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2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题与答案详解


2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数 学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改 动,

先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.2013-1-24 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh . 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A.

1 2 ? i 5 5

i 等于 2?i 1 2 B. ? ? i 5 5

C.

1 2 ? i 5 5

D. ?

1 2 ? i 5 5
开始

2.命题“ ?x ? R, x2 ?1 ? 1 ”的否定是 A. ?x ? R, x2 ?1 ? 1 C. ?x ? R, x2 ?1 ? 1 B. ?x ? R, x2 ?1 ? 1 D. ?x ? R, x2 ?1 ? 1

s=0 i=1

3.某程序框图如图所示,该程序运行后,输出 s 的值是 A.10 B.15 C.20 D.30 4.已知 a ? (1, 2) , b ? (0,1) , c ? (k , ?2) ,若 (a ? 2b) ? c ,则 k ? A. 2 B. ?2 C. 8 D. ?8

s=s+2i Y

i=i+1

i<5? N 输出 s 结束

? y?x ? 5.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
A. ?3 B.

1 2

C. 5

D. 6

6.已知集合 M ? x log2 ( x ?1) ? 2 , N ? x a ? x ? 6 A. 4 B. 5 C. 6

?

?

?

?

,且 M ? N ? ? 2, b ? ,则 a ? b ? D. 7

7.函数 f ( x) ? ex ? x2 ? 2 在区间 ? ?2,1? 内零点的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的

y 2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 )焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线 a 2 b2

与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为 A.

1 3

B.

1 2

第 1 页 共 10 页

C.

3 3

D.

2 2

9.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图 如图所示,则该几何体的侧视图可以为

正视图

A.

B.

C.

D.

10.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4x ? c( x ?R) 的值域为 [0, ??) ,则 A. 3 B.

1 9 ? 的最小值为 c a
D. 7

俯视图 第 9 题图

9 2

C. 5

二、填空题:本大共 5 小题.考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、 乙、丙三组, 对应的城市的个数分别为 4 、 12 、 8 .若用分层抽样的方法抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为 . 12.函数 y ? sin x ? sin ? x ? 13.观察下列不等式: ①

? ?

??

? 的最小正周期为 3?

,最大值是



1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? ? 3 ;? ? ? 2 ;③ 2 2 6 12 2 6

则第 5 个不等式为 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线 l 过点 (1, 0) 且与直线 ? ? 标方程为 . 15. (几何证明选讲)如图, M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的 中点,直线 l 过点 M 分别交 AD , AC 于点 E , F . 若 AD ? 3AE ,则 AF : FC ? . A E

?
3
F

( ? ? R )垂直,则直线 l 极坐 C B l

D

M
第 15 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)
? 如图,在△ ABC 中, ?C ? 45 , D 为 BC 中点, BC ? 2 .

A

记锐角 ?ADB ? ? .且满足 cos 2? ? ? (1)求 cos? ; (2)求 BC 边上高的值.

7 . 25

C

D

B

第 16 题图

17. (本题满分 12 分) 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站
第 2 页 共 10 页

台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如下表所示(单位:min) : 组别 一 二 三 四 五 候车时间 人数 2 6 4 2 1

[0,5)

[5,10)
[10,15)

[15, 20)
[20, 25]

(1)求这 15 名乘客的平均候车时间; (2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (3) 若从上表第三、 四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查, 求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 18. (本题满分 14 分) 如图所示,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为 线段 AB 上一点,且 AD ? P

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3

且 BC ? 3AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为 点 D , PD ? BD . (1)求证: CD ? 平面 PAB ; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离. B

A

D C

O

19. (本题满分 14 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 ,公差不为零的等差数列,且 b1 , b3 , b11 成 等比数列. (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (3)求证:

b b1 b2 b3 ? ? ??? n ? 5 . a1 a2 a3 an

20. (本题满分 14 分) 已知 A(?2, 0) , B(2, 0) , C (m, n) . (1)若 m ? 1, n ? 3 ,求 ?ABC 的外接圆的方程; (2)若以线段 AB 为直径的圆 O 过点 C (异于点 A, B ) ,直线 x ? 2 交直线 AC 于点 R ,线段 BR 的
第 3 页 共 10 页

中点为 D ,试判断直线 CD 与圆 O 的位置关系,并证明你的结论.

21. (本题满分 14 分)

ex ?1 设函数 f ( x ) ? , x ? 0. x
(1)判断函数 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上的单调性; (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式 f ( x) ? 1 ? a 成立.

第 4 页 共 10 页

2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 D 9 B 10 A A C D C C D B 答案 二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 2 12. 2? (2 分) 3 (3 分) , 13.

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 5 2 6 12 20 30
15. 1: 4

14. 2? sin(? ?

