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2014高考数学考前综合测试2


考前综合测试二
(时间:120 分钟 满分:150 分) 温馨提示:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其他题为必考题.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(201

3· 广东省肇庆市二模)若 a+bi=(1+i)(2-i)(i 是虚数单位,a,b 是实数),则 z =a-bi 在复平面内对应的点是( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

解析:∵a,b∈R,a+bi=(1+i)(2-i)=3+i, ∴a=3,b=1.则 z=a-bi=3-i 对应的点在第四象限. 答案:D 2.(2013· 汕头市二模)已知集合 M={x|y= 3-x2},N={x|-3≤x≤1},且 M,N 都是 全集 U 的子集,则韦恩图中阴影部分表示的集合为( )

A.{x|- 3≤x≤1} C.{x|-3≤x<- 3} 解析:M={x|y=

B.{x|-3≤x≤1} D.{x|1≤x≤ 3}

3-x2}={x|- 3≤x≤ 3},N={x|-3≤x≤1},韦恩图中阴影部分

表示的集合为 N∩(?UM)={x|-3≤x≤1}∩{x|x<- 3或 x> 3}={x|-3≤x<- 3}. 答案:C → 3. (2013· 揭阳市二模)已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3), 若AB=3a, 则点 B 的坐标为( A.(7,4) C.(5,4) 解析:∵A(-1,5),a=(2,3), → ∴AB=3a=(6,9). → → → 又∵AB=OB-OA, → → → ∴OB=AB+OA=(6,9)+(-1,5)=(5,14). 答案:D
1

)

B.(7,14) D.(5,14)

4.(2013· 东莞市模拟)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所 示,则该几何体的体积为( )

A.9 C.11

B.10 23 D. 2

1 解析:该几何体是由一个直四棱柱截去一个三棱锥而得到的,其体积为 V=2×2×3- 2 1 ×2×1×3× =11. 3 答案:C 5.(2013· 东北三省四市联考)执行如图所示的程序框图,若输出的 k =5,则输入的整数 p 的最大值为( A.7 C.31


) B.15 D.63

解析:S=0,k=1;S=0+21 1=1,k=2; S=1+22 1=3,k=3; S=3+23 1=7,k=4; S=2+24 1=15,k=5. 终止循环,输出 k=5.此时输入的整数 p 的最大值为 15. 答案:B π f′?0? 6.(2013· 山西师大附中 4 月月考)设函数 f(x)=(x+a)n,其中 n=6∫20cosxdx, = f?0? -3,则 f(x)的展开式中 x4 的系数为( A.-360 C.-60 π π 解析:∵n=6∫20cosxdx=6sinx | 0=6, 2 ∴f(x)=(x+a)n=(x+a)6. ∴f′(x)=6(x+a)5. ) B.360 D.60
- - -

2



f′?0? 6a5 6 = 6 = =-3, a a f?0?

∴a=-2,∴(x-2)6 的展开式中 x4 的系数为 C4C2(-2)2=15×4=60. 6 2 答案:D 7.(2013· 马鞍山市质检二)已知函数 f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果 不等式 f(a)≤f(1)恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1] C.[0,1] 解析:依题可得|a|≤1,解得-1≤a≤1. 答案:D )

B.[0,+∞) D.[-1,1]

?a1 a2?=a a -a a .若将函数 f(x)= 8.(2013· 河南十大名校四模)定义行列式运算:? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?-sinx cosx? ? ?的图象向 - 3 ? ?1
左平移 m(m>0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则 m 的最小值是( 2π A. 3 π C. 6 π B. 3 5 D. π 6 π 3 1 ? sinx- cosx =2sin?x-6?.依题意 ? ? 2 ?2 ? )

解析:由行列式的运算,得 f(x)= 3sinx-cosx=2?

