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高一文理分科考试试卷(数学)


高一文理分班考试数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共计 10 个小题.在给出的四个选项中只有一个是正确选项) 1.下列事件是随机事件的是 ① 当 x ? 10 时, lg x ? 1;
2

( ② 当 x ? R, x ? 1 ? 0 有解
2



③ 当 a ? R, 关于 x

的方程 x ? a ? 0 在实数集内有解;④当 sin ? ? sin ? 时, ? ? ? (A) ①② 2.已知集合 A ? {x | y ? (A) (B) ②③ (C) ③④ (D) ①④ ) ( x ? 1}, B ? {y | y ? x2 , x ? R} ,则 A ? B ? (B) [0, ??) (C) (D) [? 1,? ? ) [ 1 ?? ) , ( (C) an= )
2

?
2

3.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是 (A) an=n -(n-1) (B) an=n -1

n(n ? 1) 2

(D) an=

n(n ? 1) 2

4.已知集合 A ? ?1,3,5,7? , B ? ?4,8? 现从集合 A 中任取一个数为 a ,从 B 中任取一个数为 b , 则 b ? a 的概率 为( ) (A) 1 2 (B) 3 4 (C) 1 4 (D) 1 8

, ( ) 4 5. 设 偶 函 数 f ( x ) 对 任 意 的 x ? R , 都 有 f ( x ? 3 )? ? 1 , 且 当 x ? [ ?3, ? 2 ] f x ? x, 则 f (107.5) ? f ( x)
( ) (A)

10

(B)

1 10

(C)

?10

(D)

?

1 10

6.已知等差数列{an}满足 a5 ? a6 =28,则其前 10 项之和为 (A) 140
x

( (D) 56



(B) 280

(C) 168

7.设方程 2 ? x ? 0, log 2 x ? x ? 0, log 2 x ? (A) a ? b ? c 的取值范围是 (A) ( 0 ? ) , 6 环数 频 数 甲 乙 丙 (B)

a ? c? b

1 ? 0 的实根分别为 a, b, c ,则 ( x (C) b ? c ? a (D) b ? a ? c




2 2 2 8. ?ABC 三边 a, b, c 对应的角分别是 A,B,C. 若 c ? a ? b ? 2ab cos 2C ,则角 C



(B)

(0, ) 3

?

(C)

(

? ? , ) 6 4

(D)

(

? ? , ) 6 3

9.甲、乙、丙三名运动员在某次比赛中各射击 20 次,三人成绩如下表 6 4 3 8 7 4 16 4 8 4 1 8 9 4 0 0 10 4 0 0

分别表示甲、乙、丙三人这次射击成绩的标准差,则下列关系正确的是( ) s1 , s 2, s 3 (A) s2 ? s3 ? s1 (B) s1 ? s3 ? s2 (C) s1 ? s2 ? s3 (D) s2 ? s1 ? s3 10. 若 定 义 在 [?2012, 2012] 上 的 函 数 满 足 : 对 任 意 x1 , x2 ? [?2012, 2012] , 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2011 ,且当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 2011 成立.令 f ( x) 的最大 值和最小值分 别为 M,N,则 M+N 的值为 (A)2011 (B)2012 (C)4022 ( (D)4024 )

二、填空题(每小题 5 分,共计 5 个小题.将正确的答案写在答题卡相应的横线上) 11.已知 tan(? ? ? ) ? 3, tan(? ? ? ) ? 5 ,则 tan 2? 的值为
2 2

. .

12.已知 x,y 满足 | x | ? | y |? 4 ,则 z ? ( x ? 3) ? ( y ? 3) 的最小值是

13. | a |=5, | b |=3,| a ? b |=7,则 a, b 的夹角为__________. 14.设数列 ?an ? 的所有项和为 S ?1? ,第二项及以后所有项和为 S ? 2 ? ,第三项及以后所有项和为 S ? 3? , ? ,第 n 项及以后所有项和为 S ? n ? .若数列 {S ? n ?} 是首项为 15.对任意实数 x ,函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? 和为 ?

?

?

?

?

? ?

