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(考试必备)山东省潍坊三县2011届高三第一次联考(数学文)1


高三阶段性教学质量检测 数学试题(文科)
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.命题“若 ab =0,则 a =0 或 b =0”的逆否命题是 A.若 a =0 或 b =0,则 ab =0 C.若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 B.

若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 D.若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 ab ? 0

A.

1 2

B.

2 3

C. 2

D. ?

1 2

5. 已知函数 f ( x) ? 2x ? 2 ,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是

2. 已知 a, b, c 满足 c ? b ? a 且 ac ? 0 ,则下列选项中不一定 能成立的是 ...

c b A. ? a a

b?a ?0 B. c

b2 a2 C. ? c c

D.

a?c ?0 ac
6. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 D. 图象的函数解 析式是 A. y ? cos 2 x B. y ? 2sin x
2 2

3. 使“ lg m ? 1 ”成立的一个充分不必要条件是 A. m ??1, 2? B. m ? 1 C. 0 ? m ? 10

? 个单位,再向上平移 1 个单位, 所得 4
?
4

m ? (0,??)
4. 已知在等比数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ?

C



y ? 1 ? sin( 2 x ?

)

5 ,则该数列的公比等于 4

D. y ? 2cos x

7. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图象 如图所示,则 ? 等于 A.

11. 在锐角 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ,若

1 3

B.

2 3

C. 1

D. 2

sin A ?

2 2 ,a ? 2, 3

8. 曲线 y ?

1 3 4 x ? 在点(2, 4)处的切线方程是 3 3
B.

S△ABC ? 2 ,则 b 的值为
C . 4x ? y ? 4 ? 0 A. 3 B.

A . x ? 4y ? 4 ? 0 D. 4 x ? y ? 4 ? 0 9. 定 义 : F( x , y ) ? y

x ? 4y ? 4 ? 0

3 2 2

C. 2 2

D. 2 3

x

?x ? 0, y ? 0?

12. 若定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2] , 已 知 数 列 {an } 满 足 有 A. f (?25) ? f (80) ? f (11) C. f (?25) ? f (11) ? f (80) B. f (11) ? f (80) ? f (?25) D. f (80) ? f (11) ? f (? 25) 上是增函数,则

an ?

F ?n ,2 ? (n ? N ? ) ,若对任意正整数 n ,都有 an≥ak (k ? N? ) 成立, F ?2 , n ?

则 ak 的值为

32 B.1 C. D.2 25 1 1 10. 已知 x ? 1 , y ? 1 ,且 ln x , , ln y 成等比数列,则 xy 4 4
A.有最大值 e 最小值 e B.有最大值 e C.有最小值 e D.有

8 A. 9

第Ⅱ卷(共 90 分)
题号 得分 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 若 | a |? 2,| b |? 4 ,且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角是 14. 函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 的单调增区间是 . 二 17 18 19 三 20 21 22 总分

已 知 不 等 式

2? x ?0 的 解 集 为 A , 关 于 x 的 不 等 式 x ?1

1 ( ) 2 x ? 2? a ? x (a ? R ) 的解集为 B, 全集 U ? R , 求使 ? B ? B 的实 UA 2
数 a 的取值范围.

?2 x ? y ? 6≤0 ? 15. 不等式组 ? x ? y ? 3≥0 所表示的平面区域的面积为 ? y≤2 ?
16. 已知下列各式:

.

1 1 1 1 1 1 1 ? , 1 ? ? ? 1, 1 ? ? ? ? 2 2 3 2 3 4

?

1 3 1 1 1 ? , 1? ? ? ? 7 2 2 3 4

?

1 (本小题满分 12 分) ? 2, 18. 15 ? 2 2 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin x ? cos x . 3
(I)求函数 f ( x ) 的单调减区间;

则 按 此 规 律 可 猜 想 此 类 不 等 式 的 一 般 形 式 为 . (II)若 f (? ) ?

