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静电场中的导体球壳类问题例析

时间:2010-11-08


静电场中的导体球壳类问题例析
阜阳市红旗中学 吴长海 当静电场中有导体存在时, 导体内的自由电子在电场力的作用下将重新进行分布; 反过 来,电荷分布的改变又会影响到电场分布。因此,静电场中有导体存在时,电荷的分布和电 场的分布相互影响、相互制约,最后达到的平衡分布是不能预先判知的。因此,我们处理这 类问题的基本方法是:假定这种平衡分布已经达到,然后以静电平衡条件为出发点,结合静 电场的普遍规律去进行分析。 而不是去分析电场、 电荷在相互作用下怎样达到平衡分布这一 复杂过程。限于中学生的知识水平,物理竞赛中只限于对一些简单问题(主要是导体球壳类 问题)进行定性和半定量的分析。由于中学阶段对这类问题涉及较少,所以,许多参加竞赛 的同学对这类问题的理解并不深入,本文试就这类问题的求解思路进行例析。 一、巧用对称性求解均匀带电半球壳问题 一个完整的均匀带电球壳可以看作是由两个对称的均匀带电半球壳组成, 其内部某点的 电势应等于两个均匀带电半球壳单独存在时在该处所产生的电势的叠加。 因此, 我们可以巧 妙地利用对称性和电势叠加原理来求解。 A [例 1] (第八届预赛题)电荷 q 均匀地分布在半球面 ACB 例 + 上,球面半径为 R,CD 为通过半球面顶点 C 与球心 O 的轴线, + 如图 1 所示,P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧、离 O 点距离相等 C + · · · 的两点。已知 P 点的电势为 UP,试求 Q 点的电势 UQ。 D P O Q 解析: 解析:设想一个均匀带电、带电量也是 q 的右半球,与题中 + + 所给的左半球组成一个完整的均匀带电球壳,由对称性可知,右 B ′ 半球在 P 点的电势 U P 等于左半球在 Q 点的电势,即 图1

′ U P =U Q
所以

(1) (2)

′ UP +UQ = UP +UP

′ 而 U P + U P 正是两个半球同时存在时 P 点的电势。因为均匀带电球壳内部各处电势都
相等,其值等于 k

2q ,k 为静电力常量,所以得 R 2q ′ UP +UP = k (3) R UQ = k 2q ?U P R

由(2)、(3)两式得

二、导体球壳的电势常选球心处来计算 这是因为: (1)处于静电平衡状态的导体球壳是一个等势体,其内部各点的电势都与 球壳处的电势相等。当然,球心处的电势也等于球壳的电势;(2)一般来说球心处的电势 往往便于计算。 [例 2] (13 届复赛题)在半径 R 的导体球外,一半径为 r 的细圆环,圆环的圆心与导体 球心的连线长为 d(d>R),且与环面垂直,如图 2 所示,已知环上均匀带电,总电量为 q, 问: R 1.当导体球接地时,球上感应电荷总电量是 多少? r d

图2

2.当导体球不接地而所带总电量为零时,它的电势如何? 3.当导体球的电势为 V0 时,球上的总电荷是多少? 解析: 解析:1。导体球是一个等势体,导体球的电势等于球心处的电势。当导体球接地时, 对于球心有 φ球心=φ球=0 (1) 由电势叠加原理知: 球心处的电势等于球面上感应电荷与圆环上的电荷在球心处产生的 电势的叠加。 由于球外空间有带电圆环存在, 所有感应电荷都分布在球面上, 但球壳外壁的电荷分布 并不均匀。设球面上感应电荷的总量为Q1,我们可以设想对球面进行无限分割,使每一个 小面元都可以看作点电荷,它们到球心的距离都是 R。在导体球表面上的第 i 个面元所带的 电量为 ?Qi ,它在球心O处产生的电势为 k 应电荷在球心O处产生的电势为

?Qi ,则由电势叠加原理可求出球面上所有感 R

φ感

∑ ?Qi Q1 ?Qi = ∑k =k i =k R R R i

(说明:由上面的分析可见,这一结果与感应电荷在球体表面是否均匀分布无关。 ) 同理, 对均匀带电圆环也可以进行无限分割, 由于圆环上每个线元电荷到球心的距离都 是 r + d ,所以,圆环上的电荷在球心处所产生的电势为
2 2

φq = ∑ k
i

?q i r2 + d 2

=k

∑ ?q
i

i

r2 + d 2

=k

q r2 + d 2

因此,球心处的电势为

φ球心= k

Q1 q +k =0 R r2 + d2

(2)

由(1)(2)两式得 、

Q1 = ?

