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2014年全国高中数学联赛模拟卷(7)(一试+二试

时间:2014-04-29


2014 年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)__________ 1. 集合 A ? {x 2a ?1 ? x ? 3a ? 5} , B ? {x 3 ? x ? 33}, A ? ( A B) , 则 a 的取值范围是___________
2. 某人投两次骰子, 先后得到点数 m, n , 用来作为一元二次方程 x ? mx ? n ? 0 的系数, 则使方程有 实根的概率为______________ F E 3. 过四面体 ABCD 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 ABCD 的外接球相切
2

于点 D ,且与平面 ABC 相切。若 AD ? 2 3, ?BAD ? ?CAD ? 45?, ?BAC ? 60? , A 则四面体 ABCD 的外接球的半径 r =________ 4. 如图, M , N 分别为正六边形 ABCDEF 的对角线 AC,CE 的内分点, AM CN 且 = =λ, 若 B,M,N 三点共线,则 ? =______________ AC CE

N M B C

D

5. 已知 f ( x) ? x2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 3a ? b 是偶函数,则函数图像与 y 轴交点的纵坐标的最大值是 1 6. 对所有的实数 x 及 1 ? t ? 2 均有 ( x ? t 2 ? 2)2 ? ( x ? at )2 > , 则实数 a 的取值范围是 ______ . 8 7. 定义“n 次幂平均三角形”:如果△ABC 的三边满足等式: b ? (

an ? cn 1 ) n ( n ? Z ), 则称△ABC 为 2
______ .

“n 次幂平均三角形”. 如果△ABC 为“3 次幂平均三角形”, 则角 B 的最大值是

8. 设 u , v, w 为复数, 其中 w ? a ? bi a, b ? 3, a ? b ? 25 , u ? w ? 3v , 若 v ? 1 , 则当 u 的辐角主值
2 2

?

?

u 的值为_____________ w 二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9.定义域为实数集 R 的函数 f(x)同时满足以下 3 个条件:①x>0 时,f(x)>0,②f(1)=2, 2 2 ③对任意 m,n ? R ,都有 f(m+n) =f(m)+f(n).设集合 A ? {( x, y ) f (3 x ) ? f (4 y ) ? 24} ,
最小时,

B ? {( x, y) f ( x) ? f (ay) ? f (3) ? 0} , C ? {( x, y ) | f ( x) ?
且 A∩C≠Ф ,试求实数 a 的取值范围.

1 f ( y 2 ) ? f ( a)} ,若 A∩B≠Ф 2

10. 已知双曲线方程 x 2 ?

y2 π ? 1 ,是否存在过焦点的直线 l,交双曲线于 A、B 两点,使得∠AOB=2. 2

若存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由。

11. 数列{an}满足对任意 n∈N*, ? ai ? 1 ? ? (ai ? 1) ,求 ? ai ? i 的最小值.
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

2003

2014 模拟卷(7)

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷(7)答案
? 2a ? 1 ? 3 1、由条件知 A ? B , ① A=Ф , 2a+1>3a+5, ② A≠Ф , ? ?3a ? 5 ? 22 , 解得 a<-4 或 1≤a≤9. ?3a ? 5 ? 2a ? 1 ?
2、由题意知, m, n ??1,2,3,4,5,6? ,则事件总数为 36,而方程有实根等价于 m ? 4n , 即: n ?
2

m2 , 4

19 据此可列出 n 的值:1, 2, 3, 4, 5, 6。 m 的个数为:5, 4, 3, 3, 2, 2。即 5+4+3+3+2+2=19,故概率为 36 3、过 D 作平面 ABC 的垂线,垂足为 H ,作 DE ? AB ,垂足为 E , DF ? AC ,垂足为 F , 则 HE ? AB, HF ? AC , 且有 AE ? AF ? AD cos45? ? 6 。 由于 AEH ? AFH , 则 ?HAE ? 30? ,

AH ?

AE ? 2 2 ,DH ? AD2 ? AH 2 ? 2 ,因此 DH 为半径为 1 的球的直径,从而四面体 ABCD cos 30?
2

的外接球的球心 O 在 DH 的延长线上,于是有 r 2 ? ? r ? 2? ? 2 2

?

