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2012高考试题分类汇编:4:三角函数


2012 高考试题分类汇编:4:三角函数
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 (A) 向左平移 1 个单位 (C) 向左平移 【答案】C 【解析】 y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+1,平移 (B) 向右平移 1 个单位 (

D) 向右平移

1 个单位 2

1 个单位 2 1 。 2

2. 【2012 高考新课标文 9】 已知 ω>0,0 ? ? ? ? , 直线 x ? 图像的两条相邻的对称轴,则 φ= π (A)4 【答案】A 【解析】因为 x ? π ( B) 3 π (C)2 和x? 3π (D) 4

?
4

和x ?

5? 是函数 f(x)=sin(ωx+φ) 4

?

4 T 2? ? ? ? , T ? 2? .又 T ? ? 2? ,所以 ? ? 1 ,所以 f ( x) ? sin(x ? ? ) ,因为 x ? 是函数 2 ? 4

5? 5? ? T ? ? ,即 是函数图象中相邻的对称轴,所以 4 4 4 2

的对称轴所以 此时 x ?

?

5? 也为对称轴,所以选 A. 4

4

?? ?

?

2

? k? ,所以 ? ?

?

4

? k? ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?

4

,检验知

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 3.【2012 高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

(A) 2 ? 3 【答案】A

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

【 解 析 】 因 为 0? x?9 , 所 以 0?

?
6

x?

9? ? ? ? 9? ? ? , ? ? x? ? , 即 6 3 6 3 6 3

?

?
3

?

?
6

x?
?

?
3

?

7? ? ? ? ? ( ) ? ? 3 ,当 , 所 以 当 x ? ? ? 时 , 最 小 值 为 2s i n? 6 6 3 3 3

?
6

x?

?
3

?
2

时,最大值为 2 sin

?
2

? 2 ,所以最大值与最小值之和为 2 ? 3 ,选 A. x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? 3 3? 5? (C) (D) 2 3

4.【2012 高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin (A)

? 2

(B)

2? 3

【答案】C
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x ?? x ? x ? ? sin( ? ) ,因为函数 f ( x) ? sin( ? ) 为偶函数,所以 3 3 3 3 3 ? ? 3? 3? ? ? k? ,所以 ? ? ? 3k? , k ? Z ,又 ? ? [0,2? ] ,所以当 k ? 0 时, ? ? ,选 C. 3 2 2 2 3 5.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 sin 2? ? 5 24 12 12 24 (A) ? (B) ? (C) (D) 25 25 25 25
【解析】函数 f ( x) ? sin 【答案】B
2 【解析】因为 ? 为第二象限,所以 cos ? ? 0 ,即 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ?

4 ,所以 5

4 3 12 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ? ? ? ? ,选 B. 5 5 25
6.【2012 高考重庆文 5】

sin 47 ? sin17 cos 30 cos17

(A) ?

1 1 3 3 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

【答案】C

【解析】

sin 47 ? sin17 cos30 sin(30 ? 17 ) ? sin17 cos30 ? cos17 cos17

?

sin 30 cos17 ? cos 30 sin17 ? sin17 cos 30 sin 30 cos17 1 ? ? sin 30 ? ,选 C. cos17 cos17 2

7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【答案】A 【解析】由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,即 解析式为 y=cosx+1,向左平移一个单位为 y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos(x-1),

第 2 页 共 17 页

利用特殊点 ?

?? ? ?? ? , 0 ? 变为 ? ? 1, 0 ? ,选 A. ?2 ? ?2 ?


8. 【2012 高考上海文 17】 在△ ABC 中, 若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C , 则△ ABC 的形状是 ( A、钝角三角形 【答案】A B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

【解析】根据正弦定理可知由 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C , 可知 a 2 ? b 2 ? c 2 ,在三角形中

a2 ? b2 ? c2 co sC ? ? 0 ,所以 C 为钝角,三角形为钝角三角形,选 A. 2ab
9. 【2012 高考四川文 5】 如图, 正方形 ABCD 的边长为 1 , 延长 BA 至 E , 使 AE ? 1 , 连接 EC 、
D C

ED 则 sin ?CED ? (
(1)

) B、

E

A

B

3 10 10

10 10

C、

5 10

D、

5 15

【答案】B 【解析】 EB ? EA ? AB ? 2 ,

D

C

EC ? EB ? BC ? 4 ?1 ? 5 ,
2 2

?EDC ? ?EDA ? ?ADC ?
由正弦定理得

?
4

?

