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河南省平顶山许昌新乡2015届高三第二次调研考试——数学文


平顶山许昌新乡 2015 届高三第二次调研考试

文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题;本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.在复平面上,复数 z=

(1+i)i 的共轭复数的对应点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积为

8? 3 10? C. 3
A. 3.若 a= 2
0.3

B.3π D. 6? ,b= 0.3 ,c= log 0.3 2 ,则 a,b,
2

c 的大小顺序是 A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 4.甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别 为 x甲 , x乙 ,则下列判断正确 的是 A. x甲 > x乙 :甲比乙成绩稳定 B. x甲 > x乙 ;乙比甲成绩稳定 C. x甲 < x乙 ;甲比乙成绩稳定 D. x甲 < x乙 ;乙比甲成绩稳定 5.一个算法程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 A.i<4 B.i>4 C.i<5
2

1 ,则判断框内应填入的条件是 63
D.i>5
2

6.在△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c,若 c = (a-b) +6,C=
1

? ,则△ABC 3

的面积为 A.3 B.

9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3
3 2

7.已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)= x +x + 1,则 f(1)+g(1)= A.-3 B.-1 C.1 D.3

? x≥0 ? 8.若 x,y 满足约束条件: ? x+2y≥3 ,则 x-y 的取值范围是 ? 2 x+y≤3 ?
A.[-3,0] B.[-

? ? ) (ω >0)的图象的相邻两条对称轴间的距离是 .若将函 3 2 ? 数 f(x)图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的解析式为 6 ? ? A.f(x)=sin(4x+ ) B.f(x)=sin(4x- ) 6 3 ? C. (x)=sin(2x+ ) D.f(x)=sin2x 6 uuu r uuu r uur uur 10. 在△ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=1, 点 P 在 AM 上且满足 AP =2 PM , 则 PA( PB
9.函数 f(x)=sin(ω x+ + PC )等于 A.-

3 ,0] 2

C .[

3 ,3] 2

D.[0,3]

uuu r

4 9

B.-

4 3

C.

4 3

D.

4 9

11.双曲线

x2 y 2 - 2 =1 (a>0,b>0)的右焦点是抛物线 y 2 =8x 的焦点,两曲线的一个公 2 a b

共点为 P,且|PF|=5,则该双曲线的离心率为 A.

5 2

B. 5

C.2

D.

2 3 3

12.已知函数 f(x)= ? A. (-∞,0]

?-x 2+2 x, x≤0, ?ln(x+1),x>0

.若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是 C.[-2,1]
2

B. (-∞,1]

D.[-2,0]

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 2l 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 A={x| x -3x+2<0},B={x|1<x<a},若 A ? B,则实数 a 的取值范围是
2

_____________. 14.正四棱锥的顶点都在一个球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积 为_____________. 15.已知抛物线 C: y 2 =4x 与点 M(-1,1) ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,若 MA · MB =0,则 k=____________. 16.已知公式:cosθ cos(60°-θ )cos(60°+θ )=

uuu r

uuu r

1 cos3θ . 4

那么 tan5°tan10°tan50°tan55°tan65°tan70°=________. 三、解答题;本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知首项为

3 的等比数列{ an }不是递减数列,其前 n 项和为 Sn (n∈N﹡) ,且 S3+a3, 2

S5+a5,S4+a4 成等差数列. (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设数列 bn = (-1)
n+1

,n(n∈N﹡) ,求数列{ an · bn }的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 如图,AB 是⊙O 的直径,VC 是圆柱 OO1 的母线. (Ⅰ)求证:平面 VAC⊥平面 VBC; (Ⅱ)当 AB=2, AC=1, 二面角 V-AB-C 为 60°,求圆柱的 侧面积.

19. (本小题满分 12 分) 某中学高中部有 300 名学生,初中部有 200 名学生.为了研究学生“周平均学习时间” 是否与年级组有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名学生,先统计了他们某 学期的周平均学习时间,然后按“初中组”和“高中组”分为两组,再将两组学生的周 平均学习时间分成 5 组:[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90)分别加
3

以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求高中部学生的“周平均学习时间” ; (Ⅱ) 从样本中周平均学习时间不足 50 小时的学生中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名 “初 中组”学生的频率. (Ⅲ)规定“周平均学习时间”不少于 70 小时者为“学霸” ,请你根据已知条件完成 2×2 的列联表,并判断是否有 90%的把握认为“学霸”与学生所在的年级组有关?

