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高二竞赛试题


高二年级数学竞赛试题及答案
一、选择题本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.已知集合 A ? y y ? x ? 1, x ? R , B ? x x ? x ? 2 ? 0 ,则下列正确的是
2 2

?

?

?


?

(A) A ? B ? y y ? 1 , (C) A ? B ? y ?2 ? y ? 1

?

?

(B) A ? B ? y y ? 2

?

?

?

?

(D) A ? B ? y y ? 2或y ? ?1

?

?

2.设圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ,直线 l 的方程为 (m ? 1) x ? my ? 1 ? 0 ( m ? R ),圆 C 被直线 l 截得的弦长等于 (A) 4 (B) 2 2 (C) 2 (D) 与 m 有关 )

3. 已知点 A (2, 3) 与 B (?1, 2) 在直线 ax ? 2 y ? a ? 0 的两侧, 则实数 a 的取值范围是 ( (A) ?a | a ? 2? (C) a | a ? 2或a ? ?6 (B) ?a | a ? ?6?

?

?

(D) ?a | ?6 ? a ? 2?

4.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S5 ? S9 ,则 a3 : a5 ? A. 9 : 5 B. 5 : 9 C. 3: 5 D. 5 : 3

2 5. 已知|a|=2|b|,命题 p : 关于 x 的方程 x +|a| x +a ? b=0 没有实数根; 命题 q : <a ? b> ? [0,

?
3

],

则命题 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件

(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.函数 f ( x) ? loga (?ax2 ? 3x ? 2a ?1) 对于任意 x ? (0,1] 恒有意义,则实数 a 的取值范围 是

1 且a ?1 (D) a ? 1 2 7.已知 a, b, c 为三条不同的直线,且 a ? 平面 M , b ? 平面 N , M ? N ? c . (1) 若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a 、 b 中的一条相交; (2) 若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直; (3) 若 a ∥ b ,则必有 a ∥ c ; (4) 若 a ? b , a ? c ,则必有 M ? N .
(A) a ? 0 且 a ? 1 (B) a ? (C) a ? 其中正确的命题的个数是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

1 且a ?1 2

8.在 ?ABC 中, a ? b ? 10 , c ? 8 ,则 tan

A B tan 的值是 2 2

A.

1 9

B.

1 3

C.3

D.9

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上。 9 . 若 数 列 {an } 满 足

a1 ? 2 , nan?1 ? (n ? 1)an ? 2 , 则 数 列 {an } 的 通 项 公 式

an ? _________________
10.已知两点 M ? ?5,0? , N ? 5,0? ,若直线上存在点 P ,使 PM ? PN ? 6 ,则称该直线 为“和谐直线” ,给出下列直线① y ? x ? 1 ;② y ? 2 ; ③y?

5 x ;④ y ? 2 x ? 1 ;其中为“和谐直线”的是 3

11.已知 a>0,b>0 且 a+b ?3 =ab,则 a ? b 的最小值是________________

? x ? y ? 1≥ 0, ? 12.若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 若 z ? x ? 2 y ,则 z 的取值范围是________________ ? x ≤ 0, ?
2 13.若 p : x ? 2 x ? 3 ? 0 , q : ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ,且 q 是 p 的必要不充分条件,

则实数 m 的取值范围是________________ 14. 数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规则排列:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 , , , , , , , , , , , ?, 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6
若存在整数 k ,使 Sk ? 10 , Sk ?1 ? 10 ,则 ak ? .

三、解答题: (本大题共 4 道题,计 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本题满分 12 分) .在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ? (1)求 b 的值(5 分) ; sin C (2)求 的值. (7 分) 。

1 . 4

16.(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, 求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 . a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,

17. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的不等式

a ( x ? 1) ? 2 的解集为 A ,且 3 ? A . x?2

(Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (4 分) (Ⅱ)求集合 A 。 (8 分)

18. (本小题满分 12 分) 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A , a 2 b2

P 为椭圆 C 上任意一点.已知 PF 1 ? PF 2 的最大值为 3,最小值为 2.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点( M 、 N 不是左右顶点) , 且以 MN 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.









一、选择题本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 40 分。 A、A、C、A、 A、B、C、A。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上。 9. an ? 4n ? 2 10. ①② 11. 2 12.

?0, 2?