Rq r2 + d 2

(3)

2.导体球不接地时, 同样有 φ球=φ球心= k

Q2 q +k 2 R r +d2

(4)

其中 Q2 是此时导体球壳所带电量 由于导体球不带电,故 Q2=0 则φ球=φ球心=

k

q r2 + d 2

(5)

3.当导体球的电势为 V0 时,同样有 φ 球= k

Q3 q +k = V0 2 R r +d2

(6)

其中 Q3 是此时导体球壳所带电量 所以,

Q3 =

RV0 Rq ? 2 K r +d2

(7)

三、装置不变时,不同的静电平衡状态可以叠加,叠加后仍为静电平衡状态 装置不变时,不同的静电平衡状态可以叠加, 接上面的例 2: 4.情况 3 与情况 1 相比,圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何? 5.情况 2 与情况 1 相比,圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何? 解析: 4。 (3) (7) 式和 式可知, 情况 3 比情况 1 只是在导体球上多了电荷 解析: 对比

RV0 , K

而导体球的电势相应地由 0 变为 V0。因而,我们可以设想从情况 1 出发,把导体球与地断 开而维持原来的 Q1 大小及分布不变,再把电荷

RV0 均匀地抹在球面上,正是它使导体球的 K

电势变为 V0,这两种静电平衡状态的叠加即成为情况 3。对于球外的圆环来说,这些加上的 电荷对它的作用力相当于集中在球心处的等量点电荷对它的作用力, 这也就是圆环多受到的 作用力。由于圆环上的电荷均匀分布,对圆环中心到球心的连线具有轴对称性,把圆环上各 线元电荷受到上述等效点电荷的作用力沿两心连线方向的分量相加, 就是圆环多受到的作用 力。所以,圆环受导体球的作用力改变量的方向应沿两心连线向外(图中向右) ,大小为

F =k

(

RV0

)?q RdqV0 d k ? = 2 2 3 2 2 r +d r +d (r 2 + d 2 ) 2

(8)

5. 可直接应用情况 4 的结果, 只是把 (8) 式中的 V0 用情况 2 中的φ球替换, 即将 (5) 式代入(8)式即可。所以情况 2 与情况 1 相比,圆环受导体球的作用力改变量的方向仍为 沿两心连线向外(图中向右) ,大小是

F′ = k

Rdq (r 2 + d 2 )
3 2

?

kq r2 + d 2

=k

Rdq 2 (r 2 + d 2 ) 2

或者也可以这样去想:导体球处于圆环的电场中,由于静电感应,导体球带上等量异种 电荷。由情况(1)的计算可知:当导体球接地时,感应电荷总量为 Q1 = ?

Rq r +d2
2

,则

导体球不接地时,球上比情况 1 应多出 ? Q1 = 上面相同的结果。 四、要熟悉静电屏蔽的一些特点

Rq r2 + d 2

的感应电荷。则仍然可以得到与

[例 3](22 届复赛题)如图 3 所示,O 为半径等于 R 的原来不带电的导体球的球心, 例 O1 、O2 、O3 为位于球内的三个半径皆为 r 的球形空腔的球心,它们与 O 共面,已知

OO1 = OO2 = OO3 =

R r .在 OO1、OO2 的连线上距 O1、O2 为 的 P1、P2 点处分别放置带电 2 2

量为 q1 和 q2 的线度很小的导体(视为点电荷) ,在 O3 处放置一带电量为 q3 的点电荷,设法使 q1、q2 和 q3 固定不动.在导体球外的 P 点放一个电量为 Q 的点电荷,P 点与 O1、O2、O3 共面,位于 O3O 的延 长线上,到 O 的距离 OP = 2 R 。 1.求 q3 的电势能。 图3 P R O 1 P1 R O O2 P2