20. (本小题满分 12 分) 设椭圆

x2 y 2 + =1 (a>b>0) ,过左焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交椭圆于 A,B 两 a 2 b2

点,且 B(0,1). (Ⅰ)若 FA =λ · FB ,求λ ; (Ⅱ)设 AB 的中垂线与椭圆交于 C,D 两点,问 A,B,C,D 四点是否共圆,若共圆, 则求出该圆的方程;若不共圆,则说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)对于任意正实数 x,不等式 f(x)>kx-

uur

uur

1 恒成立,求实数 k 的取值范围. 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙ O? 相交于 A,B 两点,过 A 作两圆 的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交 ⊙O 于点 E.
4

证明: (Ⅰ)AC·BD=AD·AB; (Ⅱ)AC=AE. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

? 2 t, ? x= 2- ? 2 (Ⅰ)将直线 l: ? (t 为参数)化为极坐标方程; 2 ?y= t, ? ? 2
(Ⅱ)设 P 是(Ⅰ)中的直线 l 上的动点,定点 A( 2 , 的动点,求|PA|+|PB|的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)解不等式:|2x-1|-|x|<1; (Ⅱ)设 a -2ab+5 b =4 对 ? a ,b∈R 成立,求 a+b 的最大值及相应的 a,b.
2 2

? ) ,B 是曲线ρ =-2sinθ 上 4

平顶山、许昌、新乡三市 2015 届高三第二次调研考试 文科数学答案
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8.A 9.D
5

10.A 11.C 12.D

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. 13. a ? 2 ;14.
??? ?



15.2; 16.

2 3 ?1 . 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q ,∵S3 + a3,S5 + a5,S4 + a4 成等差数列, ∴(S5 + a5)-(S3 + a3)=(S4 + a4)-(S5 + a5) , ∴4 a5= a3,因此, q ?
2

…… 2 分

1 a5 1 ? . ∵数列 {an } 不是递减数列,∴ q ? ? . 2 a3 4
…… 4 分

3 1 n ?1 3 (? ) ? (?1) n ?1 n , n ? N* . …… 6 分 2 2 2 3n n ?1 3 ? (?1) n ?1 n ? n , (Ⅱ)∵ an ? bn ? (?1) …… 7 分 n 2 2 1 2 3 n ∴ Tn ? 3( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) , …… 8 分 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n ∴ Tn ? 3( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ) , ……10 分 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 n 以上两式相减得: Tn ? 3( 1 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ) ? 3(1 ? n ? n ?1 ) , 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ∴ Tn ? 6(1 ? n ?1 ) . …… 12 分 2
∴ an ? 18.解: (Ⅰ)∵VC 是圆柱 OO1 的母线,∴VC⊥⊙O 所在的平面 ABC, ∴VC⊥BC. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC. ∴BC⊥平面 VAC. ∴平面 VAC⊥平面 VBC. (Ⅱ)作 CD⊥AB 于 D,连 VD,由(Ⅰ)可知,AB⊥平面 VCD, ∴∠VDC 就是二面角 V-AB-C 的平面角,即∠VDC=60° . 在 Rt△ABC 中,AB=2,AC=1,∴CD= …… 2 分 …… 3 分 …… 4 分 …… 5 分 …… 6 分 …… 8 分

3 3 ,∴ VC ? CD tan60 ? ? .……10 分 2 2
…… 12 分

∴圆柱 OO1 的侧面积为 S ? 2??

3 ? 3? . 2

19.解: (Ⅰ)由已知得,样本中有“高中组”学生 60 名, “初中组”学生 40 名. 在“高中组”抽取的 60 名样品中, “周平均学习时间”分别落在区间
6

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为:6,15,24, 12,3. ∴高中部学生的“周平均学习时间”为

(6 ? 45 ? 15 ? 55 ? 24 ? 65 ? 12 ? 75 ? 3 ? 85) ? 60 ? 63.5(小时) . …… 4 分
(Ⅱ)由已知得,样本中“周平均学习时间”不足 50 小时的学生中, “高中组”学生有

60 ? 0.10 ? 6 (人) ,记为 A1 , A2 ,?, A6 ; “初中组”学生有 40 ? 0.05 ? 2 (人) ,
记为 B1 , B2 . 从中随机抽选取 2 名学生,所有可能的结果共有 28 种,他们是: ( A1 , A2 ) ,?, ?, ?, ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A1 , A6 ) , ( A5 , A6 ) , ( A6 , B1 ) , ( A6 , B2 ) ,

( B1 , B2 ) .
其中,至少有一名“初中组”学生的可能结果共 13 种,它们是:( A1 , B1 ) ,( A1 , B2 ) ,

( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ? , ( A6 , B1 ) , ( A6 , B2 ) , ( B1 , B2 ) . 故 所 求 的 概 率 :

P?

