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庆阳二中2014届高三第四次月考文科数学模拟试卷(一)


庆阳二中 2014 届高三第四次月考文科数学模拟试卷(一)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.定义 A ? B ? {x | x ? A且x ? B}, 若M ? {1,2,3,4,5}, N ? {2,3,6}, 是N ? M 等于( A.M 2.在复平面内,复数 A.第一象限

B.N C.{1,4,5} ) D.第四象限
开始



D.{6}

1 ? 2i 对应的点位于( 1? i
B.第二象限
x

C.第三象限 ( )

3. 方程 log 2 ( x ? 4) ? 2 的根的情况是 A.仅有一根 B.有两个正根

C.有一正根和一负根

D.有两个负根

k=10 , s=1


4. 若右框图所给程序运行的结果为 S=90,那么判断框 中应填入的关于 k 的判断条件是( A. k ? 8 C. k ? 9 B. k ? 7 D. k ? 8 ) B.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n D.若 m、n 与 ? 所成的角相等,则 n∥m )

是 s=s× k k=k-1

输出 s 结束

5.对于平面 ? 和共面的直线 m、n,下列命题中真命题是( A.若 m⊥ ? ,m⊥n,则 n∥ ? C.若 m ? ? ,n∥ ? ,则 m∥n B. ?? ?,1?

6.若函数 f ( x) ? ax ? ln x 在 ?1,?? ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. ?? ?,1? C. ?1,?? ? D. ?1,?? ?



7. 已知向量 a ? (1,2), b ? (?2,?4), | c |? 5 ,若 (a ? b) ? c ? A. 30? B. 60? C. 120 ?

5 ,则 a 与 c 的夹角为( 2
D. 150 ?



8 . 已 知 函 数 y ? A sin( ?x ? ? ) ? B 的 一 部 分 图 象 如 右 图 所 示 , 如 果

A ? 0,? ? 0, | ? |?
A. A ? 4 C. ? ?

?
2

,则(



B.? ? 1 D. B ? 4

?
6

9 .已知等差数列 ?a n ? 的公差 d<0, 若 a 4 ? a6 ? 24, a 2 ? a8 ? 10, 则该数列的前 n 项和 S n 的最大值为 ( ) A. 50 B.45 C. 40 D.35
1 , 2

10. 设 f(x)是定义是 R 上恒不为零的函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x) ·f(y)=f(x+y),若 a1=

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an =f(n)(n 为正整数),则数列{ an }的前 n 项和 Sn 的取值范围是( )
A.
1 ≤Sn<2 2

B.

1 ≤Sn≤2 2

C.

1 ≤Sn≤1 2

D.

1 ≤Sn<1 2

11.如右图,一个空间几何体的主视图、左视图是周长为 4, 一个内 角为 60 0 的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个 几何体的表面积为 ( A. ) B. ?
主视图 左视图

? 2

3? C. 2
2

俯视图

D. 2?
2

12.不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 ?x | 2 ? x ? 3? 则不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为() A ?x | 2 ? x ? 3? C ?x | ? B ?x |

? ?

1 ?x? 3

1? ? 2?

? ?

1 1? ?x?? ? 2 3?

D ?x | ?3 ? x ? ?2?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分.共 16 分 13. 已知函数 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x ? (0,1)时, f ( x) ? 2 ? 1, 则f (log 2 10)
x

的值为 14. 若

cos 2?

sin(? ? ) 4

?

??

2 ,则 cos? ? sin ? 的值为__________ 2

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 15.设实数 x,y 满足: ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是_____________. x ?2 x ? 3 ? 0 ?
16. 给出下列命题: ①命题 “若 m>0, 则方程 x +x-m=0 有实数根” 的逆否命题为: “若方程 x +x-m=0 无 实数根,则 m≤0”.②“x =1”是“x -3x+2=0”的充分不必要条件.
2
2 2 2

③若“p 且 q”为假命题,则 p、
2

q 均为假命题.④对于命题 p: ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ? 0.(其中“ ? ” 表示“存在” , “ ? ”表示“任意” )其中错误 的命题为___________ .. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 中内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? (2sin B, 3),

??

? ?? ? n ? (cos B, cos 2 B) ,且 m ? n
(Ⅰ)求 B 的大小,
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(Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值.