π π 得 f(m+x)=2sin?x+m-6?为奇函数,∵m>0,∴m 的最小值为 . ? ? 6 答案:C x2 y2 9.(2013· 黄山市质检二)已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点, a b |PF1|2 P 为双曲线右支上的一点,若 =8a,则双曲线的离心率的取值范围是( |PF2| A.(1,3) C.(1,3] B.(3,+∞) D.[3,+∞) )

解析:由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|2=8a|PF2|,解得|PF1|=4a,|PF2| =2a.在△F1PF2 中,设∠F1PF2=θ,则 0<θ≤π,-1≤cosθ<1.由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2 c2 +|PF2|2-2· 1|· 2|· |PF |PF cosθ,即 4c2=16a2+4a2-2· 2acosθ,∵e2= 2,代入上式并整理, 4a· a 得 e2=5-4cosθ.∴1<e2≤9,1<e≤3. 答案:C

3

?3x-y-6≤0, ? 10.(2013· 河南三市调研)设实数 x,y 满足约束条件:?x-y+2≥0, ?x≥0,y≥0, ?
a 2 b2 =ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12,则 + 的最小值为( 9 4 1 A. 2 C.1 解析:画出可行域如图所示. 13 B. 25 D.2 )

若目标函数 z

?3x-y-6=0, ? 解方程组? ? ?x-y+2=0, ?x=4, ? 得? ? ?y=6.

∵a>0,b>0, ∴当直线 z=ax+by 过点(4,6)时,z 取得最大值 12,因此,得 4a+6b=12,即 2a+3b
2 2 2 a2 b2 ?2a? +?3b? 1 ?2a+3b? 1 a2 b2 1 =6,则 + = ≥ × = .即 + 的最小值为 . 9 4 36 36 2 2 9 4 2

答案:A 11. (2013· 吉林省四校联考)已知 f(x)=ax(a>0 且 a≠1), 1(x)是 f(x)的反函数, f 1(2)<0, f 若 则 f 1(x+1)的图象大致是(
- - -

)

解析:∵f(x)=ax,∴f 1(x)=logax.又 f 1(2)=loga2<0,∴0<a<1,∴f 1(x+1)=loga(x+ 1),其图象应为 A. 答案:A 12.(2013· 宁波市二模)设函数 f(x)的导函数为 f′(x),对任意 x∈R 都有 f′(x)>f(x)成立, 则( ) A.3f(ln 2)>2f(ln 3) C.3f(ln 2)<2f(ln 3) B.3f(ln 2)=2f(ln 3) D.3f(ln 2)与 2f(ln 3)的大小不确定







解析:特例法.设 f(x)=e3x,则 f′(x)=3ex,则对任意 x∈R,都有 f′(x)>f(x)成立.∵
4

3f(ln 2)=3·3ln 2=3×23=24.2f(ln 3)=2·3ln 3=2×33=54,∴3f(ln 2)<2f(ln 3). e e 答案:C

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) π 2 13.(2013· 杭州市质检二)已知 cosx= (x∈R),则 cos?x-3?=________. ? ? 3 2 5 解析:∵x∈R,cosx= ,∴sinx=± . 3 3 π π π 2 1 5 3 1 15 ∴cos?x-3?=cosxcos +sinxsin = × ± × = ± . ? ? 3 3 3 2 3 2 3 6 1 15 答案: ± 3 6 14.(2013· 陕西五校三模)连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,若记向量 a=(m,n) 与向量 b=(1,-2)的夹角为 θ,则 θ 为锐角的概率是________. 解析:∵a=(m,n),b=(1,-2), ∴a· b=m-2n. a· b ∵θ 为锐角,∴cosθ= >0,即 m>2n,连掷两次骰子,共有基本事件 36 个,其中 |a|· |b| 6 1 m>2n 的有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2)共 6 个.故所求的概率为 P= = . 36 6 1 答案: 6 15.(2013· 云南省二模)一个射击训练,某小组的成绩只有 7 环、8 环、9 环三种情况, 且该小组的平均成绩为 8.15 环,设该小组成绩为 7 环的有 x 人,成绩为 8 环、9 环的人数情 况见下表: 环数(环) 人数(人) 那么 x=________. 8×7+9×8+7x 解析:依题意得 =8.15,解得 x=5. 7+8+x 答案:5 16.(2013· 江西省十二县联考)观察下列等式:
1 5 C5+C5=23-2, 1 5 9 C9+C9+C9=27+23,

