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武汉市2008届高中毕业生二月(理科)调研测试数学卷


武汉市 2008 届高中毕业生二月调研测试理科数学试题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 1. 复数 z 满足方程: z ? ( z ? 2)i ,则 z = A、 1 ? i B、 1 ? i C、

?1 ? i

D、 ?1 ? i

>
2. 在等差数列 ?an ? 中, a3 =9, a9 =3,则 a12 = A、0 3. 二项式 (2 x ?
4

B、3

C、6

D、-3

?
3x
3

) n 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为
B、12 C、14 D、5

A、7

4. 函数 f ( x) ? ln( x ? x2 ) 的单调递增区间为 A、 ? 0,1? 5.下面给出四个命题: ① 直线 l 与平面 a 内两直线都垂直,则 l ? a . ②经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于直线 b . B、 ? ??, ? 2

? ?

1? ?

C、 ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D、 ? 0, ? 2

? ?

1? ?

③过平面 a 外两点,有且只有一个平面与 a 垂直. ④直线 l 同时垂直于平面 a 、 ? ,则 a ∥ ? . 其中正确的命题个数为 A、0 B、1 C、2 D、3

6. 某一批袋装大米质量服从正态分布 N (10, 0.01) (单位: , kg) 任选一袋大米, 它的质量在 9.8kg-10.2kg 内的概率是 A、1- ? (2) B、2 ? (2)-1 C、F(2)-F(-2) D、F(2)+F(-2)-1

7. 在(0, 2? )内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围为

5? 7? ? 3? , ] D、[ , ] 4 4 4 4 4 4 ???? ???? ???? ????? ? ? ? 2 2 8.已知平面内的四边形 ABCD 和该平面内任一点 P 满足: AP ? CP ? BP2 ? DP2 ,那么四边形 ABCD 一
A、[

? 5?
,

]

B、[

? ? , ] 4 2

C、[

定是 A、梯形 B、菱形 C、矩形 D、正方形

9.在四面体 ABCD 中,三组对棱棱长分别相等且依次为 34, 41 ,5 则此四面体 ABCD 的外接球的半径 R 为
1

A、 5 2

B、5

C、

5 2 2

D、4

10.过原点 O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆 P: 小值为 A、

x2 ? y 2 ? 1交于 A、C 与 B、D,则四边形 ABCD 面积最 2

8 3

B、 4 2

C、 2 2

D、

4 3

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题在横线上。

?y ? x ? 11.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ?1 ?
12.常数 a , b 满足 lim

.

ax 2 ? 5 x ? 3 ? b, 则 a ? b = x ??1 x ?1

. ____.

13.从 4 双不同鞋子中取出 4 只鞋,其中至少有 2 只鞋配成一双的取法种数为 (将计算的结果用数字作答)

14.已知圆 C: x2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,一动直线 l 过 A (-1,O)与圆 C 相交于 P、Q 两点,M 为 PQ 中点,l 与 直线 x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N,则 AM ?AN ? 15.当 0 ? x ? 1 时, ax ? __ .

1 3 x ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 2

_

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 如图, 在△ABC 中, A、 C 的对边分别为 a 、b 、 角 B、 c,且 8 a =7 b , 120 , 边上的高 CM 长为 c= AB (1) 求 b : c 的值 (2) 求△ABC 的面积 17. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 l 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 CC1 中点。 (1) 求二面角 A1 –BD -M 的大小; (2) 求四面体 A1 -BDM 的体积;
0

7 3 。 13

2

18. (本小题满分 12 分) 有 10 张形状、大小相同的卡片,其中 2 张上写着数字 O,另外 5 张上写着数字 1,余下 3 张上写着数 字 2。从中随机地取出 1 张,记下它的数字后放回原处。当这种手续重复进行 2 次时, ? 为所记下的两个 .... 数之和。 (1)求 ? =2 时的概率; 19. (本小题满分 12 分) (2)求 ? 的数学期望;

y2 过双曲线 C: x ? 2 ? 1 的右顶点 A 作两条斜率分别为 k1、k2 的直线 AM、AN 交双曲线 C 于 M、N 两点, m
2

其 k1、k2 满足关系式 k1 ? k2 ? ?m2 且 k1 ? k2 ? 0 , k1 ? k2 (1)求直线 MN 的斜率; (2)当 m = 2 ? 3 时,若 ?MAN ? 60 ,求直线 MA、NA 的方程;
2

0

20. (本小题满分 13 分) 在数列 an 中,a1 ? t ? 1 , 其中 t ? 0 且 t ? 1 , 且满足关系式:an?1 (an ? t n ?1) ? an (t n?1 ?1),(n ? N ? ) (1)猜想出数列 an 的通项公式并用数学归纳法证明之; (2)求证: an?1 ? an , (n ? N ) . 21. (本小题满分 14 分) (1)求证:当 a ? 1 时,不等式 e ? x ? 1) ?
n

?