13 . 28

…… 8 分

(Ⅲ)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名学生中, “高中组”中“学霸”人数为 60 ? 0.25 ? 15 (人) , “初中组” 中 “学霸” 人数为 40 ? 0.375 ? 15(人) , 据此可得 2 ? 2 列联表如下: 高中组 初中组 合计 所以得: K 2 ? 学霸 15 非学霸 45 合计 60

15 30

25 70

40 100

n(ad ? bc)2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

因为 1.79 ? 2.706 ,所以没有 90% 的把握认为“学霸”与学生所在的年级组有关. …… 12 分 20. 解: (Ⅰ) ∵直线 AB 交椭圆于点 B(0,1) , ∴ b ? 1, 又直线 AB 的倾斜角为 45°, ∴c ? b ,

∴椭圆的方程为

x2 2

? y 2 ? 1.

……2 分

7

将 AB: y ? x ? 1 代入椭圆得: 3x ? 4 x ? 0 ,
2

?? ? ??? 4 1 1 解得 A( ? , ? ), B (0,1) ,将其代入 FA ? ? FB ,得 ? ? ? . 3 3 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 AB 的中点为( ?

……5 分

2 1 1 , ) ,∴AB 的中垂线 CD 的方程为 y ? ? x ? . 3 3 3 1 4 16 2 ?0. 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,将 CD: y ? ? x ? 代入椭圆得: 3 x ? x ? 3 3 9 ??? ??? 4 4
∵ BC ? BD ? x1 ? x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) 3 3 4 16 16 4 4 16 ? 2 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? ?2 ? ? ? (? ) ? ? 0. 3 9 27 3 9 9 ∴ BC ? BD ,∴A,B,C,D 四点共圆.

???

???

2 1 2 2 10 2 104 ∵CD 的中点为 ( ? , ? ) ,半径为 (? ) ? (? ) ? , 9 9 9 9 9
∴经过 A,B,C,D 四点的圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

2 9

1 9

104 . 81

……12 分

? 21.解: (Ⅰ)令 f () x ? l n x ? 10 ?,得 x ?

1 . e 1 1 当 x ? ( 0 , ) 时, f ?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, f ?(x) ? 0. e e 1 1 所以函数 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递减,在 ( , ? ? ) 上单调递增. …… 5 分 e e 1 1 (Ⅱ)由于 x ? 0 ,所以 fx ( ) ? xxk l n ?? x ? k ? l n x ?. 2 2 x 1 1 2 x ? 1 1 1 ? 构造函数 k(x) ? ln x ? ,则令 kx ,得 x ? . () ? ? 2? 2 ? 0 x2 x 2 x 2x 2 1 1 当 x ? ( 0 , ) 时, k?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, k?(x) ? 0. 2 2 1 1 1 () x ? k () ? l n? 11l ? ? n 2 所以函数在点 x ? 处取得最小值,即 k . m i n 2 2 2 因此所求的 k 的取值范围是 ( ……12 分 ? ? ,1 ? l n 2 ).

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

8

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)消去参数 t 得 x ? y ? 2 , 即 ? (cos? ? sin ? ) ? 2 , ∴直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? (答案也可以化为 ? sin(? ?

? ) ? 1. 4
……5 分

? ) ? 1) 4

2 2 (Ⅱ) ∵ A( 2, ) 的直角坐标为 A(1,1) , 曲线 ? ? ?2sin ? 是圆 C :x ? ( y ? 1) ? 1(C

π 4

为圆心) . ∴ | PA | ? | PB |?| PA | ? | PC | ?1 ?| AC | ?1 ? 5 ?1 . ∴ | PA | ? | PB | 的最小值为 5 ? 1 (这时 P 是直线 l 与直线 AC 的交点) . ……10 分 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 x<0 时,原不等式可化为 ?2 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,又∵ x ? 0 ,∴ x 不存在; 当0? x ? ∴0? x ?

1 1 时,原不等式可化为 ?2 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,又∵ 0 ? x ? , 2 2
1 ; 2
9

1 1 1 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 1 ,解得 x ? 2 ,又∵ x ? ,∴ ? x ? 2 ; 2 2 2 综上,原不等式的解为 0 ? x ? 2 . …… 5 分
当x? (Ⅱ)由 a ? 2ab ? 5b ? 4 得 (a ? b)2 ? (2b)2 ? 4 ,
2 2

∴ (a ? b)2 ? (a ? b ? 2b)2 ? 2[(a ? b)2 ? (2b)2 ] ? 8 , ∴ a ? b 的最大值为 2 2 ,此时相应的 a ?

3 2 2 ,b ? . 2 2

……10 分

10


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