9 , M 3 ? St3 ? S4 ? 2 t3 ? t3 ? 1? ? 10 ? 81 , t3 ?t3 ?1? ? 182 ,解得 t3 ? 13 , 因为 M 22 ? M1 ? M 3 ,所以 2 此时 M 2 ? 32 , M3 ? 92 均为完全平方数所以 t2 ? 4 , t3 ? 13 满足题意…………………………4 分
一般的取 tn ? 1 ? 3 ? 3 ?
2

t3 ? t3 ? 1? ?3, 2

? 3n ?1 ?

3n ? 1 ? 3n ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? 2 ? 此时 Stn ? , Stn?1 2

3n ? 1 , ………………………8 分 2 3n ?1 ? 1 ? 3n ?1 ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? 2 ? ? , 2

3n ? 1 ? 3n ? 1 ? 3n ?1 ? 1 ? 3n ?1 ? 1 ? ?1 ? ? ?1 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 则 M n = Stn - Stn?1 = ? ? ? 3n?1 ? ,所以 M n 为一整数平方. 2 2 因此存在数列 ?tn ? ,使得数列 ?Mn ? 中的各数均为一个整数的平方.……16 分
10.解:不妨设 a ? b ? c .显然有 b ? bc ? c ? b , c ? ca ? a ? a .……………5 分
2 2 2 2 2 2

根据 AM-GM 不等式可得 S ? a b (a ? ab ? b ) ?
2 2 2 2
3

4 3ab 3ab 2 2 ? ? ? (a ? ab ? b ) 9 2 2

所以 S 的最大值为 12,这时 ?a, b, c ? ? ?2,1,0?.……………20 分 11.

3ab 3ab 6 6 2 2 ? 4? 4(a ? b) 4(a ? b ? c) ? ? (a ? ab ? b ) ? ? ? ? 2 ? ? 12 ……………15 分 2 5 5 9? 3 3 ? ? ? 3

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 08 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分)

二、 (本小题满分 40 分)

三、 (本题满分 50 分)

四、 (本题满分 50 分)

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 08 加试参考解答 (时间:9:40-12:10 满分:180)

四、


2015年全国高中数学联赛模拟试题09

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