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河北省沙河市第一中学高二数学《空间向量的正交分解及其坐标表示》课件


3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示

?? ?? ? 如 果 e 1,2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 , e ? 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a, 有 且 只 有 ? ? ?? ? 一 对 实 数 ? 1, ? 2, 使 a= ? 1 e 1+ ? 2 e 2。 ?? ?? ? ( e 1、

2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 底 。 ) e

平面向量基本定理:

【温故知新】

平面向量的正交分解及坐标表示

y

? ? ? a ? xi ? y j

? a

? ? ? i ? (1, 0), j ? (0,1), 0 ? (0, 0).

? i

o

? j

x

问题:

我们知道,平面内的任意一个向量 都可以 ? ? 用两个不共线的向量 a , b 来表示(平面向量基本定 理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?
? ? ??? ? ???? ? ???? O P ? O Q ? z k . O Q ? x i ? y j.
z

?? p

??? ? ???? ? ? ? ? O P ? O Q ? z k ? xi ? y j ? z k . ? ? ? 由此可知,如果 i , j , k 是空间两 两垂直的向量,那么,对空间任一向 ?? 量 ,存在一个有序实数组 {x,y,z} p ? ? ? ? ? 使得 ?? ? p?? xi ? y j ? zk . ? 我们称 x i , y j , z k 为向量 p 在

? ? k ? j i O
x

?? p

P

y Q

? ? ? i , j , k 上的分向量。

? ? ? 探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量 a, b, c ? ? ? 代替两两垂直的向量 i , j , k ,你能得出类似的
结论吗?

一、空间向量基本定理: ? ? ? 如果三个向量 a , b , c不共面,那么对空间任一 ?? 向量 p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z},使 ?? ? ? ?
p ? x a ? y b ? z c.

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 ? ? ? a , b , c 都叫做基向量

特别提示:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面,
还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 ? (2) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任 意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着 ? 它们都不是 0 。 (3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。

练习
1、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底. 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.

二、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 z 空间直角坐标系O--xyz
e3 e1 O x e2 y

点O叫做原点,向量e1,e2,e3 都叫做坐标向量.通过每两个坐 标轴的平面叫做坐标平面。

二、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)
x

z

p
e3 e1 O e2 y

例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1

D1 N C1

A B

D

分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可.

M

C

例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1

D1

N
A M B

C1 D

解: 连AN, 则MN=MA+AN 1 1 MA=- 3 AC =- 3 (a+b)

C

AN=AD+DN=AD-ND 1 = 3 (2 b + c ) ∴MN= MA+AN
=
1 (- 3

a + b + c )

例2、已知空间四边形OABC,其对角线为OB, AC,M,N,分别是对边OA,BC的中点,点P, Q是线段MN三等分点,用基向量OA,OB,OC 表示向量OP,OQ.
O M A Q P C

N
B

练习1.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c
点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则 MN=( ). 1 a -2 b +1 c O (A)
2 3 2
M A N C

B

2 1 b + 1c (B)- 3 a + 2 2 1 1b - 2c (C) 2 a + 2 3 2 2 b- 1c (D) 3 a + 2 3

练习2

练习3
AB e e 1、在空间坐标系o-xyz中, ? e1 ? 2 e 2 ? 3 e 2 ( e1、2、3 分 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量),则 AB 的坐标为 。 2、点M(2,-3,-4)在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ,关于原点的对称点 为 ,关于y轴的对称点为 ,


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