O3 r

2.将带有电量 q1、q2 的小导体释放,当重新达到静电平衡时,各表面上的电荷分布有 何变化? 此时 q3 的电势能为多少? 解析: 解析:1.空腔内有电荷存在时,由于静电感应,空腔 1、2 及 3 的表面将分别感应出电 量为 ? q1 、 ? q 2 和 ? q 3 的电荷。由电荷守恒定律可知,在导体球的外表面也必然感应出等 量的同种电荷,所以,导体球的外表面的感应电荷总量为 q1 + q 2 + q 3 。由于静电屏蔽,点 电荷 q1 及感应电荷( ? q1 )在空腔外产生的电场为零;点电荷 q2 及感应电荷( ? q 2 )在空 腔外产生的电场为零;点电荷 q3 及感应电荷( ? q 3 )在空腔外产生的电场为零。因此,在 导体球外没有电荷时,导体球外表面的电量 q1 + q 2 + q 3 应作球对称分布。 当球外 P 点处放置电荷 Q 后,由于导体球不接地,所以,球面上的总电量不变,仍 为 (q1 + q 2 + q 3 ) ,但由于静电感应,这些电荷在球面上将不再均匀分布,由球外的 Q 和重 新分布在球面上的电荷 (q1 + q 2 + q 3 ) 在导体球内各点产生的合场强为零。 O3 处的电势应由位于 P 点处的 Q、导体球表面的电荷 (q1 + q 2 + q 3 ) 及空腔 3 表面的感 应电荷( ? q 3 )共同产生。无论 (q1 + q 2 + q 3 ) 在球面上如何分布,球面上的电荷到 O 点的 距离都是 R,因而在 O 点产生的电势为 k

q1 + q2 + q3 Q , Q 在 O 点产生的电势为 k ,这 R 2R

两部分电荷在 O3 点产生的电势 U ′ 与它们在 O 点产生的电势相等,即有

Q ? ? q + q 2 + q3 ? Q + 2q1 + 2q 2 + 2q 3 ? U ′ = k? 1 + ? = k? ? R 2R ? 2R ? ? ?

(1)

因 q3 放在空腔 3 的中心处,其感应电荷 ? q 3 在空腔 3 壁上均匀分布.这些电荷在 O3 点产生的电势为

U ′′ = k

? q3 r

(2)

根据电势叠加定理,O3 点的电势为

? Q + 2q1 + 2q 2 + 2q 3 q 3 ? U = U ′ + U ′′ = k ? ? ? r ? 2R ?
故 q3 的电势能为

(3)

? Q + 2q1 + 2q 2 + 2q 3 q 3 ? W = q 3U = kq3 ? ? ? 2R r ? ?

(4)

2.由于静电屏蔽,空腔 1 外所有电荷在空腔 1 内产生的合电场为零,空腔 1 内的电荷 q1 仅受到腔内壁感应电荷 ? q1 的静电力作用,因 q1 不在空腔 1 的中心 O1 点,所以感应电荷

? q1 在空腔表面分布不均匀,与 q1 相距较近的区域电荷面密度较大,对 q1 的吸力较大,在
空腔表面感应电荷的静电力作用下,q1 最后到达空腔 1 表面,与感应电荷 ? q1 中和。同理, 空腔 2 中 q2 也将在空腔表面感应电荷 ? q 2 的静电力作用下到达空腔 2 的表面与感应电荷

? q 2 中和。达到平衡后,腔 1、2 表面上无电荷分布,腔 3 表面和导体球外表面的电荷分布
没有变化。O3 的电势仍由球外的电荷 Q 和导体球外表面的电量 (q1 + q 2 + q 3 ) 及空腔 3 内壁 的电荷 ? q 3 共同产生,故 O3 处的电势 U 与 q3 的电势能 W 仍如(3)式与(4)式所示。 说明: 说明:由于静电屏蔽,点电荷 q1 及感应电荷( ? q1 )在空腔内表面以外的区域产生的 合电场为零, 因而, 它们对腔外空间的电场无贡献。 腔外区域的电场只由腔外的电荷来决定。 所以,腔外各点的电势也由腔外的电场决定。这一点我们可以用电势的定义来理解:因为电 场中某点的电势等于把单位正电荷由该点移动到参考点电场力做的功。所以,题中腔 1、2 中的(q1、-q1)(q2、-q2)对 O3 点的电势均没有贡献。 、 从本题的求解以及静电平衡的特点我们可以得到静电屏蔽的一些特点: 1.封闭导体球壳(不论接地与否)内的电场只由壳内带电体及壳的内壁形状决定,不 .................................... 受壳外电荷的影响;接地封闭导体球壳外部电场不受壳内电荷的影响。 ............................... 2.在壳内空间带电体的电量给定的情况下,虽然壳内电荷在壳外空间(通过在壳外壁 ............................. 感应出等量电荷)间接引起电场, ...... (所谓间接引起电场并不是说 q 本身不在壳外激发电场, . 而是指 q 以及由它在壳内壁感应的等量负电荷在壳外空间激发的合场强为零。 ..... )但壳外电场 的场强与电势完全由壳的外壁所带的电量以及壳外空间带电体的电量、 形状及配置决定。 那 ....................................... 种认为壳外电场与壳内电场分布总是有某些联系的想法是不对的, 也就是说, 不接地导体壳 内的电荷(如 q)除了使壳的外壁多了一份电量 q 之外,对壳外电场并无其他影响! 上述结论有些可以在电磁学范围内证明,有些则需要在电动力学范围内利用 “唯一性 定理”才能证明,对中学生来说,可以采用“类比”的方法理解。