ax 2e 对于 n ? R 恒成立 . 2
成立?如果存在,求

x

(2)对于在(0,1)中的任一个常数 a ,问是否存在 x0 ? 0 使得 出符合条件的一个 x0 ;否则说明理由。

武汉市 2008 届高中毕业生二月调研测试理科数学试题参考答案及评分细则
一.选择题 题号 答案 二.填空题 11、3 12、3 13、54 14、5 15、[ ? 1 C 2 A 3 A 4 D 5 B 6 B 7 D 8 C 9 C 10 A

1 3 , ] 2 2
3

三.解答题 16.解: (1)∵ 8a ? 7b ,故设 a =7k,b=8k(k>0) ,由余弦定理可 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

=(7 +8 -2×7×8cos120 )k =169k ,∴c=13k,因此

2

2

0

2

2

b 8 ? . c 13

(2)∵

1 1 7 3 1 1 1 7 3 7 3 . ?13k ? ? ? 7k ? 8k ? sin1200 ,∴ k ? ,∴ S? ABC ? ?13 ? ? ? 4 2 13 2 2 4 13 8

17. (1) 解: 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 棱长为 l, BD 中点为 O, 取 连结 OM, 1。∵BM=DM= OA 从而 AO ? BD, MO ? BD ,∴ ?AOM 为=两角 A1—BD—M 的平面角. 1 1 在 ? AOM 中, OM ? 1 而 A1M ?

5 , 1B=A1D= 2 A 2

BM 2 ? OB 2 ?

3 6 2 2 , A1O ? A1B ? OB ? . 2 2

A1C12 ? C1M 2 ?

3 ,从而由勾股定理可知: ?AOM ? 900 . 1 2

(2) 由(1)可知 AO ? 面 BDM, 从而四面体 A -BDM 体积 V ? 1 1

1 1 1 3 6 1 ? S? BDM ? A1O ? ( ? 2 ? ) ? ? . 3 3 2 2 2 4

18.解: (1)卡片的出法有(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)共 9 种. 而 ? =2 时,出现三种(0,2),(2,0),(1,1),故 P(2) ? 2(

2 3 5 37 ? ) ? ( )2 ? . 10 10 10 100 2 2 1 2 5 1 5 3 3 (2)同(1)处理方法可求: P(0) ? ( ) ? , P(1) ? 2( ? ) ? , P(3) ? 2( ? ) ? , 10 25 10 10 5 10 10 10 3 9 1 1 37 3 9 11 P (4) ? ( ) 2 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . ,∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ? 10 100 25 5 100 10 100 5
2

y2 19.解:(1)C: x ? 2 ? 1 的右顶点 A 坐标为(1,0).设 MA 直线方程为 y ? k1 ( x ? 1) ,代入 m

m2 x2 ? y 2 ? m2 ? 0 中,则 m2 x2 ? k12 ( x ?1)2 ? m2 ? 0 ,整理得 (m2 ? k12 ) x2 ? 2k12 x ? (k12 ? m2 ) ? 0) .
由韦达定理可知 xm ? xA ?

k12 ? m2 k 2 ? m2 k12 ? k1k2 k1 ? k2 ,而 xA ? 1 ,又 k1k2 ? ?m2 ,∴ xm ? 12 . ? ? k12 ? m2 k1 ? m2 k12 ? k1k2 k1 ? k2
k1 ? k2 ?2k1k2 ?2k1k2 ? 1) ? ,同理可知 yn ? ,∴有 ym ? yn ,∴MN∥ x 轴, k1 ? k2 k1 ? k2 k1 ? k2

于是 ym ? k1 ( xm ? 1) ? k1 ( 从而 MN 直线率 kmn ? 0 .

(2) ?MAN ? 60 , ∵ ∴AM 到 AN 的角为 60 或 AN 到 AM 的角为 60 。 则
0 0 0

k2 ? k1 k ?k ? 3或 1 2 ? 3 1 ? k1k2 1 ? k1k2

4

又 k1k2 ? ?(2 ? 3) , k1 ? k2 从而 ?

?k2 ? k1 ? ?3 ? 3 ? ?k1k2 ? ?(2 ? 3) ?

, 则求得 ?

? k1 ? 1 ?k ? 2 ? 3 ? ? 或? 1 . ? k 2 ? ?1 ? k2 ? ?(2 ? 3) ? ?

因此 MA,NA 的直线的方程为 y ? x ? 1 , y ? ?(2 ? 3)( x ?1) 或为 y ? (2 ? 3)( x ?1) , y ? ?( x ? 1) .