18.如图,平面 PCBM⊥平面 ABC,∠PCB=90°,PM∥BC, 直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°,又 AC=1,BC=2PM=2, ∠ACB=90° (Ⅰ)求证:AC⊥BM; (Ⅱ)求二面角 M-AB-C 的正切值; (Ⅲ)求多面体 P- MABC 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为矩形, PA 是四棱锥的高, PB 与 DC 所成角为 45 , F 是 PB 的
?

中点, E 是 BC 上的动点. (Ⅰ)证明: PE ? AF ;

(Ⅱ)若 BC ? 2 BE ? 2 3 AB ,求直线 AP 与平面 PDE 所成角的大小.

第 3 页 共 7 页

20.设函数 f ( x) ? ax ? b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 。 x (I)求 y ? f ( x) 的解析式; (II)若 f ( x) < 2x ? m 对一切 x ? ? 3, ?? ? 恒成立,求实数 m 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 正方体 ABCD-A′B′C′D′棱长为 1. (1)证明:面 A′BD∥面 B′CD′; (2)求点 B′到面 A′BD 的距离.

D′ A′

C′ B′

D A B

C

22. (本小题满分 14 分)设数列 ? an ? 满足 a1 ?

1 , an?1 ? can ? 1 ? c, n ? N * , 其中 c 为实数,且 c ? 0 . 2

(Ⅰ)证明数列 ?an ? 1? 是等比数列并求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 c ?

1 * , bn ? n(1 ? an ), n ? N ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ; 2
*

(Ⅲ)若 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 成立,证明 0 ? c ? 1

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参考答案(一) 一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 C 6 D 7 C 8 C 9 B 10 D 11 B 12 C

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13.

3 5

14.

1 2

15.

5 6

16.③

17.解: (Ⅰ)? m ? n , m ? (2sin B,

??

?

??

? 3), n ? (cos B, cos 2 B)
2

因为 m ? n ? 0 ,所以 m ? n ? (2 sin B, 3 ) ? (2 cos = ? 2 sin B(2 cos
2

B ? 1, cos 2 B) 2

B ? 1) ? 3 cos 2 B 2

? 2sin B cos B ? 3 cos 2 B ,
又? 0 ? B ?

? sin 2 B ? 3 cos 2 B
?B ?

? 2sin(2 B ? ) ? 0 3

?

?
2

? 2B ?
2 2

?
3

??
2

?
3
? 22 ? a2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ∴ ac ? 4 (当且

(Ⅱ)由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B 仅当 a=c 时取到等号) ∴ ac 的最大值为 4

? s?ABC ?

1 3 ac sin B ? ac ? 3 2 4

??ABC 的面积 S ?ABC 的最大值为 3
18. (Ⅰ)∵平面 PCBM ? 平面 ABC , AC ? BC , AC ? 平面 ABC . ∴ AC ? 平面 PCBM 又∵ BM ? 平面 PCBM ∴ AC ? BM (Ⅱ)取 BC 的中点 N ,则 CN ? 1 .连接 AN 、 MN . ∵平面 PCBM ? 平面 ABC ,平面 PCBM ? 平面 ABC ? BC , PC ? BC . ∴ PC ? 平面 ABC .∵ PM // CN ,∴ MN // PC ,从而 MN ? 平面 ABC .
?

?

作 NH ? AB 于 H ,连结 MH ,则由三垂线定理知 AB ? MH .从而 ?MHN 为二面角 M ? AB ? C 的平 面角.∵直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°,∴ ?AMN ? 60? . 在 ?ACN 中,由勾股定理得 AN ?

2.
2? 3 6 ? . 3 3

在 Rt ?AMN 中, MN ? AN ? cot ?AMN ?

在 Rt ?BNH 中, NH ? BN ? sin ?ABC ? BN ?

AC 1 5 ? 1? ? . AB 5 5

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6 MN 30 在 Rt ?MNH 中, tan ?MHN ? ? 3 ? NH 3 5 5
故二面角 M ? AB ? C 的大小为 arc tan (Ⅲ)多面体 PMABC 就是四棱锥 A ? BCPM

30 3

1 1 1 1 1 6 6 VPMABC ? VA? PMBC ? ? S PMBC ? AC ? ? ? ( PM ? CB) ? CP ? AC ? ? ? (2 ? 1) ? ?1 ? 3 3 2 3 2 3 6
19。 (1)

AF ? PB ? ? ? AF ? PBE ? AF ? PE AF ? BE ?
(2)

垂面法。 记AB ? a, 则PA ? a, BC ? 2 3a, DE ? 2a 做AO ? DE于O,连接PO,则?APO为所求线面角,记为? 1 1 ? 2 3a ? a ? ? 2a ? AO ? AO ? 3a 2 2 AO ? tan ? ? ? 3,? ? PA 3
20.解: (Ⅰ)方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 可化为 y ?