?
2

?

3? , 4

sin ?CED DC 1 5 ? ? ? , sin ?EDC CE 5 5
5 5 3? 10 gsin ?EDC ? gsin ? . 5 5 4 10

E

A

B

所以 sin ?CED ?

10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = (A) ? 1 【答案】A (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

第 3 页 共 17 页

【解析】

sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1, 故选 A

【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题。 11.【2012 高考江西文 4】若 A. -

3 4

B.

3 4

C. -

4 3

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 4 D. 3

【答案】B

s i n? ? cos? 1 ? , 得 2( si n ? ? cos ? ) ? si n? ? c o s ? , 即 t an? ? ?3 。 又 s i n? ? cos? 2 2 t an? ?6 6 3 t an2? ? ? ? ? ,选 B. 2 1 ? t an ? 1 ? 9 8 4 ? 1 2 12.【2012 高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin ( x ? ) 若 a=f(lg5) , b ? f (lg ) 则 4 5
【解析】由 A.a+b=0 【答案】C B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

1 ? c o 2s (x ? ) nx 4 ?1?s i2 【 解 析 】 先 化 简 函 数 f ( x) ? s i 2n , 所 以 (x ? ) ? 4 2 2 2 1 sin (2 lg ) 1 sin (2 lg 5) 1 1 (2 lg 5) 5 ? 1 ? sin a ? f (lg 5) ? ? , b ? f (lg ) ? ? , 所 以 2 2 5 2 2 2 2 1 sin (2 lg 5) 1 sin (2 lg 5) a?b ? ? ? ? ? 1 ,选 C。 2 2 2 2

?

?

13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于

A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【答案】B
2 2 2 【解析】设 AB ? c ,在△ABC 中,由余弦定理知 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B , 2 2 即 7 ? c ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? cos 60 , c ? 2c ? 3 ? 0,即(c -3)(c ? 1)=0.又 c ? 0,? c ? 3.

设 BC 边上的高等于 h ,由三角形面积公式 S

ABC

?

1 1 AB BC sin B ? BC h ,知 2 2

1 1 3 3 ? 3 ? 2 ? sin 60 ? ? 2 ? h ,解得 h ? . 2 2 2
【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容. 14.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为 连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为
第 4 页 共 17 页

A.4∶3∶2 【答案】D

B.5∶6∶7

C.5∶4∶3

D.6∶5∶4

【 解 析 】 因 为 a, b, c 为 连 续 的 三 个 正 整 数 , 且 A ? B ? C , 可 得 a ? b ? c , 所 以

a ? c ? 2, b ? c ? 1 ①;又因为已知 3b ? 20a cos A ,所以 cos A ?

3b ② . 由余弦定理可得 20a

cos A ?

2 2 2 b2 ? c 2 ? a 2 3b b ? c ? a ? ③,则由②③可得 ④,联立①④,得 20 a 2 bc 2bc

7c 2 ? 1 c 3? 60 ? ,解得 0 c ? 4或c ? ?

15 (舍去) ,则 a ? 6 , b ? 5 .故由正弦定理可得, 7

sin A : sin B : sinC ? a :b :c ? 6 : 5 : 4.故应选 D.
【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正 弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余 弦定理与和差角公式的结合应用. 15.【2012 高考广东文 6】在△ ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? A. 4 3 【答案】B B. 2 3 C.

3

D.

3 2

BC ? sin B BC AC ? ? 【解析】根据正弦定理, ,则 AC ? sin A sin B sin A

3 2? 3 2

2 2 ?2 3.

16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x=

? 4

B.x=

? 2

C.x=-

? 4

? )的图像的一条对称轴是 4 ? D.x=2

【答案】C. 【解析】因为 y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ?

?
2

, k ? Z ,所以 f ( x ) ? sin( x ?

?
4

) 的对称轴为

x?
C.

?
4

? k? ?

?
2

, k ? Z ,即 x ? k? ?

? 3? , k ? Z ,当 k ? ?1 时,一条对称轴是 x ? ? .故选 4 4
?

