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2013年高考数学总复习 10-8 离散型随机变量及其概率分布(理)但因为测试 新人教B版


2013 年高考数学总复习 10-8 离散型随机变量及其概率分布(理)但 因为测试 新人教 B 版
1.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,…,n,如果 P(X<4)=0.3,那么( A.n=3 C.n=10 [答案] C 3 [解析] ∵P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= =0.3,∴n=10. n 2.(2011· 广州模拟)甲

、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为 0.6,乙被录取 的概率为 0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( A.0.12 C.0.46 [答案] D [解析] P=1-(1-0.6)× (1-0.7)=0.88. 3.(2011· 潍坊质检)甲、乙两人进行围棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜 2 三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为 ,则甲以 3?:1 的比分获胜的概率为 3 ( ) 8 A. 27 4 C. 9 [答案] A 2 1 [解析] 设甲胜为事件 A,则 P(A)= ,P( A )= , 3 3 ∵甲以 3?:1 的比分获胜,∴甲前三局比赛中胜 2 局,第四局胜,故所求概率为 P= 8 2 2 12 C3· )2··= . ( 3 3 3 27 4.(2011· 岳阳期末)袋中有 5 个小球(3 白 2 黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取 两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是( 3 A. 5 1 C. 2 [答案] C [解析] 5 个球中含 3 个白球,第一次取到白球后不放回,则第二次是含 2 个白球的 4 3 B. 4 3 D. 10 ) 64 B. 81 8 D. 9 B.0.42 D.0.88 ) B.n=4 D.n=9 )

1 个球中任取一球,故取到白球的概率为 . 2 5.(2010· 上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到 6 白球个数的数学期望值为 ,则口袋中白球的个数为( 7 A.3 C.5 [答案] A [解析] 设白球 x 个, 则黑球 7-x 个, 取出的 2 个球中所含白球个数为 ξ, ξ 取值 0,1,2, 则 C2-x ?7-x??6-x? 7 P(ξ=0)= 2 = , C7 42 C1· 1-x x?7-x? x C7 P(ξ=1)= = , C2 21 7 C2 x?x-1? x P(ξ=2)= 2= , C7 42 ?7-x??6-x? x?7-x? x?x-1? 6 ∴0× +1× +2× = , 42 21 42 7 ∴x=3. 6.(2011· 苏州模拟)甲、 乙两人独立地对同一目标各射击一次, 命中率分别为 0.6 和 0.5, 现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为( A.0.45 C.0.65 [答案] D [解析] 设“甲击中目标”为事件 A,“目标被击中”为事件 B,则所求概率为事件 B 发生 的条件下,A 发生的条件概率, ∵P(AB)=0.6, P(B)=0.6× 0.5+0.6× 0.5+0.4× 0.5=0.8, P?AB? 0.6 ∴P(A|B)= = =0.75. P?B? 0.8 1 7. (2011· 济南模拟)已知随机变量 X 的分布列为: P(X=k)= k, k=1,2, …, P(2<X≤4) 则 2 等于________. [答案] 3 16 ) B.0.6 D.0.75 B.4 D.2 )

[解析] P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4) 1 1 3 = 3+ 4= . 2 2 16 8.(2011· 荆门模拟)由于电脑故障,使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以“x,y”

代替,x、y 是 0~9 的自然数),其表如下:

X P

1 0.20

2 0.10

3 0.x5

4 0.10

5 0.1y

6 0.20

则丢失的两个数据 x=________,y=________. [答案] 2,5 [解析] 由于 0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1, 得 10x+y=25,于是两个数据分别为 2,5. 9.(2011· 湖南理,15)如图,EFGH 是以 O 为圆心、半径为 1 的圆的内接正方形.将一颗 豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在 扇形 OHE(阴影部分)内”,则(1)P(A)=________;(2)P(B|A)=________.

2 1 [答案] (1) (2) π 4 [解析] 该题为几何概型,圆的半径为 1,正方形的边长为 2,∴圆的面积为 π,正方 π 形面积为 2,扇形面积为 . 4 1 2 1 2 故 P(A)= ,P(A∩B)= = , π π 2π 1 P?A∩B? 2π 1 P(B|A)= = = . P?A? 2 4 π 10.(2011· 西城模拟)一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,小球的编号分别为 1,2,3,4,5,6. (1)若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回地抽取 2 次,求取出的两个球编号之和为 6 的概率; (2)若从袋中每次随机抽取 2 个球,有放回地抽取 3 次,求恰有 2 次抽到 6 号球的概率; (3)若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X,求随机变量 X 的分布列.