? ,解得 r ? 3 .
2

由A M ?? A C , 3, 1 CB ,CA 是 PCE 边上的中线,CN ? ?CE ,则有 CA ? CE ? CP , 可得:CM ? ?1 ? ? ? CA ,又 CP ? 3 2 3 1 ? ? ? ? CB ,因为当 B,M,N 三点共线时, 1? ? 1 1 3 CM ? CN ? CB ,整理得:CM ? CN ? 即: 1? ? 2? 2 2? 2 1 ? ? 3 ?1 ? ? ? 3 ? ? 1 ,解得 ? ? 存在实数 t 使得 CM ? ?1 ? t ? CN ? tCB ,故 2? 2 3 4、 延长 EA, CB 交于 P, 设正方形边长为 1, 易知 PB=2, A 为 EP 的中点, EA=AP=

?

?

2 2 2 2 5、∵ f ( x ) 是偶函数, ∴ f (? x) ? f ( x) , 即 x ? (b ? 4 ? a ) x ? 3a ? b ? x ? (b ? 4 ? a ) x ? 3a ? b ,

(b ? 4 ? a2 ) x ? 0 , b ? 4 ? a2 . f ( x) 的图像与 y 轴交点的纵坐标是 3a ? b ? 3a ? 4 ? a2 ,
设 a=2cosθ, b=2sinθ, θ∈[0, π], 3a-b=6cosθ-2sinθ, 当 θ=π 时,最大为 6 6、 2[( x ? t ? 2) ? ( x ? at ) ] ? [( x ? t ? 2) ? ( x ? at )] ? [( x ? t ? 2) ? ( x ? at )]
2 2 2 2 2 2 2

2[( x ? t 2 ? 2)2 ? ( x ? at )2 ] ? (2x ? t 2 ? 2 ? at )2 ? (t 2 ? 2 ? at )2 1 1 2 2 2 2 2 2 即 (2 x ? t ? 2 ? at ) ? (t ? 2 ? at ) ? 恒成立, 则 (t ? 2 ? at ) ? , 4 4 3 3 3 5 2 2 2 t2 ? t2 ? t ? t ? 1 1 2 ? 6, 2 2 2? 2 或a ? 2. ∵ 即 t ? 2 ? at ? 或 t ? 2 ? at ? ? . a ? t t 2 2 t t 3 t2 ? 3 6 2 2) ? 6 . ? [1, 2] .故 a ? ( 当且仅当 t ? , 即 t ? min 2 2 t 5 5 5 5 t2 ? t2 ? 12 ? 2 ? t ? 2 在 [1, 2] 单调递减, 故 a ? ( 2) ? 2?7. 又易知函数 max t t t 1 2 7 综上可知, 实数 a 的取值范围是 ( ??, 6) ( , ??) . 2 3 3 1 a ?c 3 ) , 猜想当 a ? c 时, 角 B 达到最大值, 由余弦定理知, 7. 解:注意到条件 b ? ( 2

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a3 ? c3 3 a3 ? a3 3 ) a2 ? c2 ? ( ) a ?c ?b 1 ? 2 2 ? ? ? , 得到 B= . 此时 cos B ? 2 2ac 2ac 2a 2 3 3 3 2 a ?c 3 a2 ? c2 ? ( ) 1 1 2 cos B ? ? , cos B ? 为此只需证明 . 即证明 2ac 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 即 4(a ? ac ? c ) ? (a ? c ) ? [(a ? c)(a ? ac ? c )] ,
2 2 2

a2 ? c2 ? (

2

2

即 4(a2 ? ac ? c2 ) ? (a ? c)2 , 即 3(a ? c)2 ? 0 . 显然. 8、因为 v ? 1 ,所以 u ? w ? 3 v ? 3 ,于是 u 对应的点 P 在以 w 对应的点 M 为圆心, 3 为半经的圆 C 上,当 u 的辐角主值最小时,OP 与圆 C 相切,而 OM ? 5 , PM ? 3 , 则 OP ? 4 ,于是 所以

w u

?

w 4 3 5 ,又 的辐角主值 ? ? ?POM , cos ? ? , sin ? ? , u 5 5 4

u 16 12 w 5?4 3 ? 3 ? i ? ? ? i ? ? 1 ? i ,故 ? w 25 25 u 4?5 5 ? 4

9、由条件③令 m=0 得 f(0)=0;再令 m=x,n=-x 得:f(-x) =-f(x);所以 f(x)在 R 上是奇函数. 设 x1,x2∈R,且 x2>x1,则 x2-x1>0,由①和③知: f ?x2 ? x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?? x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? >0 ,所以 f ?x ? 在 R 上是增函数. 由 f(1)=2 及③可得:24=12f(1)=f(12),所以 f(3x2)+f(4y2)≤24,
2 2 即 f(3x2+4y2)≤f(12),从而 A ? ? x, y ? 3 x ? 4 y ? 12 ;

?

