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高考一轮总复习人教A版数学2-6


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学

第二章





第二章





走向高考 ·

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第二章
第六节 幂 函 数 与 函 数 的图 象 变 换

第二章





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基础梳理导学
3

课后强化作业

高频考点通关

第二章

第六节

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基础梳理导学

第二章

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夯 实 基 础

稳 固 根 基 y=xα的 函 数 叫 做 幂 函 数 (α为 常

1. 幂 函 数 定 义 : 形 如 数). 要 重 点 掌 握

1 1 α=1,2,3,2, - 1,0, - 2, - 2时 的 幂 函 数 . (只 作 出 第 一 象 限 图 象 )

2. 幂 函 数 的 图 象 :

第二章

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幂 函 数 在 其 他 象 限 的 图 象 , 可 由 幂 函 数 的 奇 偶 性 根 据 对 称 性 作 出 .

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幂函数y=xα(α∈R)的 图 象 如 下 表 : q α=p p、q都 是奇数 p为奇数, q为偶数 p为偶数, q为奇数 α<0 0<α<1 α>1

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3.幂 函 数 的 性 质 : ( 1 ) 当α>0时 , 幂 函 数 图 象 都 过 点 ; 且 在 第 一 象 限 都 是 当α>1时 , 曲 线 下 凸 ; ______. ( 2 ) 当α<0时 , 幂 函 数 图 象 总 经 过 象 限 为 ________函 数 . ( 3 ) α=0时y=x0, 表 示 过 ( 1 1 ,) ( 0 1 ,) 点). 点 平 行 于 x轴 的 直 线 (除 去 ________点 , 且 在 第 一 ________点 和 ________

______函 数 ; 当 0<α<1时 曲 线 上 凸 ; α=1时 , 为 过 ( 0 0 ,) 点 和( 1 1 ,) 点 的

第二章

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4. 有 关 结 论 若f(a+x)=f(a-x),x∈R恒 成 立 , 则 直 线 x=a成 轴 对 称 图 形 .
[答案] 3 ( 1 .) ( 0 0 ,) ( 1 1 ,) 增 直线 ( 2 ) ( 1 1 ,) 减

y=f(x)的 图 象 关 于

第二章

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考 点 自 测 1.( 2 0 1 3 ·

把 脉 弱 点 山 东 实 验 中 学 模 拟 )下 面 给 出 4个 幂 函 数 的 图 ( )

象 , 则 图 象 与 函 数 的 大 致 对 应 是

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[答案] B

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[解 析]


y=x 为 偶 函 数 , 对 应

2

②;y=x

1 2

定 义 域 x≥0, 对 ④;y

应③;y=x 1为 奇 函 数 , 且 图 象 与 坐 标 轴 不 相 交 , 对 应 =x 与y=x 均 为 奇 函 数 , 但 应y=x3.
3
1 3

y=x 比y=x 增 长 率 大 , 故 ①对

3

1 3

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2.( 2 0 1 3 ·

北 京 理 , 5)函 数 f(x)的 图 象 向 右 平 移 y=ex关 于 y轴 对 称 , 则 B.ex-1 D.e-x-1

1个 单 位 长 )

度 , 所 得 图 象 与 曲 线 A.ex+1 C.e-x+1

f(x)=(

[答案] D

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[解 析]

∵曲线y=ex关 于 y轴 对 称 的 曲 线 为 1个 单 位 即 得 到 函 数

y=e x, 将 y=


e-x的 图 象 向 左 平 移
-(x+1)

f(x)的 图 象 , ∴f(x)=e

, 即 f(x)=e-x-1.

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3.(文) ( 2 0 1 3 ·

江 西 六 校 联 考

1 )函 数 f(x)=a tn x+a tn x ,x∈{x| ( )

π π -2<x<0或0<x<2}的 大 致 图 象 为

[答案] A

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[解 析]

π π 0<x< 时 , f(x) > 0 , 排 除 B,D; - <x<0时, 2 2

f(x) < 0 ,排 除 C, 故 选 A.

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(理) ( 2 0 1 3 ·

x3 四 川 理 , 7)函数y= x 的 图 象 大 致 是 3 -1

(

)

[答案] C

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[解 析]

函 数 的 定 义 域 为 :

3x-1≠0,∴x≠0, 排 除 A;

-1 取x= - 1, 则 f(-1)=1 >0, 排 除 B; 3-1 当x→+∞时 , 3x-1比x3增 大 要 快 , x3 ∴ x 大 于 0而 且 趋 向 于 3 -1 0, 排 除 D, 故 选 C.