?

) ? 1 (或 2 ? cos(? ? ) ? 1、 ? cos ? ? 3? sin ? ? 1 ) 6 3

?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解析: (1)∵ cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? ? ∵ ? ? (0,

?

7 9 ,∴ cos2 ? ? , 25 25
-----------------5 分

3 ) ,∴ cos ? ? . 2 5 4 , 5

(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? ∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ,
?

∴ sin ?CAD ? sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2 , 10

-----------------9 分

在 ?ACD 中,由正弦定理得:

CD AD , ? sin ?CAD sin ?C

CD ? sin ?C ∴ AD ? ? sin ?CAD

1?

2 2 ? 5, 2 10

-----------------11 分

A

4 ? 4. 5 方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH
则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ? 在直角△ ADH 中,由(1)可得 cos ? ?

-----------------12 分

DB 3 ? , AD 5

C

D

B

第 16 题图

H

则不妨设 AD ? 5m, 则 DH ? 3m, AH ? 4m 注意到 ?C =45 ,则 ?AHC 为等腰直角三角形,所以 CD ? DH ? AH ,
?

-----------------8 分

则 1 ? 3m ? 4m 所以 m ? 1,即 AH ? 4 17. (本题满分 12 分) 解析:

-----------------10 分 -----------------12 分

第 5 页 共 10 页

1 1 (2.5 ? 2 ? 7.5 ? 6 ? 12.5 ? 4 ? 17.5 ? 2 ? 22.5 ?1) ? ?157.5=10.5 min.-----------------3 分 15 15 3? 6 8 (2)候车时间少于 10 分钟的概率为 -----------------4 分 ? , 15 15 8 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 ? -----------------6 分 ? 32 人. 15
(1) (3) 将第三组乘客编号为 a1, a2 , a3 , a4 , 第四组乘客编号为 b1 , b2 . 6 人中任选两人有包含以下基本事件: 从

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a1, b1),(a1, b2 ) , (a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1),(a2 , b2 ) , (a3 , a4 ),(a3 , b1),(a3 , b2 ) , (a4 , b1 ),(a4 , b2 ) , (b1 , b2 ) ,
其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 ----------------10 分

8 . 15

-----------------12 分 P

18. (本题满分 14 分) 解析: (Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,
?

∴?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分

A

D O C

B

(注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分. ) 法 2:∵AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , ∵ Rt?ABC 中, AB ? 4 , 在 ∴ 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, DB ? 3 , AB ? 4 , BC ? 2 3 , 由



BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2

∴?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC ,
第 6 页 共 10 页

∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 法 3:∵AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,
?

∵ AB ? 4 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 ,
2 2 2 ? 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 , 2 2 2 ∴CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .-----------------3 分

∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 (Ⅱ)法 1:由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3,--------7 分 (注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要求出线段的长度,酌情给分. ) ∴VP ? BDC ? 又 PB ?

1 1 1 1 1 3 3 .--------10 分 S?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 2 3 2 2

PD 2 ? DB 2 ? 3 2 , PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 3 , BC ? DB2 ? DC 2 ? 2 3 ,

∴?PBC 为等腰三角形,则 S?PBC ? 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d , 由 VP?BDC ? VD?PBC 得, S?PBC ? d ?

1 9 3 15 .--------12 分 ? 3 2 ? 12 ? ? 2 2 2

1 3

3 3 3 5 ,解得 d ? .--------14 分 2 5
P

法 2:由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3,

过点 D 作 DE ? CB ,垂足为 E ,连接 PE ,再过点 D 作 DF ? PE ,垂足为 F .-----------------8 分 ∵PD ? 平面 ABC ,又 CB ? 平面 ABC , ∴PD ? CB ,又 PD ? DE ? D , ∴CB ? 平面 PDE ,又 DF ? 平面 PDE , ∴CB ? DF ,又 CB ? PE ? E , ∴DF ? 平面 PBC ,故 DF 为点 D 到平面 PBC 的距离.--------10 分 A D F O E C B

3 5 3 2 2 在 Rt?DEB 中, DE ? DB ? sin 30 ? , PE ? PD ? DE ? , 2 2
?

第 7 页 共 10 页

3 3? PD ? DE 2 ? 3 5 ,即点 D 到平面 PBC 的距离为 3 5 .-------14 分 在 Rt?PDE 中, DF ? ? 5 PE 5 3 5 2
19. (本题满分 14 分) 解析: (1)∵ Sn ? 2an ? 2 , ∴当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 ;当 n ? 2 时, S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 ,解得 a2 ? 4 ; 当 n ? 3 时, S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2a3 ? 2 ,解得 a3 ? 8 . -----------------3 分 -----------------5 分

(2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 ,

得 an ? 2an?1 又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 , a1 ? 2 ,∴数列{ an }是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列,
n 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2 .

