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2013-2014学年高一上学期数学课件(北师大版必修一)第四章


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“M”的含义是:取新区间,一个端点是原区间的中点,另 一端是原区间两端点中的一个, 新区间两端点的函数

值反号; “N”的含义是:方程解满足要求的精度;
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“P”的含义是:选取区间内的任意一个数作为方程的近似 解.

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本 题型一 函数的零点与方程的根的关系及应用 课 时 1.函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系:方程 f(x)=0 栏 有实数根?函数 y=f(x)的图像与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有 目 开 零点. 关

2.确定函数零点的个数有两个基本方法:利用图像研究与 x 轴 的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断.

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例1

设 g(x)=e2x+|ex-a|,x∈[0,ln 3],其中 a≤2 2.

(1)当 a=1 时,函数 g(x)是否存在零点,若存在,求出所 有零点;若不存在,说明理由.
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(2)求函数 g(x)的最小值.
解 (1)当 a=1 时,设 t=ex(显然 t∈[1,3]),
则 h(t)=t2+t-1, 令 h(t)=t2+t-1=0, -1+ 5 -1- 5 解得 t= 或 t= 都不满足 t∈[1,3], 2 2 ∴函数 g(x)不存在零点.

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(2)设 t=ex,则 h(t)=t2+|t-a|(显然 t∈[1,3]). 当 a≤1 时,h(t)=t2+t-a 在区间[1,3]上是增函数, 所以 h(x)的最小值为 h(1)=2-a.
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当 1<a≤2 2时,
?t2-t+a ? h(t)=? 2 ?t +t-a ?

?1≤t≤a? . ?a<t≤3?

因为函数 h(t)在区间(a,3]上是增函数,在区间[1,a]上也是增 函数,又函数 h(t)在[1,3]上为连续函数,所以函数 h(t)在[1,3] 上为增函数,所以 h(t)的最小值为 h(1)=a.

综上可得:当 a≤1 时,g(x)的最小值为 2-a; 当 1<a≤2 2时,g(x)的最小值为 a.

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跟踪训练 1 若函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之 差的绝对值不超过 0.25,则函数 f(x)可以是 A.f(x)=4x-1 C.f(x)=ex-1 本 B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x-1) ( A )

课 1 1 1 时 解析 ∵g(0)=1-2<0, )=2+1-2>0, )= 4 +1-2<0. g( g( 2 4 4 2 栏 目 1 1 开 ∴g(x)的零点在( , )内. 4 2 关

1 又∵f(x)=4x-1 的零点为 ,f(x)=(x-1)2 的零点为 1,f(x)=ex 4 -1 的零点为 0,f(x)=ln(x-1)的零点为 2, 1 1 1 所以 与( , )的数的差的绝对值小于 0.25. 4 4 2

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题型二

用二分法求函数的零点或方程的近似解

1.看清题目的精度,它决定着二分法的结束.
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2.根据 f(a0)· 0)<0 确定初始区间,高次方程要先确定有几个 f(b 解再确定初始区间. 3.初始区间的选定一般在两个整数间,不同初始区间结果是 相同的,但二分的次数相差较大. 4.取区间中点 c,计算中点函数值 f(c),确定新的零点区间, 直到所取区间(an,bn)中,an 与 bn 按精度要求取值相等, 这个相等的近似值即为所求近似解.

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例 2 求 2的一个近似值.(精度为 0.01)
解 设 x= 2, ∴x3-2=0,令 f(x)=x3-2.
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3

3

3

则 f(x)的零点即为 2的近似值,下面用二分法求解. 由 f(1)=-1<0,f(2)=6>0,可以把初始区间定为[1,2],
用二分法逐次计算,列表如下: 区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] [1.25,1.375] [1.25,1.312 5] 中点近似值 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.281 25 中点函数近似值 1.375>0 -0.046 9<0 0.599 6>0 0.261 0>0 0.103 3>0

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[1.25,1.281 25] [1.25,1.265 625]
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1.265 625 1.257 812 5

0.027 3>0 -0.01<0

[1.257 812 5,1.265 625]

由于 1.265 625-1.257 812 5=0.007 812 5<0.01,故区间 [1.257 812 5,1.265 625]上的任一值可看做函数 f(x)的零点 的近似值,
即 2的近似值是 1.265 625.
3

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跟踪训练 2 (0,1)分
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某方程在区间[0,1]内有一无理根,若用二分法

求此根的近似值要使所得近似值的精度达到 0.1,则将区间 ( C ) B.3 次 D.5 次 A.2 次 C.4 次
解析

等分 1 次,区间长度为 0.5;等分两次,区间长度为

0.25;?;等分 4 次,区间长度为 0.062 5<0.1,符合题意.

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题型三

函数模型及应用 (1)一次函数模型 y=kx+b y=ax2+bx+c y=abx+c y=mlogax+n y=axn+b ?ax+b?x<m?, ? y=? ?cx+d?x≥m? ?

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(2)二次函数模型 常用函数 模型 (3)指数函数模型 (4)对数函数模型 (5)幂函数模型 (6)分段函数

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例3

在固定压力差(压力差为常数)下.当气体通过圆形管道时,

其流量速率 R 与管道半径 r 的函数关系为 R=kr4(k>0, 是常数). k (1)假设气体在半径为 3 cm 的管道中, 流量速率为 400 cm3/s, 求
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该气体通过半径为 r cm 的管道时,其流量速率 R 的表达式; (2)已知(1)中的气体通过的管道半径为 5 cm,计算该气体的流量 速率.



(1)由题意,得 R=kr4(k 是大于 0 的常数).

由 r=3 cm,R=400 cm3/s,得 k·4=400, 3 400 400 4 ∴k= 81 ,∴流量速率 R 的表达式为 R= 81 r .

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400 4 (2)∵R= r , 81 400 4 ∴当 r=5 cm 时,R= 81 ×5 ≈3 086(cm3/s).
即气体通过管道半径为 5 cm 时,该气体的流量速率约 为 3 086 cm3/s.

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跟踪训练 3 为了预防流感,某学校对 教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物 释放过程中,室内每立方米空气中的含
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药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比,药 物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为
? 1 ?- y=?16?t a(a ? ?

为常数),

如图,根据图中所提供的信息,回答下列问题: (1)从药物释放开始, 每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为___________________. (2)据测定, 当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下 时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过 ________小时后,学生才能回到教室.

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解析

(1)由题意和图示知,当 0≤t≤0.1 时,可设 y=kt(k 为

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待定系数),由于点(0.1,1)在直线上,∴k=10;同理,当 t>0.1 ?1? - 1 ? ?0.1 a?0.1-a=0?a= . 时,可得 1= 16 10 ? ?
(2)由题意可得
? 1 ? ? ? ? 16 ?
t1 10

<0.25,得 t>0.6,即至少需要经过 0.6 小

时后,学生才能回到教室.

?10t (0 ? t ? 0.1), ? 1 t? 答案 (1)y= ?? 1 ? 10 ?? ? (t ? 0.1) ?? 16 ?
(2)0.6


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