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4.( 2 0 1 3 · ( )

1 大 连 模 拟 )函 数 y=5 与 函 数 y= - x的 图 象 关 于 5
x

A.x轴 对 称 C. 原 点 对 称

B.y轴 对 称 D. 直 线 y=x对 称

[答案] C

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[解 析]
x

1 ∵y= - x= - 5-x, 5

1 ∴y=5 与y= - 5x的 图 象 关 于 原 点 对 称 .

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疑 难 误 区 1. 对 于 函 数

点 拨 警 示 y=|f(x)|与y=f(|x|)一 定 要 区 分 开 来 , 前 者 将 x轴 上 方 , 后 者 将 y=f(x)图 象 y

=f(x)位 于 x轴 下 方 的 图 象 翻 折 到 在y轴 左 侧 图 象 去 掉 作 右 侧 关 于

y轴 的 对 称 图 , 后 者 是 偶 函 数

而 前 者 y≥0.比 如 y=s n i | x|与y=s n i| x|.

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2. 由 函 数 y=f(x)的 图 象 变 换 成 为①→②时 , 由 y=g(x)的 图 象 变 换 成 的 变 换 且 顺 序 也 相 反 , 即 3. 在 研 究 幂 函 数 ②→①.

y=g(x)的 图 象 , 变 换 顺 序 y=f(x)的 图 象 则 是 相 反

y=xα的 图 象 、 性 质 时 , 应 考 虑

α的 三 种

情 况 : α>0,α=0和α< 0 . 幂 函 数 的 图 象 一 定 出 现 在 第 一 象 限 内 , 一 定 不 会 出 现 在 第 四 象 限 内 , 与 坐 标 轴 相 交 时 , 交 点 一 定 是 原 点 .

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高频考点通关

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第六节

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幂函数图象的分布规律

幂 函 数 y=xm,y=xn,y=xp的 图 象 如 图 所 示 , 则 ( )

A.m>n>p C.n>p>m

B.m>p>n D.p>n>m

[答案] C
第二章 第六节

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[分 析]

观 察 幂 函 数 的 图 象 , 一 定 要 先 区 分

α的 正 负 , 再

确 定 奇 偶 性 , 然 后 结 合 条 件 作 出 判 断 .

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[解 析]

由 图 象 都 过 原 点 知 , 指 数 都 大 于 α依 次 增 大 , 故 n>p>m.

0, 在( 1 1 ,)

点 右

侧 , 逆 时 针 方 向 ,

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[方 法 规 律 总 结

]

探 讨 幂 函 数 图 象 的 分 布 规 律 , 应 先 观 α>0, 否 则 α<0;α>0时 , 再 观 0<α<1, 下 凸 时 α>1; 最 后 由

察 图 象 是 否 过 原 点 , 过 原 点 时 察 图 象 是 上 凸 还 是 下 凸 , 上 凸 时 x>1时 , 逆 时 针 方 向

α的 值 依 次 增 大 得 出 结 论 .

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(文)函 数 y=x 的 图 象 是 (

1 3

)

[答案] B

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[解 析] 排 除 A.

当x>1时x

1 3

<x, 排 除 C、D, 当 0<x<1时x

1 3

>x,

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x+1 (理)函 数 f(x)= 图 象 的 对 称 中 心 为 x A.( 0 0 ,) C.( 1 0 ,) B.( 0 1 ,) D.( 1 1 ,)

(

)

[答案] B

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x+1 1 1 [解 析 ] f(x)= =1+ , 把 函 数 y= 的 图 象 向 上 平 移 x x x 个 单 位 , 即 得 函 数 f(x)的 图 象 . ( 0 0 ,) , 可 得 平 移 后 的 f(x)图 象 的 对 称

1

1 由y= 的 对 称 中 心 为 x 中 心 为 ( 0 1 ,) .

