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三角函数的图像及三角模型的简单应用复习课件


1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y= 考 Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象 纲 变化的影响. 要 求 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型,会用三角函数解决一些简单实际问题.

1.高考中出现选择题、填空题、解答题都有可能,出小 题时多考查函数的图象与性质,出大题时,常与平面 热 点 向量、解三角形

等知识相结合,试题难度为中低档. 提 2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质是高考考查的重 示 点,有时直接考查,更多地是通过三角恒等变换转化 为y=Asin(ωx+φ)的形式进行考查.

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx 振 周期 频率 +φ ) 幅 (A>0, ω>0), f= x∈[0,+ A T=


初 相位 相

∞)表 示一个振动 量时

ωx+ φ φ

2.图象变换 由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0)的图象,有两种主要途径: “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 方法一:先平移后伸缩.

3.给出图象,求解析式y=Asin(ωx+φ) (1)给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型, 有时从寻找“五点法”中的第一个零点(- , 0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一 个零点的位置.

(2)已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数 法,由图中的最大值或最小值确定A,由周期确 定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由 图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析 式一般不唯一,只有限定φ的取值范围,才能得 出唯一解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯 一.

(3)将若干个点代入函数式,可以求得相关待定系数 A、 ω、φ,这里需要注意的是,要认清选择的点属于“五点” 中的哪一个位置点, 并能正确代入式中. 依据五点列表法原 理,点的序号与式子的关系是:“第一点”(即图象上升时 与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0;“第二点”(即图象曲线的最 π 高点)为 ωx+φ=2;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交 点)为 ωx+φ=π;“第四点”(即图象曲线的最低点)为 ωx 3π +φ= 2 ;“第五点”为 ωx+φ=2π.

5.三角函数模型的常见应用 (1)三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解 决实际问题时有着广泛的应用.如果某种变化 着的现象具有周期性,那么它就可以考虑借助 三角函数来描述,三角函数模型的常见类型有: ①航海类问题.涉及方位角概念,方位角指的 是从指北方向顺时针旋转到目标方向线的水平 角.还涉及正、余弦定理.②与三角函数图象 有关的应用题.③引进角为参数,利用三角函 数的有关公式进行推理,解决最优化问题,即 求最值.④三角函数在物理学中的应用.

(2)常用处理方法 ①根据图象建立解析式或根据解析式作出 图象.②将实际问题抽象为与三角函数有 关的简单函数模型.③利用收集到的数据 作出散点图,并根据散点图进行函数拟合, 从而得到函数模型.

1.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区 间[0,2π]的图象如下:

那么 ω= A.1 1 C.2 1 D.3

( B.2

)

2π 解析:由图象可知,函数周期 T=π,ω= =2,故选 T B.

答案:B

π π 2.(2008· 山东高考)函数 y=lncosx(- <x< )的图象是 2 2 ( )

解析:由已知得0<cosx≤1,∴lncosx≤0, 排除B、C、D,故选A. 答案:A

3.弹簧振子的振动是简谐运动,在振动过程中,位移 s 1 π 与时间 t 之间的关系式为 s=10sin(2t-4),t∈[0,+∞),则 弹簧振子振动的周期为 ________,频率为________,振幅为 ________,相位是________,初相是________.

1 解析:由它们的定义可知,周期为 4π,频率为 ,振幅 4π 1 π π 为 10,相位是 t- ,初相是- . 2 4 4

4.一半径为10的水轮,水轮的圆心到水 面的距离为7,已知水轮每分钟旋转4圈, 水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函 数关系式y=Asin(ωx+φ)+7(A>0, ω>0),则A=________,ω=________.
解析:由已知 P 点离水面的距离的最大值为 17, ∴A=10. 60 2π 又水轮每分钟旋转 4 圈,∴T= 4 =15,∴ω=15.

1 5. 试说明如何由函数 y=sinx 的图象得到函数 y=2sin( x 3 π -6)的图象.

π 解:先把函数 y=sinx 的图象上所有点向右平移 个单位 6 π 长度,得到 y=sin(x- )的图象;再把后者所有点的横坐标伸 6 1 π 长到原来的 3 倍(纵坐标不变),得到 y=sin(3x-6)的图象;再 把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 1 π 变),得到 y=2sin(3x-6)的图象.