1 ,公比为 2 的等比数列,则 an = . 2 1 f ( x) ? f 2 ( x) ? ,设 an ? f 2 (n) ? f (n) ,数列 ?an ? 的前 15 项 2

31 ,则 f (15) ? 16

.

三、解答题(本大题共计 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+

? )+sin 2 x. 3

(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期.
1 C 1 (2) 设 A, B, C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB= ,f( )=- ,且 C 为锐角,求 sin A . 3 4 3

17. (本小题满分 12 分)在文理分科前,为了了解高一学生的数学成 绩情况,某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试,将所得数据 整理后,画出频率分布直方图(如图所示) ,图中从左到右各小长方 形面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为 12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若成绩在 110 分以上(含 110 分)为优秀,试 估计该学校全体高一学生的优秀率是多少? (3)在这次测试中,学生数学测试成绩的的中位数落 在哪个小组内?请说明理由.

18. (本小题满分 12 分) 某种商品原来定价每件 p 元,每月将卖出 n 件.假设定价上涨 x 成(这里 x 成即 将减少 y 成,而售货金额变成原来的 z 倍. (1) 设 y ? ax ,其中 a 是满足 (2) 若 y ?

x , 0 ? x ? 10 ),每月卖出数量 10

1 ? a ? 1 的常数,用 a 来表示当售货金额最大时 x 的值; 3

2 x ,求使售货金额比原来有所增加的 x 的取值范围. 3

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 1,1,2……它的各项由一个等比数列与一个首项为 0 的等差数列的对应项相加而得到.求该数列的 前 n 项和 Sn .

20. (本小题满分 13 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c( x ? R, a ? 0) (1) 若 a ? 0, c ? ?2 ,方程 f ( x) ? x 的两个实根 x1 , x2 满足 x1 ? (0,1), x2 ? (1, 2) ,求证: ?4 ? (2) 若函数 f ( x ) 的最小值为 0,且 a ? b ,求

a ? 2b ? 4c 的最小值. b?a

b ? ?1 ; a

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b( a, b? R) ,已知不等式 | f ( x) |? | 2x2 ? 4x ? 6 |对任意实数 x 均成立.定义数列

?an ?,?bn ? : a1 ? 3, 2an ?

(1) 求 a , b 的值;

1 f (an?1 ) ? 3(n ? 2), bn ? (n ? N * ) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn . 2 ? an n ?1 1 * (2) 求证: S n ? ( n ? N ); (3) 求证: an ? 22 ? 1(n ? N * ) 3

数学参考答案
一 选择题 1-10 CBCBB AABBC 二 填空题 11. ?

4 ; 7

12. 2 ;

13. 120°;

14. ?2

n? 2

;

15.

3 . 4

三 解答题 16 (1) f ( x) ?

1 3 3 ?1 ? sin 2 x, T ? ? , f ( x) max ? 2 2 2

……… 6 分

(2) f (

C 1 2 1 ? ) ? ? ? sin C ? ? C ? 3 4 3 2 4

?c o s ? B

1 ? 0 ? 3

s Bn i ?

2 2 3 4? 2 6
………12 分

? sin A ? sin[? ? ( B ? C )] ? sin( B ? C ) ?

17 (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为: 4 =0.08. 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3 又因为频率=

第二小组频数 第二小组频数 12 ,所以样本容量= = =150. ……… 4 分 第二小组频率 样本容量 0.08

(2)由图可估计该学校高一学生的优秀率约为
17 ? 15 ? 9 ? 3 ×100%=88%. 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

……… 8 分

(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之 和为 69,前四组的频数之和为 114,所以中位数落在第四小组内. ……… 12 分 18.(1)由题意知定价上涨 x 成时,上涨后的定价,每月卖出数量,每月售货金额分别是:

p(1 ?

x y? ? )元, n ?1 ? ? 件, npz元 10 ? 10 ? x ? y? ) n ?1 ? ? 10 ? 10 ?
……… 2 分

所以 npz ? p(1 ?

1 (10 ? x)(10 ? y ) 100 ? y ? ax ?z ?

1 5(1 ? a) 2 25(1 ? a) 2 [?a ( x ? ) ? 100 ? ] 100 a a 1 5(1 ? a) ? ? a ? 1? 0 ? ? 10 3 a ?z ?