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幂函数的性质

(文)若(a+1 ) _ _ _ _ _ _ .
[答案]



1 3

< ( 3 -2a)



1 3

, 则 a的 取 值 范 围 是

2 3 (3,2)∪(-∞,-1)

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[解 析]

幂 函 数 y=x



1 3

在(0, + ∞)上 为 减 函 数 , 函 数 值 y< 0 .
? < 0 , ?a+1 ? ? 0 . ?3-2a>

y>0; 在 (-∞,0)上 也 是 减 函 数 , 函 数 值

∴有a+1 > 3 -2a>0或0>a+1 > 3 -2a或 3 <a<2或a<-1,

2 ∴ 3

2 3 即a的 取 值 范 围 为 (3,2)∪(-∞, - 1).

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[分 析]

利 用 幂 函 数 的 定 义 及 性 质 先 确 定

m的 值 , 然 后 再

解 关 于 a的 不 等 式 .

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[解 析]

解 法 1:∵f(x)是 幂 函 数 , 则

m2-m-1=1,

∴m=2或m= - 1, 又f(x)在(0, + ∞)上 是 减 函 数 , ∴m2-2m-3<0,∴-1<m<3,∴m=2.

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[失 误 与 防 范

] 幂 函 数 的 单 调 性 应 用 : 解 答 幂 函 数 型 不

等 式 问 题 要 注 意 其 分 段 单 调 特 性 , 还 要 注 意 变 量 分 别 在 两 个 单 调 区 间 上 的 情 形 , 如 本 题 中 , 讨 论 . , 应 分 三 种 情 形

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[方 法 规 律 总 结 数 的 图 象 与 性 质 .

]

1 1 1.重 点 掌 握 α= - 1,2, ,3, 时 幂 函 2 3

2. 由 幂 函 数 的 单 调 性 求 解 有 关 幂 函 数 的 不 等 式 问 题 时 , 要 注 意 分 类 讨 论 .

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(文) ( 2 0 1 2 ·

淮 南 模 拟 )当x∈(0, + ∞)时 , 幂 函 数 m的 值 满 足 ( B.m= -1 1+ 5 D.m≠ 2 )

y=(m2-

m-1)x-m-1为 减 函 数 , 则 实 数 A.m=2 C.m=2或m= -1

[答案] A

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[解 析]

∵函数y=(m2-m-1)x

-m-1

为 幂 函 数 ,

∴m2-m-1=1,∴m= - 1或2,∴y=x0或y=x-3.

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[答案]

f(x)=x

-3

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[解 析]

∵f(x)在(0, + ∞)上 是 减 函 数 ,

∴m2-6m+

5 < 0 ,∴1<m< 5 . ∵m∈Z,∴m=2或3或4. ∵f(x)是 奇 函 数 ,∴m2-6m+5应 为 奇 数 . 当m=2或4时 , m2-6m+5= - 3是 奇 数 ; 当m=3时 , m2-6m+5= - 4不 是 奇 数 ; ∴m=2或4,f(x)=x 3.


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函数图象与图象变换

(文) ( 2 0 1 3 · 图 象 是 ( )

潍 坊 期 末 )函数y=xs n i x在[-π,π]上 的

[答案] A

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[分 析]

本 题 考 查 函 数 图 象 的 判 断 , 解 题 的 关 键 是 通 过 ), 代 入 特 殊 点 验

研 究 函 数 y=xs n i x的 性 质 (单 调 性 、 奇 偶 性 证 , 利 用 排 除 法 确 定 函 数 的 图 象 .

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[解 析]

容 易 判 断 函 数

y=xs n i x为 偶 函 数 , 可 排 除

D.当

π 0<x< 2 时 , y=xs n i x>0,当x=π时 , y=0, 可 排 除 B,C, 故 选 A.

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(理) ( 2 0 1 3 · ( )

山 东 理 , 8)函数y=xc o s x+s n i x的 图 象 大 致 为

[答案] D

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[解 析]

因f(-x)= - xc · o s (

-x)+s n i( -x)=-(xc o s x+ π B,又x∈(0, 2 ),

s n i x)= - f(x), 故 该 函 数 为 奇 函 数 , 排 除

y>0, 排 除 C, 而 x=π时,y= - π, 排 除 A, 故 选 D.