π 【例 1】 (2009· 天津卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+4)(x∈R, ω>0)的最小正周期为 π.为了得到函数 g(x)=cosωx 的图象, 只 要将 y=f(x)的图象 ( )

π A.向左平移 个单位长度 8 π B.向右平移 个单位长度 8 π C.向左平移4个单位长度

思路分析:根据给出的最小正周期可以确 定ω的值,由于要得到的是余弦函数的图 象,再根据诱导公式把已知函数的解析式 变换成余弦函数的形式,根据三角函数图 象变换的规则解决即可.

π D.向右平移4个单位长度

2π 解析: ∵最小正周期为 π, 即 =π, 得 ω=2, ∴函数 f(x) ω π π π π π = sin(2x + ) = cos[ - (2x + )] = cos( - 2x) = cos(2x - ) = 4 2 4 4 4 π cos2(x-8),要想得到函数 g(x)=cos2x 的图象,只要把 f(x) π 的解析式中的 x 换成 x+8即可,根据三角函数图象变换规则 π 知,把函数 f(x)的图象向左平移8个单位长度即可,故选 A.

答案:A

这个题目与教材上讲解 y=Asin(ωx+φ)的图象时的例习 题一样,只是这里进行了“逆向设计”,教材上是从 y=sinx 讲解怎样变换为 y=Asin(ωx+φ)的,本题恰好相反.

变式迁移 1

(2009· 山东卷)将函数 y=sin2x 的图象向左

π 平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式 4 是 A.y=cos2x π C.y=1+sin(2x+ ) 4 B.y=2cos2x D.y=2sin2x ( )

π 解析: 所得解析式是 y = sin2(x + ) + 1 = cos2x + 1 = 4 2cos2x,故选 B.

答案:B

【例2】 (2009·宁夏、海南卷)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象 如下图所示,则φ=________.

思路分析:由图象可以看出其半周期的大 小,再根据图象可以确定一个函数值,通 过列三角函数方程就可以求出φ的值.

3π 5π 1 2π 5π 解析:函数的半周期是 2π- = ,即 × = ,故 ω 4 4 2 ω 4 4 4 = .又当 x=2π 时即函数值等于 1,故有 sin( ×2π+φ)=1, 5 5 4 π 11π 得5×2π+φ=2kπ+2,即 φ=2kπ- 10 (k∈Z),由-π≤φ<π, 9π 9π 取 k=1,即得 φ=10,故填10.

据三角函数图象求y=Asin(ωx+φ)+h的解析式, 主要解决四个数值A,ω,φ,h.A和h由函数图 象的最高点、最低点确定,ω由三角函数的周期 确定,φ由函数图象的位置确定.解决这类题目 一般是先根据函数图象找到函数的周期确定ω的 值,再根据函数图象上的一个特殊点确定φ 值.一般情况下这类题目中ω的值是唯一确定的, 但φ的值是不确定的,它有无数个,事实上,如 果φ0是满足条件的一个φ值,那么2kπ+φ0都是 满足条件的φ值,故这类题目一般都会限制φ的 取值范围.

变式迁移 2 函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<2π,x∈R)的部分图象如下图所示,则函 数的解析式为( )

π π A.y=-4sin( x- ) 8 4 π π B.y=-4sin( x+ ) 8 4 π π C.y=4sin(8x-4) π π D.y=4sin(8x+4)

T 2π π 解析:由图象可知,A=4, =8, =16,∴ω= ,设 2 ω 8 π π y=4sin( x+φ),代入最低点坐标(2,-4),可得 sin( +φ)= 8 4 π 3π 5π -1,∴4+φ=2kπ+ 2 ,k∈Z,∴φ=2kπ+ 4 ,k∈Z.满足条 5π 件一个 φ= 4 ,

5π π 5π π π π 即 φ= ,∴y=4sin( x+ )=4sin( x+π+ )=-4sin( 4 8 4 8 4 8 π x+ ).故选 B. 4

答案:B

【例 3】

π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b(ω>0,|φ|< ) 2

的图象的一部分如下图所示: (1)求 f(x)的解析式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程.

思路分析:(1)函数的最大值为 3,最小值为-1,周期 T π =π,从而 A,b,ω 可求,再代入( ,3),可求 φ 值. 6 (2)根据 y=sinx 的对称轴方程得到所求的对称轴方程.

解:(1)由图象可知,函数的最大值 M=3,最小值 m= 3-(-1) 3-1 -1,则 A= =2,b= = 1, 2 2 2 π 又 T=2(3π-6)=π, 2π 2π ∴ω= T = π =2, ∴f(x)=2sin(2x+φ)+1,

π π 将 x= ,y=3 代入上式,得 sin( +φ)=1, 6 3 π π ∴ +φ= +2kπ,k∈Z, 3 2 π π 即 φ=6+2kπ,k∈Z,∴φ=6, π ∴f(x)=2sin(2x+6)+1.