[解析] (1)设先后两次从袋中取出球的编号为 m,n,则两次取球的编号的一切可能结 果(m,n)有 6× 6=36 种,其中和为 6 的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共 5 种,则 5 所求概率为 . 36 C1 1 5 (2)每次从袋中随机抽取 2 个球,抽到编号为 6 的球的概率 P= 2= . C6 3 所以,3 次抽取中,恰有 2 次抽到 6 号球的概率为 1 2 2 2 C3p2(1-p)=3× )2× )= . ( ( 3 3 9 (3)随机变量 X 所有可能的取值为 3,4,5,6. C2 1 2 P(X=3)= 3= , C6 20 C2 3 3 P(X=4)= 3= , C6 20 C2 6 3 4 P(X=5)= 3= = , C6 20 10 C2 10 1 5 P(X=6)= 3= = . C6 20 2 所以,随机变量 X 的分布列为: X P 3 1 20 4 3 20 5 3 10 6 1 2

11.(2011· 安溪模拟)一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个 球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值是( 1 A. 220 27 C. 220 [答案] C C1C2 27 9 3 [解析] P(X=4)= 3 = . C12 220 12.(2011· 江六校联考)节日期间,某种鲜花进价是每束 2.5 元,销售价是每束 5 元; 浙 节后卖不出的鲜花以每束 1.5 元的价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花 的需求服从如下表所示的分布列: 27 B. 55 21 D. 55 )

ξ P

200 0.20

300 0.35 )

400 0.30

500 0.15

若进这种鲜花 500 束,则期望利润是( A.706 元 C.754 元 [答案] B [解析] 由题意,进这种鲜花 500 束, 利润 η=(5-2.5)ξ-(2.5-1.5)× (500-ξ) =3.5ξ-500

B.690 元 D.720 元

而 E(ξ)=200× 0.2+300× 0.35+400× 0.30+500× 0.15=340, ∴E(η)=E(3.5ξ-500)=3.5E(ξ)-500=690(元). 13.(2010· 上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为 1、2、3、4、5 的五个大 小形状完全一样的小球,现从袋中同时摸出 3 只小球,用随机变量 X 表示摸出的 3 只球中 的最大号码数,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=( 44 A. 5 7 C. 2 [答案] D 1 1 [解析] X 的取值有:3、4、5,P(X=3)= 3= , C5 10 C2 3 C2 3 3 4 P(X=4)= 3= ,P(X=5)= 3= , C5 10 C5 5 1 3 3 9 ∴E(X)=3× +4× +5× = . 10 10 5 2 14. (2011· 通州模拟)亚洲联合馆一与欧洲联合馆一分别位于上海世博展馆的 A 片区与 C 片区:其中亚洲联合馆一包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克 斯坦 馆、蒙古馆等 6 个展馆;欧洲联合馆一包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、 塞浦路斯馆等 4 个展馆.某旅游团拟从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一共 10 个展馆中选择 4 个展馆参观,参观每一个展馆的机会是相同的. (1)求选择的 4 个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率; (2)记 X 为选择的 4 个展馆中包含有亚洲联合馆一的展馆的个数,求 X 的分布列. [解析] (1)旅游团从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一中的 10 个展馆中选择 4 个展馆参观 的总结果数为 C4 =210,记事件 A 为选择的 4 个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆,依 10 28 题意可知我们必须再从剩下的 8 个展馆中选择 2 个展馆, 其方法数是 C2=28, 所以 P(A)= 8 210 ) 83 B. 10 9 D. 2

2 = . 15 (2)根据题意可知 X 可能的取值是 0,1,2,3,4. X=0 表示只参观欧洲联合馆一中的 4 个展馆, 不参观亚洲联合馆一中的展馆, 这时 P(X 1 1 =0)= 4 = , C10 210 X=1 表示参观欧洲联合馆一中的 3 个展馆, 参观亚洲联合馆一中的 1 个展馆, 这时 P(X C3C1 4 4 6 =1)= 4 = ,X=2 表示参观欧洲联合馆一中的 2 个展馆,参观亚洲联合馆一中的 2 个 C10 35 C2· 2 3 4 C6 展馆,这时 P(X=2)= 4 = ,X=3 表示参观欧洲联合馆一中的 1 个展馆,参观亚洲联合 C10 7 C1· 3 8 4 C6 馆一中的 3 个展馆,这时 P(X=3)= 4 = ,X=4 表示参观亚洲联合馆中的 4 个展馆, C10 21 这时 P(X=4)= C4 1 6 = . C4 14 10

所以 X 的分布列为: X 0 1 2 3 4

P

1 210

4 35

3 7

8 21

1 14

15.(2011· 山东理,18)红队队员甲、乙、丙 与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A、 乙对 B、丙对 C 各一盘,已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘 比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ. [解析] (1)设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F, 则 D , E , F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件. 因为 P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5 由对立事件的概率公式知 P( D )=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. - 红队至少两人获胜的事件有:DE F ,D E F, D EF,DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为 P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)+P(DEF) =0.6× 0.5× 0.5+0.6× 0.5× 0.5+0.4× 0.5× 0.5+0.6× 0.5× 0.5=0.55.

(2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. 又由(1)知 D 立, 因此 P(ξ=0)=P( D P(ξ = 1) = P( D 0.6× 0.5× 0.5=0.35. P(ξ=3)=P(DEF)=0.6× 0.5× 0.5=0.15. 由对立事件的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4. 所以 ξ 的分布列为: ξ E F )=0.4× 0.5× 0.5=0.1, F ) = 0.4× 0.5× + 0.4× 0.5 0.5× + 0.5 E F、 D E F 、D E F 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独

E F) + P( D E F ) + P(D E

0

1

2

3

P

0.1

0.35

0.4

0.15

因此 E(ξ)=0× 0.1+1× 0.35+2× 0.4+3× 0.15=1.6.