?

由 f(x) -f(ay)+f(3)=0 得:f(x-ay+3)=f(0),从而 B ? 由 f ?x ? ?

?? x, y ? x ? ay ? 3 ? 0? ;

1 f y 2 ? f ?a ? 得: f ? 2 x ? a ? ? f ? y 2 ? ,从而 C ? ? x, y ? y 2 ? 2 x ? 2a ; 2 13 15 ? a ? 2; 由 A∩B≠Ф 可求得: a ? ;由 A∩C≠Ф 可求得: ? 6 3 ? 13 15 ? ? 15 ? ,2? . 所以实数 a 的取值范围是: ?? ,? ??? 3 ? ? 3 ? 6 ? 2 y 2 ? 1 .①, 焦点坐标 ? 3,0 ,不防设 l 过右焦点 F: 3,0 . 10、 x ? 2 2 ? 若 l ? x 轴,则 A,B 坐标为 3 ,?2 , 3 ,?2 ? ?AOB ? 2 arctan > ,矛盾! 3 2

? ?

?

?

?

?

? ??

?

?

?

故可设 l 的方程为 y ? k x ? 3 .② ∵ ?AOB ?

?
2

?

?

设 A: (x1,y1),B(x2,y2). ③

,∴

y1 y 2 ? ? ?1 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 . x1 x2

2 2 2 2 2 2 由①、②,得 2 x ? k x ? 3 ? 2 ? k ? 2 x ? 2 3k x ? 3k ? 2 ? 0 . k2=2 时,④只有一个根,至多只能对应一个交点,不可能.故 k2≠2.

?

?

2

?

?

?

?



2 3k 2 , ⑤ k2 ?2 3k 2 ? 2 x1 x 2 ? 2 . ⑥ k ?2 由②、⑤、⑥,得 y1 y2 ? k 2 x1 ? 3 x2 ? 3 ? k 2 x1 x2 ? 3?x1 ? x2 ? ? 3
由韦达定理得

x1 ? x2 ?

?

??

?

?

?

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? 3k 2 ? 2 6k 2 3k 2 ? 6 ? 4k 2 ? ? k2? ? ? ? ? . ⑦ ? k2 ?2 k2 ?2 k2 ?2 ? k2 ?2 ? ? 3k 2 ? 2 4k 2 2?k2 ? 2 ?0? 2 ? 0 ,矛盾! 由③、⑥、⑦,得 2 k ?2 k ?2 k ?2 故不存在过右焦点的直线 l ,同时满足条件(1) 、 (2) .同理,也不存在过左焦点的直线满足题意.
11、由已知:

? ai ? 1 ? ? ?ai ? 1? ,从而还有 ? ai ? 1 ? ? ?ai ? 1?
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n ?1

n ?1

以上两式相减,得 ?a n ?1 ? 1? (1)若数列中所有项均为 1,则

? ai ? an?1 ? 1 , 故 an?1 ? 1或? ai ? 1 . ①
i ?1 2003 i ?1

n

n

?a
i ?1

i

. ? i ? ? 1 ? i ? ? j ? 2005003
i ?1 j ?0

2003

2002

(2)若数列中所有项不均为 1,设 a1=a2=?am?1=1(m=1 时该式省去),am≠1. ①中,取 n=m, 有 am+1=1 或 a1a2?am?1am=1. 由前面所设,a1a2?am-1am=am ≠1∴am+1=1.设 am+k=am+k-1=?am+1=1, 则①中,取 n=m+k, 有 am+ k+1=1 或 a1a2?am+k=1,同理,只可能是 am+ k+1=1. 另外,由下式②可说明,当 am ≠1,n≥m 时,可以保证条件成立:

? ai ? am ? ai ? am ? ?am ? 1? ? 1 ? ? ?ai ? 1? ? 1 ? ? ?ai ? 1? .②
i ?1 1?i ? n i?m 1?i ? n i?m i ?1

m

n

当 m>2003 时,归为(1)的情形.
2003

若 1≤m≤2003,则

? ai ? i ? ? j ? am ? m ? 1 ? m ? ? j ? 0 ? 2002 ? 2003001.
i ?1 j ?0 j ?0

2002

2002

综上,当 a1=a2=?a2002=1,a2003=2003 时,取最小值,等于 2003001.

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