π π π 1 (2)由 2x+ = +kπ 得 x= + kπ,k∈Z, 6 2 6 2 π ∴f(x)=2sin(2x+ )+1 的对称轴方程为 6 π 1 x=6+2kπ,k∈Z.

变式迁移 3

(2009· 全国卷Ⅰ)如果函数 y=3cos(2x+φ) )

4π 的图象关于点( 3 ,0)中心对称,那么|φ|的最小值为( π A.6 π C.3 π B.4 π D.2

4π 4π 解析:根据题意 3cos(2× +φ)=0,由此得 2× +φ 3 3 π 13π =kπ+ (k∈Z),即 φ=kπ- (k∈Z).当 k=2 时,φ= 2 6

答案:A

π -6,此时|φ|最小,故选 A.

【例4】 已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是 时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作:y =f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t(时) y(米)
0 3 6 9 12 15 18 21 24

1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5

0.9 1.5 9

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成 是函数y=Acosωt+b. (1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+b 的最小正周期T,振幅A及函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对 冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判 断一天内的8∶00到20∶00之间,有多少 时间可供冲浪者进行运动?

思路分析:由表中数据依次求出b,A,ω得解 析式,再由图象及函数的单调性可求得第(2) 问.
解:(1)由表中数据知周期 T=12, 2π 2π π ∴ω= T =12=6, 由 t=0,y=1.5 得 A+b=1.5, 由 t=3,y=1.0 得 b=1.0, ∴A=0.5,b=1, 1 1 π ∴振幅为2,∴y=2cos6t+1.

(2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π ∴2cos6t+1>1, π π π π ∴cos6t>0,∴2kπ-2<6t<2kπ+2, 即 12k-3<t<12k+3 ① ∵0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定的 8∶00 至 20∶00 之间, 有 6 个小时时间可供 冲浪者运动,即 9∶00 至 15∶00.

将实际问题转化为三角函数有关问题应 注意以下几点: ①审题:把问题提供的“条件”逐条地 “翻译”成“数学语言”; ②描点画图,建立数学模型; ③求出三角函数解析式; ④利用函数的性质进行解题.

变式迁移 4 如右图所示,一个摩天轮半径为 10米,轮子的底部在地面上2米处,如果此摩天 轮每20秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处 (点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人 相对于地面的高度不超过7米.

解:(1)设此人相对于地面的高度为 h,时间为 t, π 则有 h=12+10sin10t(t≥0); π π 1 (2)由 h=12+10sin t≤7 得,sin t≤- , 10 10 2 7π π 11π 70 110 所以 6 ≤10t≤ 6 ,即 6 ≤t≤ 6 , 110 70 40 20 ∴ 6 -6=6=3, 此人相对于地面的高度不超过 7 米的时间大约为 7 秒.

1.图象变换 (1)平移变换 ①沿x轴平移,按“左加右减”法则; ②沿y轴平移,按“上加下减”法则. 注意:在平移变换中,平移的单位长度是看 x(或y)平移了多少.如果系数不为1,应先提取, 然后再判断.

(2)伸缩变换 ①沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为 1 原来的 倍(纵坐标 y 不变); ω ②沿 y 轴伸缩时, 纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原 来的 A 倍(横坐标 x 不变).

2.确定 y=Asin(ωx+φ)的解析式的步骤 (1)首先确定振幅和周期,从而得到 A 与 ω; (2)确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的第一零点 φ (-ω ,0)作为突破口.要注意从图象的升降情况找准第 一个零点的位置,同时要利用好最值点.具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0; π “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx+φ= ; “第三点”(即 2 图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=π;“第四点”(即图象 3π 的“谷点”)为 ωx+φ= ;“第五点”为 ωx+φ=2π. 2

3.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的对称问题 (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk π +φ=kπ+ ,k∈Z)成轴对称图形,也就是说过波峰或波谷处 2 且与 x 轴垂直的直线为其对称轴. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj,0)(其中 ωxj+φ= kπ,k∈Z)成中心对称图形,也就是说函数图象与 x 轴的交点 (平衡位置点)是其对称中心.

4.三角函数模型的应用及解题步骤 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图 象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函 数模型. (3)利用收集到的数据作出散点图,并根据散点 图进行函数拟合,从而得到函数模型.


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