8 7

9 8

5

1 C13+C5 +C9 +C13=211-25, 13 13 13 1 C17+C5 +C9 +C13+C17=215+27,?? 17 17 17 17 1 由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N*,C4n+1 +C5 +1+C9 +1+?+C4n+1= 4n 4n 4n 1


________. 解析:观察所给等式,不难发现:
1 C4n+1+C5 +1+C9 +1+?+C4n+1 4n 4n 4n 1


=24n 1+(-1)n22n 1. 验证知,当 n=1,2,3,4 时,适合所给等式. 答案:24n 1+(-1)n22n
- -1





三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) x 17. (本小题满分 12 分)(2013· 河南三市三模)已知函数 f(x)= , 数列{an}满足 a1=1, 3x+1 an+1=f(an)(n∈N*).
?1? (1)求证:数列?a ?是等差数列; ? n?

(2)记 Sn=a1a2+a2a3+?+anan+1,求 Sn. 解:(1)证明:∵an+1=f(an)= ∴ an , 3an+1

3an+1 1 1 1 1 = =3+ , - =3. an an an+1 an an+1
? n?

?1? ∴数列?a ?是以 1 为首项,3 为公差的等差数列.

1 1 (2)由(1)得 =1+3(n-1)=3n-2∴an= . an 3n-2 ∵an·n+1= a 1 ? 1 1 1? 1 - · = · , 3n-2 3n+1 3 ?3n-2 3n+1?

1 1 1 1 1 1 ∴Sn= ?1-4+4-7+?+3n-2-3n+1? 3? ? 1 1 n = ?1-3n+1?= 3? ? 3n+1. 18.(本小题满分 12 分)(2013· 天津一中四次月考)为加强大学生实践、创新能力和团队 精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分 为预赛和决赛两个阶段, 参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序. 通过预赛, 选拔出甲、 乙等五支队伍参加决赛. (1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 X,求 X 的分布列和数学期望. 2×3! 1 解:(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A,则 P(A)= = . 10 5!
6

1 ∴甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 . 10 (2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3. 2×4! 2 3×2×3! 3 P(X=0)= = ,P(X=1)= = , 5 10 5! 5! 2×2!×3×2! 1 1 P(X=2)= = ,(或 P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)= .) 5 5 5! 2×3! 1 P(X=3)= = . 10 5! 随机变量 X 的分布列为: X P 0 2 5 1 3 10 2 1 5 3 1 10

2 3 1 1 ∵E(X)=0× +1× +2× +3× =1, 5 10 5 10 ∴随机变量 X 的数学期望为 1. 19.(本小题满分 12 分)(2013· 山东省济宁市联考)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有 → → 棱长都为 2,CD=λCC1(λ∈R).

1 (1)当 λ= 时,求证 AB1⊥平面 A1BD; 2 π (2)当二面角 A-A1D-B 的大小为 时,求实数 λ 的值. 3 解:(1)证明:取 BC 的中点为 O,连接 AO. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 CBB1C1,△ABC 为正三角形,∴AO⊥ BC,故 AO⊥平面 CBB1C1. 以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图所示. 则 A(0,0, 3),B1(1,2,0), D(-1,1,0),A1(0,2, 3), B(1,0,0). → → ∴AB1=(1,2,- 3),DA1 → =(1,1, 3),DB=(2,-1,0), → → → → ∵AB1· 1=1+2-3=0,AB1· =2-2+0=0, DA DB
7

∴AB1⊥DA1,AB1⊥DB.又 DA1∩DB=D, ∴AB1⊥平面 A1BD. → (2)由(1)得 D(-1,2λ,0),∴DA1=(1,2-2λ, 3). → → DB=(2,-2λ,0),DA=(1,-2λ, 3).