-----------------7 分

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1, b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ?10d ) , 解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 , 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ?1 .-----------------10 分 (3)令 Tn ? -----------------8 分 ----------------9 分

b b1 b2 b3 2 5 8 3n ?1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? n , a1 a2 a3 an 2 2 2 2

2Tn ? 2 ?
两式式相减得

5 8 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 ,-----------------11 分 1 2 2 2

3 3 3 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? n , 1 2 2 2 2 3 1 (1 ? n ?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 ? n ? 5 ? n ,-----------------13 分 ∴ Tn ? 2 ? 2 1 2 2 1? 2 3n ? 5 又 ? 0 ,故 Tn ? 5 .-----------------14 分 2n Tn ? 2 ?
20. (本题满分 14 分) 解析: (1)法 1:设所求圆的方程为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

? 4 ? 2D ? F ? 0 ? 由题意可得 ? 4 ? 2 D ? F ? 0 ,解得 D ? E ? 0, F ? ?4 , ? ?1 ? 3 ? D ? 3E ? F ? 0
第 8 页 共 10 页

∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y2 ? 4 ? 0 ,即 x2 ? y2 ? 4 .-----------------6 分 法 2:线段 AC 的中点为 (? ,

1 3 3 , ) ,直线 AC 的斜率为 k1 ? 2 2 3 3 1 ? ? 3( x ? ) , 2 2

∴线段 AC 的中垂线的方程为 y ? 线段 AB 的中垂线方程为 x ? 0 ,

∴ ?ABC 的外接圆圆心为 (0, 0) ,半径为 r ? 2 , ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y2 ? 4 .-----------------6 分

| 法 3:? OC |? (1 ? 0) ? ( 3 ? 0) ? 2 ,而 | OA |?| OB |? 2 ,
2 2

∴ ?ABC 的外接圆是以 O 为圆心, 2 为半径的圆, ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y2 ? 4 .-----------------6 分 法 4:直线 AC 的斜率为 k1 ?

3 ,直线 BC 的斜率为 k2 ? ? 3 , 3

∴ k1 ? k2 ? ?1 ,即 AC ? BC , ∴ ?ABC 的外接圆是以线段 AB 为直径的圆, ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y2 ? 4 .-----------------6 分 (2)由题意可知以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2 ? y2 ? 4 ,设点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR ,----------------8 分 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t ( m ? 2) , ∴t ?

??? ??? ? ?

????

??? ?

4n , m?2 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ) ,-----------------10 分 m?2 m?2
n? 2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

∴点 R 的坐标为 (2,

∴直线 CD 的斜率为 k ?

2 2 2 2 而 m ? n ? 4 ,∴ m ? 4 ? ?n ,

∴k ?

mn m ? ? ,-----------------12 分 2 ?n n

第 9 页 共 10 页

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n
4 m ?n
2 2

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与圆 O 相切. 21. (本题满分 14 分) 解析: (1) f ?( x) ?

?

4 ? 2 ? r, 4
-----------------14 分

xe x ? (e x ? 1) ( x ? 1)e x ? 1 ? , x2 x2

-----------------2 分

令 h( x) ? ( x ?1)ex ?1,则 h?( x) ? ex ? ex ( x ?1) ? xex , 当 x ? 0 时, h?( x) ? xex ? 0,∴ h ( x ) 是 ? 0, ?? ? 上的增函数, ∴ h( x) ? h(0) ? 0 , 故 f ?( x) ?

h( x) ? 0 ,即函数 f ( x) 是 ? 0, ?? ? 上的增函数. x2

-----------------6 分

(2) f ( x) ? 1 ?

ex ?1 ex ? x ?1 , ?1 ? x x
-----------------8 分

当 x ? 0 时,令 g ( x) ? ex ? x ?1,则 g?( x) ? ex ?1 ? 0 , 故 g ( x) ? g (0) ? 0 ,∴ f ( x ) ? 1 ?

ex ? x ?1 , x

原不等式化为

ex ? x ?1 ? a ,即 ex ? (1? a) x ?1 ? 0 ,-----------------10 分 x

令 ?( x) ? ex ? (1? a) x ?1,则 ??( x) ? ex ? (1? a) ,
x 由 ? ?( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) ,

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 . 故当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ( x) 取最小值 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ,-----------------12 分 令 s ( a) ?

1 1 a a ? ?? ?0. ? ln(1 ? a), a ? 0 ,则 s?(a) ? 2 (1 ? a) 1 ? a (1 ? a) 2 1? a

故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立.----------------14 分

第 10 页 共 10 页


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