3 , 2? 是第一象限角,求 sin 2? 的值. 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分)

20. (本小题满分 12 分) 如图,互相垂直的两条公路 AP 、 AQ 旁有一矩形花园 ABCD ,现欲将 19. (本小题满分 12 分) 已知 {bn } 是公比大于 1 的等比数列, b1 , b3 是函数 f ( x) ? x ? 5x ? 4 的
2

其扩建成一个更大的三角形花园 AMN , 要求 M 在射线 AP 上,N 在射线

AQ 上,且 MN 过点 C ,其中 AB ? 36 米, AD ? 20 米. 记三
角形花园 AMN 的面积为 S . (I)问: DN 取何值时, S 取得最小值,并求出最小值;

两个零点. (I)求数列 {bn } 的通项公式; (II) 若数列 {an } 满足 an ? log2 bn ? n ? 2 , 且 a1 ? a 2 ?a 3 ? 求 m 的最大 值.

? am≤63 ,

(II)若 S 不超过 1764 平方米,求 DN 长的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)

已知在函数 f ( x) ? ax3 ? x 的图象上,以 N (1, b) 为切点的切线的倾斜角 为 45 .

n 项和为 Sn ,且 Sn ? (bn ?

1 2

n ). bn

(I)写出符合条件的数列 {an } 的一个通项公式; (I)求 a , b 的值; ( II ) 是 否 存 在 最 小 的 正 整 数 k , 使 得 不 等 式 f ( x)≤k ? 1996 对 于 (II)求 Sn 的表达式; (III)在(I) 、 (II)的条件下, c1 ? 2 ,当 n≥2 时,设 cn ? ?

x ?[? 1, 3] 恒成立?
若存在,试求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

1 , Tn an Sn 2

是数列 {cn } 的前 n 项和,且 Tn ? logm (1 ? 2m) 恒成立,求实数 m 的取值范 围.

22. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前五项依次是 0, ? , ?

1 3

1 3 2 , ? , ? . 正数数列 {bn } 的前 2 5 3

分 由( ) 所

1 2

2x

1 1 ? 2? a ? x 得 ( ) 2 x ? ( ) a ? x ,即 2 x ? a ? x ,解得 x ? a . 2 2
以 …………………………………………………………, 9

B ? (?? a .
分 因为 ? UA 即

B ? B ,所以 B ? ? U A ,故有 a≤ ? 2 .

a













高三数学(文科)参考答案
一、选择题 CCAAB DBDAC AA 二、填空题 13.

(??, ?2] .

…………………………………………..12 分

18. 解: (I)因为 f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

) ? sin 2 x ? cos 2 x

2? 3



14.

1 ( , ??) ; 2

15.

1 ;

16.

1?

1 1 ? ? 2 3


?

1 n ? ( n ? N* ) . 2 ?1 2
n

1 3 3 1 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . ... 2 2 2 2 6
..........3 分 所以,当 2k? ?

三、解答题 17. : 由

?
2

2? x ?0 x ?1

≤2 x ?

?
6

≤2k? ?





?2 ? x ? 1

, 即 k? ? 故

?
3

≤x≤k? ?
所 求

A ? (?2,1) .


…………………………….3 分 以 . ……………………………………? .5 ,

5? (k ? Z ) 时,函数 f ( x) 递减. 6
函 数

3? (k ? Z ) , 2



f ( x)











? UA?(

? 2

[ k? ?

?
3

, k? ?

5? ](k ? Z ) . 6

...........................6 分

bn ? b1qn?1 ? 2n?1 .

………………………6 分

(II)因为 2? 是第一象限角,且 sin(2? ? 所以 2k? ? 由

?

?
6

? 2? ?

?
6

? 2 k? ?

?
3

3 )? , 6 5

(II) an ? log2 bn ? n ? 2 ? log2 2n?1 ? n ? 2 ? 2n ? 1. 所 以 , 数 列 {an } 是 首 项 为 3 , 公 差 为 2 得 列. ……………………………..9 分 故有 a1 ? a2 ? a3 ? 以 即 m +2m ? 63≤0 .
2

(k ? Z ) .

的 等 差 数

? 4 cos(2? ? ) ? . 6 5


? 3 f (? ) ? sin(2? ? ) ? 6 5
?????????9 分

1 ? am =3m ? m(m ? 1) ? 2 ? m 2 +2m≤63 . 2

s

??

??

?
6

?

?

?

3

?
.



得 7.

i ??????????