7 1 b x ? 3 .当 x ? 2 时, y ? .又 f ?( x) ? a ? 2 ,于是 4 2 x

b 1 ? 2a ? ? , ? ?a ? 1, 3 ? 2 2 解得 ? 故 f ( x) ? x ? . ? x ?b ? 3. ?a ? b ? 7 , ? ? 4 4
(Ⅱ)不等式等价于 m ? ?( x ? ) 对一切 x ? ? 3, ?? ? 恒成立令 g ( x) ? x ? 则 g ( x) ? 1 ?
?

3 x

3 , x

3 x2 ? 3 ? ? 0 ,∴ g ( x) 在 ?3, ?? ? 上单调递增, x2 x2

∴ g min ( x) ? g (3) ? 4 ,??10 分

3 ∴ ?( x ? ) ? ?4 ,∴ m ? ?4 x

21.(12 分) (1)证明:∵A’D∥B’C,DB∥D’B’
又∵A’D∩DB=D,B’C∩D’B’=B’ ∴面 A’BD∥面 B’CD’ (2)解法一:易知 B′ 到平面 A′ BD 的距离 d 等于 A 到平面 A′ BD 的距离, 且△A′ BD 为等边三角形 1 1 由 VA '? ABD ? VA? A ' BD 可知 S?ABD ? AA? ? S?A?BD ? d 3 3 解得 S ?ABD ?

1 3 3 3 ∴d ? , S ?A?BD ? ? BD 2 ? 2 4 2 3
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解法二:易知 B′ 到面 A′ BD 的距离 d 等于 A 到面 A′ BD 的距离 沿 A′ BD 截下三棱锥 A-A′ BD,易知是一个正三棱锥 过 A 作 AF⊥A′ BD,则 AF 即为 A 到平面 A′ BD 的距离 如右图,DE 为 A′ B 的中线,且 F 为△A′ BD 的中心

A D A' F E B

DF ?

2 2 3 6 , AF ? AD 2 ? DF 2 ? 1 ? ( 6 ) 2 ? 3 DE ? ? ? BD ? 3 3 2 3 3 3

即 A 到平面 A′ BD 的距离为

3 . 3

22 .解: (Ⅰ) ∵ an ?1 ? 1 ? c(an ? 1) ∴

an ?1 ? 1 1 ? c ∴ ?an ? 1? 是首项为 ? ,公比为 c 的等比数列。 an ? 1 2

1 1 ∴ an ? 1 ? (? )c n?1 ,即 an ? (? )c n ?1 ? 1 。 2 2
(Ⅱ) 由(1)得 bn ? n( )c

1 2

n ?1

1 ? n( ) n 2

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?


1 1 1 ? 2( )2 ? ? ? n( )n 2 2 2

1 1 1 1 Sn ? ( )2 ? 2( )3 ? ? ? n( ) n ?1 ???6 分 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? ? ( )2 ? ? ? ( )n ? n( )n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? 1 ? ? ( )2 ? ? ? ( )n?1 ? n( ) n ? 2[1 ? ( ) n ] ? n( ) n 2 2 2 2 2 2 1 ∴ Sn ? 2 ? (2 ? n)( ) n ???9 分 2

(Ⅲ)由(1)知若 0 ? (? )c 由c
n ?1

1 2

n ?1

? 1 ? 1 ,∴ 0 ? c n?1 ? 2(n ? N * )

? 0 对任意 n ? N * 成立,知 c ? 0 。下面证 c ? 1 ,用反证法
x

假设 c ? 1 , 由函数 f ( x) ? c 的函数图象知, 当 n 趋于无穷大时,c 恒成立,导致矛盾。∴c ? 1 。∴0 ? c ? 1

n ?1

趋于无穷大∴cn?1 ? 2 不能对 n ? N

*

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