1 (t 3 ? 1) ? (t 2 ? 1) 3 (t ? 1)an (t ? 1)a2 t ?1 (t ? 1)a1 1 2 2 20. (1)an ?1 ? 解: , a2 ? ? ? ? (t ? 1) , a3 ? 2 n 3 2 a2 ? t ? 1) 3 an ? t ? 1 a1 ? t ? 1 2 (t ? 1) 2
n ?1 2
3

t n ?1 t n ?1 猜想得到 an ? .下面用数学归纳法证明: an ? . n n
1 当 n=1 时,a1=t—1 满足条件; 2 假设当 n=k 时, ak ?
0 0

t k ?1 t k ?1 k t k ? 1 k ?1 k ? 1 t k ?1 ? 1 ? t ? 1) ? (t ? 1) ,∴ ak ?1 ? ? ,则 ak ?1 ( , k k k k k

∴ ak ?1 ?

t k ?1 ? 1 ,即当 n=k+1 时,原命题也成立。 k ?1
0 0

t n ?1 由 1 、2 知 an ? . n
(2) an?1 ? an ?

1 t n?1 ? 1 t n ? 1 1 n n ?n(t n?1 ? 1) ? (n ? 1)(t n ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? n(n ? 1) ? nt (t ? 1) ? (t ? 1) ? n ?1 n n(n ? 1)

?

t ?1 ? nt n ? (t n?1 ? t n?2 ? ?? ? t ? 1) ? ,而 nt n ? (t n?1 ? t n?2 ? ?? ? t ? 1) ? n(n ? 1) ?

? (t n ? t n?1 ) ? (t n ? t n?2 ) ? ?? ? (t n ? t ) ? (t n ?1)

?? 0, t ? 1 .故 t>0,且 t ? 1 时有 ? t n?1 (t ?1) ? t n?2 (t 2 ?1) ? t n?3 (t 3 ?1) ? ?? ? t (t n?1 ?1) ? (t n ?1) ? ? ?? 0,0 ? t ? 1

an?1 ? an ? 0 ,即 an?1 ? an .
21.证: (1)(Ⅰ)在 x ? 0 时,要使 e ? x ? 1 ?
x x a 2 x ax 2e x 成立。只需证: e ? x e ? x ? 1 即需证: 2 2

1?

a 2 x ?1 x ? x . 2 e



令 y ( x) ?

a 2 x ?1 1? e x ? ( x ? 1)e x ?x x ? x ,求导数 y?( x) ? ax ? ? ax ? x , x 2 2 e (e ) e

∴ y?( x) ? x(a ? 式得证

1 ) ,又 a ? 1 ,求 x ? 0 ,故 y?( x) ? 0 ,∴ y ( x) 为增函数,故 y( x) ? y(0) ? 1 ,从而① e2

5

x2 x ax 2 ? x x (Ⅱ)在 x ? 0 时,要使 e ? x ? 1 ? a e 成立。只需证: e ? e ? x ? 1 ,即需证: 2 2
x

1?

ax 2 ?2 x e ? ( x ? 1)e? x . 2
令 m( x ) ?



ax 2 ?2 x e ? ( x ? 1)e ? x ,求导数得 m?( x) ? ? xe ?2 x ?e x ? a ( x ? 1) ? ,而 ? ( x) ? e x ? a( x ?1) 在 ? ? 2

x ? 0 时为增函数,故 ? ( x) ? ? (0) ? 1 ? a ? 0 ,从而 m( x) ? 0 .∴ m( x) 在 x ? 0 时为减函数,则

ax 2 x e 在 a ? 1 时,恒成立. m( x) ? m(0) ? 1 ,从而②式得证由于①②讨论可知,原不等式 e ? x ? 1 ? 2
2

(2)将 e

x0

? x0 ? 1 ? a ?

2 x0 x 0 ax 2 x e 变形为 0 ? x00 ? 1 ? 0 . 2 2 e



要找一个 X0>0,使③式成立,只需

找到函数 t ( x) ?
x

1 ax 2 x ? 1 ? x ? 1 的最小值,满足 t ( x) min ? 0 即可,对 t ( x) 求导数 t ?( x) ? x(a ? x ) , e 2 e

1 ,则 x= -lna,取 X0= -lna.在 0< x < -lna 时,t ?( x) ? 0 ,在 x > -lna 时,t ?( x) ? 0 , a a t ( x) 在 x=-lna 时,取得最小值 t ( x0 ) ? (ln a) 2 ? a(? ln a ? 1) ? 1 . 2 a 2 下面只需证明: (ln a) ? a ln a ? a ? 1) ? 0 ,在 0 ? a ? 1 时成立即可. 2 a 1 2 2 又令 p (a ) ? (ln a ) ? a ln a ? a ? 1 ,对 p (a ) 关于 a 求导数,则 p?(a ) ? (ln a ) ? 0 ,从而 p (a ) 为增函 2 2 a 2 数.则 p(a) ? p(1) ? 0 ,从而 (ln a ) ? a ln a ? a ? 1 ? 0 得证于是 t ( x) 的最小值 t (? ln a) ? 0 ,因此可找 2
令 t ?( x) ? 0 得 e ? 到一个常数 x0 ? ? ln a(0 ? a ? 1) ,使得③式成立.

6


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