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[方 法 规 律 总 结

]

1.描 点 法 作 图 的 步 骤 ②化 简 函 数 解 析 式 ; ③讨 论 函 数 );④列 对

①确 定 函 数 的 定 义 域 ;

的 性 质 (奇 偶 性 、 单 调 性 、 周 期 性 、 对 称 性 、 值 域 应 值 表 (尤 其 注 意 特 殊 点 , 如 最 大 值 、 最 小 值 、 与 坐 标 轴 的 交 点);⑤描 点 , 连 线 .

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2. 识 图 、 用 图 识 图 要 首 先 把 握 函 数 的 定 义 域 、 值 域 、 单 调 区 间 、 奇 偶 性 或 图 象 的 对 称 特 征 、 周 期 性 、 与 坐 标 轴 的 交 点 , 另 外 有 无 渐 近 线 , 正 、 负 值 区 间 等 都 是 识 图 的 重 要 方 面 , 要 注 意 函

数 解 析 式 中 含 参 数 时 , 怎 样 由 图 象 提 供 信 息 来 确 定 这 些 参 数 .

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( 1 ) 知图选式 ①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值 域; ②从图象的变化趋势,观察函数的单调性; ③从图象的对称性特征,观察函数的奇偶性; ④从图象的循环往复,观察函数的周期性. 利用上述方法,排除、筛选错误的选项. ( 2 ) 知式选图为上述各步的逆过程.

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(文) ( 2 0 1 3 ·

福 州 模 拟 )函数y=g l| x-1|的 图 象 是 (

)

[答案] A

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[解 析]

由 解 析 式 可 知 ,

x=2时 , y=0, 排 除 B、D;x=

-1时 , 函 数 有 意 义 排 除

C, 故 选 A.

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(理) ( 2 0 1 3 · 是( )

江 南 十 校 联 考

)函 数 y=o lg 2(|x|+1)的 图 象 大 致

[答案] B

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[解 析]

当x>0时 , y=o lg 2(x+1), 先 画 出 y=o lg 2x的 图 1个 单 位 , 最 后 作 出 关 于 B. y轴 对 称 的 图

象 , 再 将 图 象 向 左 平 移 象 , 得 与 之 相 符 的 图 象 为

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破解难点 数形结合的思想

2 ? ? , x≥2, x 已 知 函 数 f(x)= ? 3 ? 2 . ??x-1? , x< 方 程 f(x)=k有 两 个 不 同 的 实 数 根 , 则 实 数 _ _ _ _ _ _ _ _ .

若 关 于 x的

k的 取 值 范 围 是

[答案] (0,1)

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[分 析]

在 同 一 坐 标 系 中 作 出 函 数

2 y= (x≥2)和y=(x- x k变 化 过 程 中 直 线 y=k与y

1)3(x< 2 ) 的图 象 , 观 察 图 象 , 考 虑 在 =f(x)图 象 的 交 点 个 数 即 可 .

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[解 析]

利 用 图 象 ,

f(x)=(x-1)3的 图 象 可 以 看 作 是 2 f(x)= x 可 以 看 作 是

y=x3 1 y= x 的

的 图 象 向 右 平 移 一 个 单 位 得 到 , 而 纵 坐 标 伸 长 2倍 得 到 , 所 以 其 图 象 如 图 .

所 以 直 线 y=k与 其 有 两 个 不 同 交 点 时 ,

0<k< 1 .

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[方 法 规 律 总 结

]

数 形 结 合 思 想 在 讨 论 方 程 、 不 等 式 解

的 个 数 中 的 应 用 : 讨 论 方 程 、 不 等 式 的 解 的 个 数 , 或 有 解 时 字 母 的 取 值 范 围 决 . 问 题 , 常 通 过 构 造 函 数 , 利 用 数 形 结 合 法 解

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g l| x|,0<x≤10, ? ? 已 知 函 数 f(x)=? 1 若a,b,c互 不 相 等 , - x+6,x> 1 0 . ? ? 2 且f(a)=f(b)=f(c), 则a b c 的 取 值 范 围 是 A.( 1 1 ,0 ) C.( 1 0 1 ,2 ) B.( 5 6 ,) D.( 2 0 2 ,4 ) ( )

[答案] C

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[解 析]

画 出 函 数 的 图 象 , 如 图 所 示 , 不 妨 设

a<b<c, 因 . 所 以 abc

为f(a)=f(b)=f(c), 所 以 ab=1,c的 范 围 是 ( 1 0 1 ,2 ) 的 范 围 是 ( 1 0 1 ,2 ) .

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