五、求感应电荷产生的场强与电势的方法——电像法 求感应电荷产生的场强与电势的方法——电像法 —— [例 4](21 届复赛题)如图 4 所示,接地的空心导体球壳内半径为 R,在空腔内一直径 例 上的 P1 和 P2 处,放置电量分别为 q1 和 q2 的点电荷,q1=q2=q,两点电荷到球心的距离均 为 a。由静电感应与静电屏蔽可知:导体空腔内表面将出现感应电荷分布,感应电荷电量等 于-2q。空腔内部的电场是由 q1、q2 和两者在空腔内表面上的感应 电荷共同产生的。由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的, A 所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强。但理论上可

r 以证明,感应电荷对腔内电场的贡献,可用假想的位于腔外的(等 P1 P2 θ 效)点电荷来代替(在本题中假想(等效)点电荷应为两个) ,只要假 a a O 想的(等效)点电荷的位置和电量能满足这样的条件,即:设想将 R 整个导体壳去掉,由 q1 在原空腔内表面的感应电荷的假想(等效) ′ 点电荷 q1 与 q1 共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的 电势皆为 0;由 q2 在原空腔内表面的感应电荷的假想(等效)点电 ′ 荷 q 2 与 q2 共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势 图4 皆为 0。这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷,而且这样 ′ ′ 确定的等效电荷是唯一的。等效电荷取代感应电荷后,可用等效电荷 q1 、 q 2 和 q1、q2 来计 算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强。 ′ ′ 1.试根据上述条件,确定假想等效电荷 q1 、 q 2 的位置及电量。 2.求空腔内部任意点 A 的电势 UA。已知 A 点到球心 O 的距离为 r, OA 与 OP 的夹角 1 为θ 。 解析: 解析:静电平衡后,感应电荷的作用是使导体球壳等势。本题的基本思想是:如果能在 某个位置处找到一个假想的点电荷, 这个点电荷的作用与感应电荷的作用 (本题中是使空腔 内表面所在位置处各点的电势皆为 0)等效,那么,我们就可以用这个假想的电荷来等效代 替感应电荷。 这样, 导体空腔内部任意点的电势或场强就可以很方便地由电势叠加原理或场 强叠加原理求出。这个假想的等效电荷也叫做感应电荷的“电像” .......... 。但要注意:感应电荷的
“电像”一定位于施感电荷(引起静电感应的电荷)的异侧。并且,只能计算施感电荷一侧 ........................................ 的场强和电势。 ....... 如图 5 所示,S 为原空腔内表面所 A1 Oθ P2 a a P1 R S
图5

′ 在位置, q1 的位置应位于 OP1 的延长线
上的某点 B1 处, ′ 的位置应位于 OP2 的 q2 延长线上的某点 B2 处。设 A1 为 S 面上 的任意一点,根据题意有 B2 B1

k

q1 A1 P1 q2 A1 P2

+k

′ q1 A1 B1 ′ q2 A1 B2

=0

(1)

k

+k

=0

(2)

怎样才能使 (1) 式成立呢?下面分析图 5 中 ?OP1 A1 与 ?OA1 B1 的关系。 ′ 若等效电荷 q1 的位置 B1 使下式成立,即

OP1 ? OB 1=R 2

(3)



OP1 OA1

=

OA1 OB1

(4)



△OP1 A1 ∽△OA1 B1



A1 P1 A1 B1

=

OP1 OA1

=

a R

(5)

′ 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷 q1
′ q1 = ? R q1 a
(6)

′ 由 (3) 式知,等效电荷 q1 的位置 B1 到原球壳中心位置 O 的距离
OB1 = R2 a
(7)

同理,B2 的位置应使 △OP2 A1 ∽△OA1 B2 ,用类似的方法可求得等效电荷

q′ = ? 2

R q2 a

(8)

等效电荷 q ′ 的位置 B2 到原球壳中心 O 位置的距离 2

OB2 =

R2 a

(9)