17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ? x (其中 ? >0)的图像向右平移 个单位长度,
4

所得图像经过点( (A) 【答案】D

3? 4

,0) ,则 ? 的最小值是 (B)1 C)
5 3

1 3

(D)2

第 5 页 共 17 页

? ? ? ?? ) ,因为 得到函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? sin ? ( x ? ) ? sin(?x ? 4 4 4 4 3? 3? ? 3? ? ?? ,0 ) , 所 以 s i n ?( ? ) ? 0 , 即 ?( ? ) ? ? k? , 所 以 此时函数过点 ( 4 4 4 4 4 2
【解析】函数向右平移

? ? 2k , k ? Z ,所以 ? 的最小值为 2,选 D.

二、填空题
? ?? 4 ? 18. 【2012 高考江苏 11】 (5 分) 设 ? 为锐角, 若 cos ? ? ? ? ? , 则 sin( 2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
【答案】

17 2。 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?

2? 。 6 3 =

?? 4 ?? 3 ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。∴ 6 5 6? 5 ? ? ? ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2 = 。 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? = 2。 25 2 25 2 50

19.【2102 高考北京文 11】在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A= 【答案】 90 ? 【解析】在△ABC 中,利用正弦定理

? ,则∠C 的大小为_________。 3

a b 3 3 1 ? ,可得 ? ? sin B ? ,所以 ? sin B sin A sin B 2 sin 3

B ? 30? 。再利用三角形内角和 180 ? ,可得 ?C ? 90? .
20.【2102 高考福建文 13】在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°, BC ? 3 ,

则 AC=_______.
【答案】 2 .
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AC BC BC ? sin B ? ? 【解析】由正弦定理得 ,所以 AC ? sin B sin A sin A

3? 3 2

2 2 ? 2.

21. 【 2012 高 考 全 国 文 15 】 当 函 数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取 得 最 大 值 时 ,

x ? ___________. 5?
【答案】

6

【 解 析 】 函 数 为 y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ?

?
3

) , 当 0 ? x ? 2? 时 ,

?

?
3

? x? 5? . 6

?
3

?

5? ? ? 5? ,由三角函数图象可知,当 x ? ? ,即 x ? 时取得最大值,所以 3 3 2 6

x?

22. 【 2012 高 考 重 庆 文 13 】 设 △ ABC 的 内 角 A、B、C

的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且

a =1, b=2, c o s C?
【答案】

1 ,则 sin B ? 4

15 4
1 ? 4 ,所以 c ? 2 。所以 4

2 2 2 【解析】由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ?

1 15 . b ? c, B ? C ,即 sin B ? sin C ? 1 ? ( ) 2 ? 4 4
23.【2012 高考上海文 3】函数 f ( x) ? 【答案】 ? 【解析】函数 f ( x) ? sin x cos x ? (?2) ? 2 ? 周期为 ? 。

sin x 2 的最小正周期是 ?1 cos x
1 2? sin 2 x ,周期 T ? ? ? ,即函数 f ( x) 的 2 2

24.【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 , B=

? ,c=2 3 ,则 b= 6

.

【答案】2.

【解析】由余弦定理知 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 4 ? 12 ? 2 ? 2 ? 2 3 ?
第 7 页 共 17 页

3 ? 4 ,? b ? 2 . 2

25.【2012 高考江西文 15】下图是某算法的程序框图,则程序运行后输入的结果是_________。

【答案】3 【解析】第一次循环有 a ? 1, T ? 1, k ? 2 ,第二次循环有 a ? 0, T ? 1, k ? 3 ,第三次循环有

a ? 0, T ? 1, k ? 4 ,第四次循环有 a ? 1, T ? 2, k ? 5 ,第五次循环有 a ? 1, T ? 3, k ? 6 ,此
时不满足条件,输出 T ? 3 ,

三、解答题
26.【2012 高考浙江文 18】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,

b,c,且 bsinA= 3 acosB。
(1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【答案】 【解析】 (1)

bsinA= 3 acosB , 由 正 弦 定 理 可 得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 即 得

tanB ?
(2)

3,? B ?

?
3

.

2 2 2 sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 由 余 弦 定 理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,

9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

?
3

,解得 a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .

27.【2012 高考安徽文 16】 (本小题满分 12 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有

2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。 【答案】 【解析】

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28.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 【答案】 (I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

29.【2012 高考湖南文 18】 (本小题满分 12 分)

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已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

【答案】

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 又 0 ? ? ? ,? 即? = . 2 6 6 3 6 6
【解析】 (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2( 又点 (0 , 1 )在 函 数 图 像 上 , 所 以 A sin

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6

?