……… 5 分

要使售货金额最大,此时 x ? (2)由题意

5(1 ? a ) a

……… 6 分

?y ?

2 x 3 1 2 ?z ? (10 ? x)(10 ? x) ? 1 100 3 ?0 ? x ? 5
……… 12 分

19. (1)记数列 1,1,2……为{An},其中等比数列为{an},公比为 q; 等差数列为{bn},公差为 d,则 An =an +bn (n∈N+) 依题意,b1 =0,∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A 2 =a 2 +b 2 =a 1 q+b 1 +d=1 ② A 3 =a 3 +b 3 =a 1 q2 +b 1 +2d=2 ③ 由①②③得 d=-1, q=2, ∴ an ? 2 n?1 , bn ? 1 ? n

………3 分

………6 分

? Sn ? A1 ? A2 ? … ? An ? a1 ? a2 ? … ? an ? b1 ? b2 ? … ? bn ? (1 ? 2 ? … ? 2n ?1 ) ? [(1 ? 1) ? (1 ? 2) ? … ? (1 ? n)] ? 2n ? 1 ? n(1 ? n) 2
……… 12 分 20.(1)由方程 f ( x) ? x ? ax ? (b ? 1) x ? 2 ? 0
2

……… 2 分

? a ? 0, 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2, 令g ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? 2 ? g (0) ? 0 ?a ? b ? 3 ? 0 ? ? ? g (1) ? 0 ? ? ? g (2) ? 0 ?2a ? b ? 2 ? 0 ?
由线性规划知识知: ?4 ? (2) 由于函数有最小值 0 ………4分

b ? ?1 a

……… 6 分

b2 ? a ?0 , 4 c ? b ? 0 ? 4c ? a a
2

………8 分

b2 b b b a ? 2b ? 1 ? 2 ? ( )2 (1 ? )2 a ? 2b ? 4c a ? a a ? a ? ? b b b?a b?a ?1 ?1 a a


……… 10 分

b ? 1 ? t ,? 0 ? a ? b,? t ? 0 a

?

a ? 2b ? 4c (t ? 2)2 4 ?? ?t? ?4?2 4?4?8 b?a t t

……… 12 分 ……… 13 分

当且仅当 t ? 2 时 “=”成立. 21 (1) ? f ( x) |?| 2 x2 ? 4 x ? 6 |? 2 | ( x ? 3)( x ? 2) | |

? f ( ?3 ) ? f ( 2 )? 0 a ? b , ? ? 3 ? 2
2 ? f ( x) ? x ? 2 x ? 3

……… 3 分

2 (2) 2an ? f (an?1 ) ? 3 ? an?1 ? 2an?1 ? an?1 (an?1 ? 2)(n ? 2)

?

a 1 ? n?1 an?1 ? 2 2an

……… 5 分

? bn ?

a 1 ? n 2 ? an 2an?1
1 1 ? 3 an ?1

?

a2n 2an a?1 n

an ? an 1 1 ? ?1 ? ? a?1 an an ?1n a n

……… 7 分

? Sn ?

2 ? 2an ? an?1 ? 2an?1 ? an ? 0

? Sn ?

1 1 1 ? ? 3 an ?1 3

………9 分

2 (3) ? 2an ? an?1 ? 2an?1 (n ? 2) ? (? an?1 ? 1)2 ? 2an ? 1 ? 2(an ? 1) …… 10 分 2 令cn ? an ? 1, c1 ? 4 ? 2cn ? cn?1 (n ? 2)

?1 ? log 2 cn ? 2log 2 cn?1 .令dn ? log 2 cn , d1 ? 2 ? dn ? 1 ? 2dn?1

? dn ? 1 ? 2(dn?1 ? 1) ? 22 (dn?2 ? 1) ? ? ? 2n?1 (d1 ? 1) ? 2n?1 (n ? 2) … … 12 分

? dn ? 2n?1 ? 1 ? 2n?1 ? cn ? 2dn ? 22 ? an ? cn ? 1 ? 22
n ?1

n ?1

?1
1?1

………13 分

当 n=1 时, a1 ? 3 ? 22

?1 ? 1
……… 14 分

? an ? cn ? 1 ? 22

n ?1

? 1(n ? N * )


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