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高三理数参考答案--郭祯


厦门六中 2015—2016 学年上学期高三期中考试





(理科)参考答案
8.D 9.B 10.C 11.D 12. B

一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.A 2.c 3. B.4. C 5.D 6.C 7.C 二、填空题(本题共 6 小题,

每小题 4 分,共 24 分) 13.2 14. 15.30 16.①③④

三、解答题(本大题有 6 小题,共 66 分;解答应写出文字说明与演算步骤) 17. 解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d, 由题意可得 ,………………2 分

解方程组可得 a1=2,d=2,………………4 分 ∴an=2+2(n﹣1)=2n;………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ∴a3=2×3=6,ak+1=2(k+1) , ∵a3,ak+1,Sk 成等比数列,∴ ∴(2k+2) =6(k +k) ,………………9 分 2 化简可得 k ﹣k﹣2=0, 解得 k=2 或 k=﹣1,………………11 分 ∵k∈N ,∴k=2………………12 分 18.解(1)? sin x ?
* 2 2

,………………6 分 , ,………………8 分

3 ?? ? x ? ? , ? ? , ? cos x ? ? , ………………2 分 5 ?2 ? ? 3 ? 1 f ( x) ? 2? x? co s x? x ? 2 sin ? ? 2c o s 2 ? ? ? 3s i n x?c o s x 4 3 ………………5 分 ? 3? . 5 5 ?? ? (2) f ( x) ? 2 sin? x ? ? , ………………7 分 6? ? ? ? ? 5? , ………………9 分 ? ?x? ? ? ? x ?? , 3 6 6 2 1 ?? ? ? sin? x ? ? ? 1 ,………………11 分 2 6? ? 4 , 5

? 函数 f ( x) 的值域为 [ 1, 2 ] .

………………12 分

19.解: (Ⅰ)经过 1 小时后,甲船到达 M 点,乙船到达 N 点, ∴ | MN |2 ?| AM |2 ? | AN |2 ?2 | AM || AN | cos600 ……2 分
? 64 ? 4 ? 2 ? 8 ? 2 ? 1 ? 52 ,………4 分 2


∴ | MN |? 2 13 .…………5 分 (Ⅱ)设经过 t( 0 ? t ? 5 )小时小船甲处于小船乙的正东方 向. 则甲船与 A 距离为 | AE |? 10 ? 2t 海里,乙船与 A 距离为
| AF |? 2t 海里, ?EAF ? 60 , ?EFA ? 45 ,
0 0

B岛 F E

A岛

则由正弦定理得 即

| AE | | AF | ,……8 分 ? sin 450 sin 750

2t 10 ? 2t ,……9 分 ? 0 sin 45 sin 750

t?

10sin 450 10 ? ? 5 .……11 分 0 0 2sin 75 ? 2sin 45 3? 3
10

答:经过

小时小船甲处于小船乙的正东方向.……12 分 3? 3 20. 解:(1)设 d、q 分别为等差数列{an}、等比数列{bn}的公差与公比,且 d>0. 由 a1=1,a2=1+d,a3=1+2d, 分别加上 1,1,3 有 b1=2,b2=2+d,b3=4+2d.……1 分 (2+d) =2(4+2d),d =4.∵d>0,∴d=2,q= ∴an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=2×2 (2)Tn=
n- 1 n 2 2

b2 =2,……3 分 b2

=2 .……5 分

1 3 5 2n-1 a a1 a2 + +?+ n = + 2 + 3 +?+ n ,①……6 分 2 2 b1 b2 bn 2 2

1 1 3 5 2n-1 Tn= 2 + 3 + 4 +?+ n ?1 .②……7 分 2 2 2 2 2
①-②,得

1 1 ?1 1 1 1 1 ? 2n ? 1 Tn= + ? ? 2 + 3 + 4 +?+ n ?1 ? ? n ?1 , 2 2 ?2 2 2 2 2 ? 2

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1-
∴Tn=1+

1 2
n-1

1-
∴Tn+

1 2



1 2n-1 2n+3 2n-1 =3- n-2 - n =3- n .……9 分 n 2 2 2 2

2n+3 1 1 - =3- <3.……10 分 n n n 2

∵3-

1 1 * 在 N 上是单调递增的,∴3- ∈[2,3).……11 分 n n 2n+3 1 - <c(c∈Z)恒成立的最小整数值为 c=3……12 分 n 2n

∴满足条件 Tn+

21.解:由函数 f ( x) ?

1 4 1 3 3 2 x ? mx ? x 得, f ??( x) ? x2 ? mx ? 3 ………………2 分 12 6 2

2 (Ⅰ) 若 f ( x) 为 区 间 (?1,3) 上 的 “ 凸 函 数 ” , 则 有 f ??( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 在 区 间

(? 1, 3) 上恒成立,由二次函数的图像,当且仅当

? f ??(?1) ? 1 ? m ? 3 ? 0 , ? ? f ??(3) ? 9 ? 3m ? 3 ? 0
即?

?m ? 2 ? m ? 2 . …………………………………………………5 分 ?m ? 2
2

2 (Ⅱ)当 | m |? 2 时, f ??( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 恒成立 ? 当 | m |? 2 时, mx ? x ? 3 恒

成立.……………………………………………………………………………6 分 当 x ? 0 时, f ??( x) ? ?3 ? 0 显然成立。 当x ? 0,x? …………………………………7 分

3 3 ? m ∵ m 的最小值是 ?2 .∴ x ? ? ?2 . x x
…………………………………………………………………9 分

从而解得 0 ? x ? 1 当x ? 0,x?

3 3 ? m ∵ m 的最大值是 2 ,∴ x ? ? 2 , x x

从而解得 ?1 ? x ? 0 . ………………………………………………………………11 分

综上可得 ?1 ? x ? 1 ,从而 (b ? a)max ? 1 ? (?1) ? 2 ………………………………12 分 23.(本题满分 10 分 )选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x﹣y+1=0,……2 分 圆 C2 的直角坐标方程(x+1) + 所以圆心的直角坐标为(﹣1, 所以圆心的一个极坐标为(2, (Ⅱ)由(Ⅰ)知(﹣1, 所以 AB=2 = ) , ) .……6 分 = ,……8 分
2

=4,……4 分

)到直线 x﹣y+1=0 的距离 d=

.……10 分

24.(本题满分 10 分 )选修 4-5:不等式选讲 解:(1)当 a ? ?3 , f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 ?当 x ? 3时, 解得 x ? 4; ?当 2 ? x ? 3时, 不等式无解;?当 x ? 2时, 解得 x ? 1; ………3 分 综上不等式的解集为 x | x ? 1或x ? 4}; …………4 分 (1) f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,即 f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 恒成立,从而

?

x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x ,在 [1, 2] 恒成立,…………6 分
解得 ?

2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 恒成立,…………8 分 3 ? a ? 0 。…………10 分

最后求得 a 的取值范围为 ?

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