6

? 1, A ? 2 , 故 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 为

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ? ? ?
? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? , k ? z. 12 12 ? ? ?
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期
第 10 页 共 17 页

11? 5? 2? T ? 2( ? ) ? ? , 从而求得 ? ? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A , 从而求出 ( f x) 12 12 T
的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得. .30【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? cos

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10

命题立意:本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识, 考查基本运算能力以及化归与转化的数学思想. 【解析】

31.【2012 高考广东文 16】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos ? (1)求 A 的值; (2)设 ? ? ? ? ?0,

?x ?? ? ? , x ? R ,且 ?4 6?

?? ? f ? ?? 2 ?3?

4 ? 30 ? ? ?? , f ? 4? ? ? ? ? ? , ? 3 ? 17 ? ? 2?

2 ? 8 ? f ? 4? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 ? 5 ?

【答案】 (1) f ?

? 2 ?? ? ?? ?? A ? 2 ,解得 A ? 2 。 ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? 4 2 ?3? ? 12 6 ?

(2) f ? 4? ?

? ?

15 4 ? ? ?? ?? 30 ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? ,即 sin ? ? , 17 3 ? 3 6? 2? 17 ? ?

第 11 页 共 17 页

4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,即 cos ? ? 。 5 3 ? 6 6? 5 ? ?
因为 ? ? ? ? ?0,

8 3 ? ?? 2 2 ,所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? , sin ? ? 1 ? cos ? ? , ? 17 5 ? 2? 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 。 17 5 17 5 85

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 32.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】

【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列 的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把 边的关系转化为角的关系, 也可以利用余弦定理得到边之间的关系, 再来求最后的结果。 33.【2012 高考重庆文 19】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)设函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ?
与轴的相邻两个交点的距离为

?
6

处取得最大值 2,其图象

? ( I ) 求 f ( x ) 的 解 析 式 ; ( II ) 求 函 数 2

g ( x) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域。

第 12 页 共 17 页

【答案】 (Ⅰ) ? ? 【解析】

?
6

(Ⅱ) [1, )

7 4

7 5 ( , ] 4 2

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ( , ] 4 4 2 ?
34.【2012 高考新课标文 17】 (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 【答案】 3asinC-ccosA

3 cos 2 x ? 1 2

35.【2102 高考北京文 15】 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期;
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(2)求 f ( x) 的单调递减区间。 【答案】 f ( x) ?
(sin x ? cos x)sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x ? ? 2(sin x ? cos x)cos x sin x sin x

π? ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , ? x | x ? kπ ,k ? Z? 4? ? 。

(1)原函数的定义域为 ?x | x ? kπ , k ? Z? ,最小正周期为 π .
3π ? π ? ? ? kπ ? k ? Z , ? kπ , ? kπ ? k ? Z 。 (2)原函数的单调递增区间为 ? ? ? kπ , 8 ? 8 ? ? ?

36.【2012 高考陕西文 17】 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 的距离为

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间

? , 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0, 【答案】

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

37.【2012 高考江苏 15】 (14 分)在 ?ABC 中,已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

【 答 案 】 解 :( 1 ) ∵ AB AC ? 3BA BC , ∴ AB AC cos A=3BA BC cos B , 即
A Cc o s A = 3 B C c。 oB s

由正弦定理,得

AC BC ,∴ sin B cos A=3sin A cos B 。 = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3 cos B cos A
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? 5? 2 5 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 ? 5 ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1, tan A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

? 。 4

【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】 (1)先将 AB AC ? 3BA BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式 证明。 (2)由 cos C ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从而 5

根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。 38.【2012 高考天津文科 16】 (本小题满分 13 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的分别是 a,b,c。已知 a=2.c= 2 ,cosA= (I)求 sinC 和 b 的值; (II)求 cos(2A+ 【答案】

2 . 4

д )的值。 3

39.【2012 高考湖北文 18】 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= 的图像关于直线 x=π 对称,

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其中

为常数,且

1.求函数 f(x)的最小正周期; 2.若 y=f(x)的图像经过点 【答案】 ,求函数 f(x)的值域。

【解析】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能 力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地 位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式 T ?

2?

?

来求解;求三角函数的

值域,一般先根据自变量 x 的范围确定函数 ? x ? ? 的范围.来年需注意三角函数的单调性,图 象变换,解三角形等考查. 40.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........

?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,其对边 a 、 b 、 c 满足 2b2 ? 3ac ,求 A 。
【答案】

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