′ ′ 2.A 点的位置如图 6 所示。A 的电势由 q1、 q1 、q2、 q 2 共同产生,即

? 1 R 1 R 1 ? 1 ? U A = kq? ? + ? ? P A a B A P A a B A? 1 2 2 ? ? 1
因为

(10)

P1 A = r 2 ? 2ra cos θ + a 2
? R2 B1 A = r 2 ? 2r ? ? a ? ? ? R2 ? cos θ + ? ? ? a ? ? ? ? ? ?
2

A B2 O θ P2 a a P1 R S
图6

P2 A = r 2 + 2ra cosθ + a 2
? R2 B 2 A = r + 2r ? ? a ?
2

B1

? ? R2 ? ? cos θ + ? ? ? ? a ? ? ? ?

2

代入 (10) 式得

? 1 R U A = kq? ? ? 2 2 a 2 r 2 ? 2raR2 cosθ + R 4 ? r ? 2ra cosθ + a

+

1 r 2 + 2ra cos θ + a 2

?

? ? 2 2 2 4 ? a r + 2raR cos θ + R ? R

(11)

练习: 练习: 1. (15 届预赛题)真空中,有五个带电量均为 q 的均 匀带电薄球壳, 它们的半径分别为 R、 R/2、 R/4、 R/8、 R/16, 彼此内切于 P 点(如图 7), 球心分别为 O1 、 2 、 3 、O4 、 O O O5 ,求 O5 与 O1 间的电势差。 【答: U 51 = 24.46k

O 1·

· P O O2· 3·· O5 O4

q 】 R
图7 z T D O B x E r · R ·P 图8

2. 届预赛题) (14 有一半径为 R 的不导电的半球薄壳, 均匀带电 ,倒扣在 xoy 平面上,如图 8 所示。图中 Ο 为 球心, ABCD 为球壳边缘 ,AOC 为直径。 有一电量为 q 的点电荷位于 OC 上的 E 点 ,OE = r ,已知将此点电 荷由 E 点缓慢移至球壳顶点 T 时 , 外力需要作功 W,W>0, 不计重力影响。 (1)试求将此点电荷由 E 点缓慢移至 A 点外力 A 需做功的正负及大小,并说明理由。【答:外力做功为 零】 (2)P 为球心正下方的一点 ,OP=R. 试求将此点 电荷由 E 点缓慢移至 P 点外力需做功的正负及大小, 并说明理由。

C

y

【答:由 E 到 P 外力的功为-W】

3.(18 届复赛)如图 9 所示,一薄壁导体球壳(以下简 称为球壳)的球心在O点。球壳通过一细导线与端电压U= 90V的电池的正极相连,电池负极接地。在球壳外A点有一 - 电量为q 1 =10×10 9 C的点电荷,B点有一电量为q 2 = - 16×10 9C的点电荷。点O、A之间的距离d1=20cm,点 O、B之间的距离d2=40cm。现设想球壳的半径从a= 10cm开始缓慢地增大到 50cm,问:在此过程中的不同 图9 — 阶段,大地流向球壳的电量各是多少?已知静电力常量k=9×109N·m2·C 2。假设点电荷能 穿过球壳壁进入导体球壳内而不与导体壁接触。 【答:1.当球壳半径从 a 趋于d1 的过程中(点电荷 q1 仍在球壳外) ,大地流向球壳的电量为 -9 -8×10 C;2. 当点电荷q1 穿过球壳,刚进入球壳内(导体半径仍为d1)的过程中,球 壳与大地没有电荷交换;3。当球壳半径趋于d2 时(点电荷q2 仍在球壳外) ,大地流向球壳 -9 的电量为-6×10 C;4. 当点电荷q2 穿过球壳,刚进入球壳内时(球壳半径仍为d2) ,大 地流向球壳的电量是 0;5。当球壳的半径由d2 增至a1=50cm时,大地流向球壳的电量为 -9 1×10 C】

参考文献: [1]赵凯华,陈熙谋.《电磁学》上册,人民教育出版社,1981 [2]全国中学生物理竞赛委员会办公室编. 《全国中学生物理竞赛参考资料汇编 (第十一届~ 第十五届),中央民族大学出版社,1999 》 [3]黄照欣主编.《奥赛金牌试题全解(高中物理),广西师范大学出版社,2005 》 [4]梁灿彬,秦光戎,梁竹健.《电磁学》 ,人民教育出版社,1983


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