13. (??, ?2] ? [4, ? ?) 14.

5 7

三、解答题: (本大题共 4 道题,计 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(12 分)解: (1)由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

????????????2 分

得 b ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3?
2 2 2

1 ? 10 , 4

?????????????????3分

? b ? 10 .

?????????????????????????5分

(2)方法 1:由余弦定理,得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 , 2ab

?????????7分

?
∵ C 是 ?ABC 的内角, ∴ sin C ? 1 ? cos C ?
2

4 ? 10 ? 9 10 , ? 8 2 ? 2 ? 10

??????9 分

3 6 . 8

?????????????12 分

方法 2:∵ cos B ?

1 ,且 B 是 ?ABC 的内角, 4

∴ sin B ? 1 ? cos B ?
2

15 . 4

?????????????7分

根据正弦定理,

b c ? , sin B sin C

????????????9 分

得 sin C ?

c sin B ? b

3?

15 4 ?3 6 . 8 10

??????????12 分

16.(12 分) 解:

设数列 ?an ? 的公差为 d ,则

a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d .
2 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,

3分

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d )2 , 整理得 10d 2 ? 10d ? 0 , 解得 d ? 0 或 d ? 1 . 当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 . 当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3?1 ? 7 , 于是 S20 ? 20a1 ?
20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 . 12 分 2 a ( x ? 1) 2a 17. 解: (Ⅰ)∵ 3 ? A ,∴当 x ? 3 时,有 ≤2,即 ≤2. ??????2 x?2 3? 2
∴ a ? 1 .即 a 的取值范围是 ?a | a ? 1 ?. (Ⅱ) ????????????4 分

7分 9分



a( x ? 1) a( x ? 1) (a ? 2) x ? (a ? 4) ?2? ?2?0? ? 0 ??????6 分 x?2 x?2 x?2 a?4 x? a ? 2 ? 0 (由(Ⅰ)知 a ? 2 ? 0 ) , ? x?2 a?4 ?a ?2? 又由 知: a?2 a?2
当 0 ? a ? 1 时,

a?4 a ? 4? ? ? 2 ,则集合 A ? ? x | 2 ? x ? ? ;?????8 分 a?2 a ? 2? ?
????????????9 分

当 a ? 0 时,原不等式解集 A 为空集; 当 a ? 0 时,

a?4 ? a?4 ? ? 2 ,则集合 A ? ? x | ? x ? 2? . ?????10 分 a?2 ? a?2 ?

综上所述: 当 0 ? a ? 1 时, 集合 A ? ? x | 2 ? x ?

? ?

a ? 4? ? ;当 a ? 0 时,集合 A 为 a ? 2?

空集;当 a ? 0 时,集合 A ? ? x | 18.(14 分)

? ?

a?4 ? ? x ? 2? . ?????????12 分 a?2 ?

解: (1)? P 是椭圆上任一点,? | PF1 | ? | PF2 |? 2a 且 a ? c ?| PF1 |? a ? c

2分

y ? PF 1 ? PF 2 ?| PF 1 || PF 2 | cos?F 1 PF 2
1 ? [| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c 2 ] 2 1 ? [| PF1 |2 ?(| 2a ? | PF1 |) 2 ? 4c 2 ] 2

? (| PF1 | ?a)2 ? a2 ? 2c2 .

5分

2 2 2 2 当 | PF1 |? a 时,y 有最小值 a ? 2c ; 当 | PF1 |? a ? c 或 a ? c 时, y 有最大值 a ? c .

? a2 ? c2 ? 3 , ?? 2 2 ?a ? 2c ? 2

?a 2 ? 4 , ? 2 ?c ?1

b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 .

x2 y 2 ? 1. ? 椭圆方程为 ? 4 3
(2)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得

8分

(4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .
? x1 ? x2 ? ?8km 4m2 ? 12 , x x ? . 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
10 分

? y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 , ? MN 为直径的圆过点 A ? AM ? AN ? 0 ,?7m2 ? 16km ? 4k 2 ? 0 ,
2 ? m ? ? k 或 m ? ?2k 都满足 ? ? 0 , 7
若 m ? ?2k 直线 l 恒过定点 (2, 0) 不合题意舍去, 若m ? ? 12 分

2 2 2 k 直线 l :y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) . 7 7 7

14 分


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