?m·→1=0, ? DA → → 设平面 A1BD 的一个法向量为 m=(x,y,z),则 m⊥DA,m⊥DB,得? → ?m· =0, ? DB ?x+?2-2λ?y+ 3z=0, 即? ?2x-2λy=0.
λ-2? ? 令 x=λ,得 m=?λ,1, ?. 3? ? 设平面 AA1D 的法向量为 n=(x,y,z),

?n·→1=0, ? DA → → 则由 n⊥DA1,n⊥DA,得? → ? DA ?n· =0, ?x+?2-2λ?y+ 3z=0, 即? ?x-2λy+ 3z=0,
令 x= 3,得 n=( 3,0,-1). m· n 由 cos〈m,n〉= = |m|· |n| λ-2 3 1 = , 2 2 ?λ-2? λ2+1+ ×2 3 3λ-

得 4(λ+1)2=3(λ2+1)+(λ-2)2, 1 1 解得 λ= .即 λ 的值为 . 4 4 20. (本小题满分 12 分)(2013· 南昌市二模)已知函数 f(x)=ln x, 若存在 g(x)使得 g(x)≤f(x) 恒成立,则称 g(x)是 f(x)的一个“下界函数”. t (1)如果函数 g(x)= -ln x(t 为实数)为 f(x)的一个“下界函数”,求 t 的取值范围; x 1 2 (2)设函数 F(x)=f(x)- x+ ,试问函数 F(x)是否存在零点,若存在,求出零点个数; e ex 若不存在,请说明理由. t 解:(1)依题意知 -ln x≤ln x 恒成立, x ∵x>0,t≤2xln x,恒成立. 令 h(x)=2xln x,则 h′(x)=2(1+ln x). 1 1 1 当 x∈?0,e?时,h′(x)<0,∴h(x)在?0,e?上是减函数;当 x∈?e,+∞?时,h′(x)>0, ? ? ? ? ? ?
8

1 ∴h(x)在?e,+∞?上是增函数. ? ? 1 2 2 ∴h(x)min=h?e?=- ,∴t≤- . ? ? e e 2 1 (2)由(1)知,2xln x≥- ,∴ln x≥- . e ex 1 2 F(x)=f(x)- x+ , e ex 1 2 1 1 1 1 x ∴F(x)=ln x- x+ ≥ - x= ?e-ex?. ? e ex ex e x? 1 x - 令 G(x)= - x,则 G′(x)=e x(x-1). e e ∴当 x∈(0,1)时,G′(x)<0, ∴G(x)在(0,1)上是减函数,x∈(1,+∞)时,G′(x)>0, ∴G(x)在(1,+∞)上是增函数. ∴G(x)≥G(1)=0. 1 2 1 1 1 1 x ∴F(x)=ln x- x+ ≥ - x= ?e-ex?≥0. ? e ex ex e x? ∵①②中等号取到的条件不同, ∴F(x)>0,∴函数 F(x)不存在零点. 21.(本小题满分 12 分)(2013· 浙江六市六校联考)如图,已知动圆 M 过定点 F(1,0)且与 y 轴相切,点 F 关于圆心 M 的对称点为 F′,点 F′的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)一条直线 AB 经过点 F,且交曲线 C 于 A、B 两点,点 C 为直线 x=-1 上的动点. ①求证:∠ACB 不可能是钝角; ②是否存在这样的点 C,使得△ABC 是正三角形?若存在,求点 C 的坐标;否则,说 明理由. 解:(1)设 F′(x,y),∵点 F(1,0)在圆 M 上,且点 F 关于圆心 M 的对称点为 F′, 则 M? x+1 y ? ? 2 ,2?, ② ①