1.在四次独立重复试验中,事件 A 在每次试验中出现的概率相同,若事件 A 至少发生 65 一次的概率为 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为( 81 1 A. 3 32 C. 81 [答案] C [解析] 设事件 A 在每次试验中发生的概率为 p,则事件 A 在 4 次独立重复试验中,恰 好发生 k 次的概率为 Pk=Ck pk(1-p)4 k(k =0,1,2,3, 4), 4 65 ∴p0=C0p0(1-p)4=(1-p)4,由条件知 1-p0= , 4 81 16 2 1 ∴(1-p)4= ,∴1-p= ,∴p= , 81 3 3 1 ?2?3 32 3 ∴p1=C1p· ,故选 C. 4 (1-p) =4× × 3 = 3 ? ? 81 2.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列


)

2 B. 3 8 D. 81

?-1 第n次摸取红球 ? {an}:n=? a , 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 那么 S7=3 的概率为( ? 第n次摸取白球 ?1

)

1 ?2 A.C5?3?2·3?5 7 ? ? ? ? 1 ?2 C.C5?3?2·3?5 7 ? ? ? ? [答案] B

2 ?1 B.C2?3?2·3?5 7 ? ? ? ? 1 ?2 D.C3?3?2·3?5 7 ? ? ? ?

[分析] 关键是弄清 S7=3 的含义:S7=a1+a2+…+a7,而 ai 的取值只有 1 和-1,故 S7=3 表示在 ai 的七个值中有 5 个 1、2 个-1,即七次取球中有 5 次取到白球、2 次取到红 球. [解析] S7=a1+a2+…+a7=3 表示七次取球试验中,恰有 2 次取到红球,而一次取球 2 中,取到红球的概率 P1= , 3 2 ?1 ∴所求概率为 P=C2?3?2·3?5. 7 ? ? ? ? 3.(2011· 烟台模拟)随机变量 X 的概率分布列为 P(X=n)= 1 5 常数,则 P( <X< )的值为( 2 2 2 A. 3 4 C. 5 [答案] D a a a a [解析] 由题意得, + + + =1, 1· 2· 3· 4· 2 3 4 5 1 1 1 1 1 4a 5 a(1- + - +…+ - )= =1,a= , 2 2 3 4 5 5 4 1 5 a a 2a 5 P( <X< )=P(X=1)+P(X=2)= + = = . 2 2 1· 2· 3 6 2 3 4.已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依 次成等差数列,则公差 d 的取 值范围是________. 1 1 [答案] ?-3,3? ? ? [解析] 由条件知,
?P?ξ=x3?+P?ξ=x1?=2P?ξ=x2? ? ? , ? ?P?ξ=x1?+P?ξ=x2?+P?ξ=x3?=1

a (n=1,2,3,4),其中 a 是 n?n+1?

) 3 B. 4 5 D. 6

1 ∴P(ξ=x2)= , 3

1 1 ∵P(ξ=xi)≥0,∴公差 d 取值满足- ≤d≤ . 3 3 5. (2010· 浙江金华十校联考)质地均匀的正四面体玩具的 4 个面上分别刻着数字 1,2,3,4, 将 4 个这样的玩具同时抛掷于桌面上. (1)求与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积不能被 4 整除的 概率; (2)设 ξ 为与桌面接触的 4 个面上数字中偶数的个数,求 ξ 的分布列及期望 E(ξ). [解析] (1)不能被 4 整除的有两种情形: 1 1 ①4 个数均为奇数,概率为 P1=?2?4= ? ? 16 ②4 个数中有 3 个奇数,另一个为 2, 1 1 1 概率为 P2=C3?2?3·= 4 ? ? 4 8 1 1 3 故所求的概率为 P= + = . 16 8 16 1 (2)P(ξ=k)=Ck ?2?4(k=0,1,2,3,4),ξ 的分布列为 4 ? ? ξ 0 1 16 1 1 4 2 3 8 3 1 4 4 1 16

P

1 1 ξ 服从二项分布 B?4,2?,则 E(ξ)=4× =2. ? ? 2 6.(2010· 广东理,17)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽 取该 流水线上 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495], (495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分

布列. (3)从该 流水线上任取 5 件产品、求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率. [解析] (1)重量超过 505 克的产品数量是 40× (0.05× 5+0.01× 5)=40× 0.3=12 件. (2)Y 的分 布列为 Y 0 C2 28 2 C40 1 C1 C1 28 12 2 C40 2 C2 12 2 C40

P

(3)从流水线上取 5 件产品,恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率是 28× 26 12× 27× 11 × 3× 1 2× 2× 1 C3 C2 21× 11 231 28 12 = = = . 5 C40 40× 38× 36 37× 39× 37× 19 703 5× 3× 1 4× 2×


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