6 20. 解: (I)设 DN ? x 米( x ? 0 ) ,则 AN ? x ? 20 .
因为 所

. 所 以 m 的 ……………………………………..12 分

?9≤m≤7

3









n

12 分 19. 解: (I)因为 b1 , b3 是函数 f ( x) ? x ? 5x ? 4 的两个零点,
2

DN AN x x ? 20 36( x ? 20) ? ? ,所以 ,即 AM ? . DC AM 36 AM x


?b1b3 ? 4 2 所以 b1 , b3 是方程 x ? 5x ? 4 ? 0 的两根,故有 ? . ?b1 ? b3 ? 5
因 为 公 比 大 于 1 , 所 以

S?
, 则 4分

b1 ? 1, b3 ? 4

1 2

x? x

2

???????????????? ? A

b2 ? 2 .
所 以 , 等

……………………………….3 分

? 18( x ?
比 为

400 ? 40)≥1440 ,当且仅当 x ? 20 时取等号. x








{bn }





b2 ?2 b1







S













1440





米. (

????????????????8 分 II ) 由

f (3) ? 15 .


………………………8 分

S?

1 x? 8 2 ( ≤1764 x

2

要 使 得 不 等 式 f ( x)≤k ? 1996 对 于 x ?[? 1 , 3 恒] 成 立 , 则

0

)

k≥15 ? 1996 ? 2011.
所以,存在最小的正整数 k ? 2011 ,使得不等式 f ( x)≤k ? 1996 对于

x ? 58 x ? 400≤0 . ?????????10 分
2

解得 8≤x≤50 . 所 以 ,

DN

x ?[? 1, 3]恒成立.
长 的 取 值 范 围 是 ???????????????? ??12 分 22.

[8, 50] .

………………………………………12 分

2 21. 解:依题意,得 f ?(1) ? tan 45 ,即 3a ? 1 ? 1, a ? . 3
因 为







I



an ?
所 以

f (1) ? b

1? n ( n ? N? ) . 1? n

……………………………………………2 分



1 b?? . 3

(II)因为 Sn ? ……………………………………………..4 分 即 S1 ? 1 .

1 n 1 1 (bn ? ) , bn ? 0 ,所以 b1 ? (b1 ? ) ,解得 b1 ? 1 , 2 bn 2 b1

2 3 2 2 . (II)由(I)知 f ( x ) ? x ? x . 令 f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 0, 得x ? ? 3 2
因为 f (?1) ? 所 以 ,

当 n≥2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ,所以 2Sn ? Sn ? Sn ?1 ?

1 2 2 2 2 , f (? )? , f( )?? , f (3) ? 15. 3 2 3 2 3


n . Sn ? Sn?1


x ?[?1,3] 时 ,

Sn ? Sn?1 ?
大 值 为

f ( x)





n Sn ? Sn?1



Sn 2 ? Sn?12 ? n .

……………………………5 分

所以, Sn?12 ? Sn?22 ? n ?1, Sn?22 ? Sn?32 ? n ? 2 ,?, S22 ? S12 ? 2 , 累加,得 Sn ? S ? 2 ? 3 ? 4 ?
2 2 1




m

l


? m ? .

……………………………………………… ..12 o

?n.
n(n ? 1) ?n? 2
, 即







Sn 2 ? 1 ? 2 ? 3 ?
………………..8 分

Sn ?

n(n ? 2

.

1

)

?0 ? m ? 1 ?m ? 1 ? ? 所以 ?1 ? 2m ? 0 ① 或 ?1 ? 2m ? 0 ② ?1 ? 2m ? m 2 ?1 ? 2m ? m 2 ? ?
解①得, 0 ? m ? 故 , 实

(III)在(I) 、 (II)的条件下, c1 ? 2 . 当 n≥2 时, cn ? ?

2 ? 1,不等式组②无解.


m













1 2 1 1 ? ? 2( ? ). 2 an Sn n(n ? 1) n ?1 n

(0,

2 ?1) .

………………………………….14 分

当 n ? 1 时, T1 ? c1 ? 2 ; 当 n≥2 时,

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ?
.

1 1 1 1 ? cn ? 2[1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1 2 2 3

(

1 1 1 ? )] ? 2(2 ? ) n ?1 n n

…………………………………………… ….10 分 因为 Tn ? logm (1 ? 2m) 恒成立,即 logm (1 ? 2m) 恒小于 Tn 的最小值. 显然, Tn 的最小值在 n ? 1 时取得,且最小值为 2.


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