而|FF′|= ?x-1?2+y2, 则 ?x-1?2+y2 |x+1| = , 2 2

化简得:y2=4x,∴曲线 C 的方程为 y2=4x. (2)①证明:设直线 AB:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),C(-1,n),
? ?x=my+1, 由? 2 得 y2-4my-4=0. ? ?y =4x, 9

则 y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=4m2+2,x1x2=1. → → CA=(x1+1,y1-n),CB=(x2+1,y2-n), → → CA· =x1x2+x1+x2+1+y1y2-n(y1+y2)+n2=(2m-n)2≥0, CB ∴∠ACB 不可能是钝角. ②假设存在这样的点 C,由①知 M(2m2+1,2m), KCM· AB= K 2m-n 1 · =-1, 2m2+2 m

则 n=2m3+4m,则 C(-1,2m3+4m). 则|CM|= =2(m2+1) 而|AB|= ?2m2+2?2+?2m3+2m?2 m2+1. 1+m2· 1-y2|=4(m2+1), |y

∵△ABC 是正三角形,且 M 为 AB 的中点, ∴|CM|= 3 |AB|,解得 m=± 2. 2

∴存在点 C(-1,± 2). 8 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答 时应写清题号. (2013· 太原五中 4 月月考) 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,PA 是过点 A 的直线, 且∠PAC=∠ABC. (1)求证:PA 是⊙O 的切线; (2)如果弦 CD 交 AB 于点 E,AC=8,CE∶ED=6∶5,AE∶EB=2∶ 3,求直径 AB 的长. 解:(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90° ,∴∠BAC+∠ABC=90° . 又∵∠PAC=∠ABC, ∴∠PAC+∠BAC=90° , 即∠PAB=90° ,∴BA⊥PA, ∴PA 是⊙O 的切线. (2)设 AE=2m,DE=5n,则 EB=3m,CE=6n. 由相交弦定理,得 AE· EB=CE· ED, ∴6m2=30n2,∴m= 5n. BD DE 连接 AD,BD,由△AEC∽△DEB,得 = , AC AE
10

DE· AC 5n×8 ∴BD= = =4 5. AE 2 5n BC BE 由△AED∽△CEB,得 = , AD DE BC· DE 5 ∴AD= = BC. BE 3 由 AC2+BC2=AD2+BD2,解得 BC=6. ∴AB= AC2+BC2=10.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程

?x=- 5+ 22t, 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,直线 l 的参数方程是:? 2 ?y= 5+ 2 t,
为参数). (1)求曲线 C 的直角坐标方程,直线 l 的普通方程; 1 (2)将曲线 C 横坐标缩短为原来的 ,再向左平移 1 个 2 单位,得到曲线 C1,求曲线 C1 上的点到直线 l 距离的最小值. 解:(1)曲线 C 的方程为(x-2)2+y2=4, 直线 l 的方程为 x-y+2 5=0.

(t

1 (2)将曲线 C 的横坐标缩短为原来的 ,再向左平移 1 个单位,得到曲线 C1 的方程为[2(x 2 +1)-2]2+y2=4,即 4x2+y2=4. 设 曲 线 C1 上 任 一 点 (cosθ , 2sinθ) , 到 直 线 l 的 距 离 为 d = 2 5+ 5cos?θ+φ? 2 |cosθ-2sinθ+2 5| = 2

?其中cosφ= 1 ?,其最小值为 10. 2 5? ?
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2(a>0). (1)当 a=1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,不等式为|x-2|+|x-1|≥2.
? ? ? ?x≤1, ?1<x<2, ?x≥2, 1 它同解于? 或? 或? 解得 x≤ 2 ?-x+2+1-x≥2, ?-x+2+x-1≥2, ?x-2+x-1≥2. ? ? ?

5 或 x≥ . 2
11

? 1 5 ? ∴不等式的解集为?x?x≤2或x≥2 ?. ? ? ?

(2)∵|ax-2|+|ax-a|≥|a-2|, ∴原不等式的解集为 R 等价于|a-2|≥2, 解得 a≥4 或 a≤0. 又 a>0,∴a≥4.

12


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