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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第二章精要课件 超几何分布


2.1.3

2.1.3
【学习要求】

超几何分布

1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.
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2.理解超几何分布. 【学法指导】 二点分布是常见的离散型随机变量的概率分布, 如某队员在 比赛中能否胜出,某项科学试验是否成功,都可用二点分布

来研究.在产品抽样检验中,一般采用不放回抽样,则抽到 次品数服从超几何分布;在实际工作中,计算次品数为 k 的 概率,由于涉及产品总数,计算比较复杂,因而,当产品数 较大时,可用后面即将学到的二项分布来代替.

填一填·知识要点、记下疑难点

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超几何分布:一般地,设有总数为 N 件的两类物品,其中一
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类有 M 件,从所有物品中任取 n 件 (n≤N),这 n 件中所含 这类物品件数 X 是一个离散型随机变量, 它取值为 m 时的概 m n-m CMCN-M 率为 P(X=m)= (0≤m≤l, 为 n 和 M 中较小 l Cn N 的一个),则称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为 超几何分布,也称 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布.

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探究点一 问题
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超几何分布

超几何分布适合解决什么样的概率问题?
一个总体(共有 N 个)内含有两种不同的事物 A(M 个), B(N



-M 个),任取 n 个,其中恰有 X 个 A 符合即可断定是超几何 - k CMCn -kM N 分布.按照超几何分布的分布列 P(X=k)= Cn ,k= N 0,1,2,…,m,m=min{M,n},进行处理即可.

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例1

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从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中, 不放回任取 3
设随机变量 ξ 表示取出次品的件数, ξ 服从超几何分布, 则

件,求取得次品数为 ξ 的分布列.
其中 N=15,M=2,n=3.

ξ 的可能的取值为 0,1,2,相应的概率依次为 C0C3 22 C1C2 12 2 13 2 13 P(ξ=0)= 3 = ,P(ξ=1)= 3 = , C15 35 C15 35 C2C1 1 2 13 P(ξ=2)= C3 =35, 15 所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 22 35 1 12 35 2 1 35

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跟踪训练 1 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有 6 名 男生,4 名女生,从中选出 4 人参加数学竞赛考试,用 X 表示 其中的男生人数.
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(1)求 X 的分布列; (2)求至少有 2 名男生参加数学竞赛的概率.
解 (1)依题意随机变量 X 服从超几何分布,

CmC4-m 6 4 ∴P(X=m)= (m=0,1,2,3,4). C4 10 0 4 C6C4 1 ∴P(X=0)= C4 =210, 10 1 3 C6C4 4 P(X=1)= C4 =35, 10

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C2C2 3 6 4 P(X=2)= 4 = , C10 7
3 1 C6C4 8 P(X=3)= 4 = , C10 21

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4 0 C6C4 1 P(X=4)= 4 = , C10 14

∴X 的分布列为 X P (2)方法一 直接法 0 1 210 1 4 35 2 3 7 3 8 21 4 1 14

P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) 3 8 1 37 =7+21+14=42.

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方法二
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间接法

由分布列的性质,得 P(X≥2)=1-P(X<2)=1-[P(X=0)+P(X=1)] ? 1 4 ? 37 =1-?210+35?= . ? ? 42

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探究点二 实际应用

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例 2 在一次购物抽奖活动中, 假设某 10 张奖券中有一等奖券 1 张,可获得价值 50 元的奖品;有二等奖券 3 张,每张可获价 值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖,某顾客从这 10 张中任抽 2
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张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值 X(元)的分布列. 0 2 C4C6 1 2 解 (1)方法一 P=1- C2 =1-3=3. 10
C1C1+C2C0 30 2 4 6 4 6 方法二 P= = = . C2 45 3 10 2 即该顾客中奖的概率为 . 3

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(2)X 所有可能的取值为(单位:元):0,10,20,50,60,
0 2 1 1 C4C6 1 C3C6 2 且 P(X=0)= C2 =3;P(X=10)= C2 =5; 10 10 2 C3 1 C1C1 2 1 6 P(X=20)=C2 =15;P(X=50)= C2 =15; 10 10 1 1 C1C3 1 P(X=60)= C2 =15. 10 故 X 的分布列为

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X P 小结

0 1 3

10 2 5

20 1 15

50 2 15

60 1 15

此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题,

如产品中的正品和次品,盒中的白球和黑球,同学中的男生和女 生等,分析题意,判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解 决此类题目的关键.

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跟踪训练 2 交 5 元钱, 可以参加一次摸奖, 一袋中有同样大小 的球 10 个,其中 8 个标有 1 元钱,2 个标有 5 元钱,摸奖者只 能从中任取 2 个球,他所得奖励是所抽 2 球的钱数之和,求抽
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奖人所得钱数的分布列.

解 设抽奖人所得钱数为随机变量 ξ,则 ξ=2,6,10.
C2 28 C1C1 16 8 8 2 P(ξ=2)= 2 = ,P(ξ=6)= 2 = , C10 45 C10 45 C2 1 2 P(ξ=10)=C2 =45. 10 故 ξ 的分布列为

ξ P

2 28 45

6 16 45

10 1 45

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1.今有电子元件 50 个,其中一级品 45 个,二级品 5 个,从
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中任取 3 个,出现二级品的概率为 ( C ) 3 C1+C2+C5 C3 5 5 5 A. 3 B. C50 C3 50 C1C2+C2C1 C3 5 5 5 45 45 C.1- 3 D. C50 C3 50 解析 出现二级品的情况较多,可以考虑不出现二级品 3 C45 C3 45 概率为 3 ,故答案为 1- 3 . C50 C50

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2.一个箱内有 9 张票,其号数分别为 1,2,3,…,9,从中任 取 2 张,其号数至少有一个为奇数的概率是 1 1 A. B. 3 2 1 5 C. D. 6 6 ( D )

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解析

号数至少有一个奇数有两种情况,而其对立事件则 2 C4 1 1 5 全为偶数,其概率为C2=6,故答案为 1-6=6. 9

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?1,针尖向上 ? X=? ?0,针尖向下 ?

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3.在掷一枚图钉的随机试验中,令

,如果

针尖向上的概率为 0.8,试写出随机变量 X 的分布列为 _____________________.
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解析 由题意可知变量 X 服从二点分布, P(X=1)=0.8, 且 P(X=0)=0.2.
答案 X P 1 0.8 0 0.2

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4.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只 红球得 1 分,取到 1 只黑球得 3 分,设得分为随机变量 ξ, 13 35 则 P(ξ≤6)=________.

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解析 P(ξ≤6)=P(取到 1 只黑球 3 只红球)+P(取到 4 只红 C3C1 C4 13 4 3 4 球)= C4 +C4=35. 7 7

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1.二点分布
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二点分布是很简单的一种概率分布,二点分布的试验结果 只有两种可能,要注意成功概率的值指的是哪一个量. 2.超几何分布 超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数,只要 Ck Cn-k M N-M 知道 N、M 和 n 就可以根据公式:P(X=k)= 求出 Cn N X 取不同值 k 时的概率.学习时,不能机械地去记忆公式, 而要结合条件以及组合知识理解 M、N、n、k 的含义.


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