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14数学全国教师13(理)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十三)
第十三单元 立体几何初步
150 分) (120 分钟

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 A

.充分不必要条件 C.充要条件
答案:A

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

解析:若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立.

2.如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径,则圆柱与球的表面积之比为 A.3∶ 2
答案:A

B.3∶ 1
2

C.2∶ 1
2

D.2∶ 1

解析:设球的半径为 r,则 S 圆柱∶ S 球=(2πr +(2r)·2πr)∶ 4πr =3∶ 2.

3.α、β 是两个不重合的平面,a、b 是两条不同直线,在下列条件下,可判定 α⊥β 的是 A.a⊥α,a⊥β B.a?α,a⊥β C.a?α,b?β,a⊥b
答案:B

D.a?α,b⊥α,b∥β

解析:根据面面垂直的判定可知,B 项可以推出 α⊥β.

4.设平面 α∥平面 β,A∈α,B∈β,C 是 AB 的中点,当 A、B 分别在 α、β 内运动时,那么所有的 动点 C A.不共面 B.当且仅当 A、B 在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当 A、B 在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论 A、B 如何移动都共面
解析:根据平行平面的性质,不论 A、B 如何运动,动点 C 均在过 C 且与 α,β 都平行的平面上. 答案:D

5.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是

解析:依次还原几何体,可以得出 A,B,C 中的三视图是同一个三棱锥,摆放的位置不同而已,而 D 和 它们表示的不是同一个三棱锥. 答案:D

6.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1,则该三棱柱的体 积为 A. B.1 C.2D.4
解析:连结 A1C,∵ A1B1⊥A1C1,∴ A1B1⊥平面 A1C,∵ B1C⊥AC1,∴ A1C⊥AC1,即四边形 AA1C1C 是正方 形,∴ AA1=AC=1,则该三棱柱的体积 V= × 1× 2× 1=1. 答案:B
1 2 1 2

7.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 是 AB 的三等分点,G、H 是 CD 的三等分点,M、 N 分别是 BC、EH 的中点,则四棱锥 A1—FMGN 的侧视图为

解析:侧视图即为光线自物体的左侧向右侧投影所得的投影图,点 A1、F、M、N 的投影分别为点 D1、G、C、H,故该物体的侧视图为选项 C 所示. 答案:C

8.在直二面角 α—l—β 中,直线 a?α,直线 b?β,a,b 与 l 斜交,则 A.a 不和 b 垂直,但可能 a∥b B.a 可能和 b 垂直,也可能 a∥b C.a 不和 b 平行,但可能 a⊥b D.a 不和 b 垂直,也不和 b 平行

解析:若 a∥b,则 a∥β,于是 a∥l 与已知矛盾;若 a⊥b,在 β 内做直线 m⊥l,则 m⊥α,于是 a⊥m,b,m 不平行,所 以 a⊥β,则 a⊥l 与已知矛盾,故 a 不平行 b 也不垂直 b. 答案:D

9.设有一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.4+
π 2

B.4+

3π 2

C.4+ 2



D.4+π

解析:该三视图的实物图有三部分组成,上半部分为底面半径为 1 高为 2 的圆柱,下半部分由底面半 径为 1 高为 1 的圆柱的一半及边长为 2、2、1 的长方体组合而成,故其体积为 4+ 答案:C
5π . 2

10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 A.πa2
解析:

B.3πa2 C. 3 πa2 D.5πa2

7

11

由题设条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱, 根据对称性可知,外接球的球心为上、下两底中心 O1、O2 连线的中点 O,如图所示. 在 Rt△AO1O 中,AO1= × OA2=R2=(
2 3 3a 3a = ,OO1= , 2 3 2

3a 2 2 72 ) +( ) = , 3 2 12 72 7π2 = . 12 3

S 球=4πR2=4π× 答案:B

11.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面 AC,且 PA=1.若 BC 边上存在两个点 Q 使 得 PQ⊥DQ.则 a 的取值范围是

A.(1,+∞)

B.[1,2) C.(2,+∞)

D.[2,4]

解析:如图所示,若 PQ⊥DQ,则有 DQ⊥平面 PAQ,所以 AQ⊥DQ,则“BC 边上存在两个点 Q 使得 PQ⊥DQ”就转化为“BC 边上存在两个点 Q 使得 AQ⊥DQ”,即以 AD 为直径的圆与边 BC 有两个交点,所以
>1,即 a>2. 2

答案:C

12.如图所示,在直角梯形 BCEF 中,∠CBF=∠BCE=90° ,A、D 分别是 BF、CE 上的 点,AD∥BC,且 AB=DE=2BC=2AF(如图 1).将四边形 ADEF 沿 AD 折起,连结 BE、BF、 CE(如图 2).在折起的过程中,下列说法中错误的是

A.AC∥平面 BEF B.B、C、E、F 四点不可能共面 C.若 EF⊥CF,则平面 ADEF⊥平面 ABCD D.平面 BCE 与平面 BEF 可能垂直
解析:在图 2 中取 AC 的中点为 O,取 BE 的中点为 M,连结 MO,易证得四边形 AOMF 为平行四边形, 即 AC∥FM,∴ AC∥平面 BEF,故 A 正确;∵ 直线 BF 与 CE 为异面直线,∴ B、C、E、F 四点不可能共面,故 B 正确;在梯形 ADEF 中,易得 EF⊥FD,又 EF⊥CF,∴ EF⊥平面 CDF,即有 CD⊥EF,∴ CD⊥平面 ADEF,则平面 ADEF⊥平面 ABCD,故 C 正确;延长 AF 至 G 使得 AF=FG,连结 BG、EG,易得平面 BCE⊥平面 ABF,过 F 作 FN⊥BG 于 N,则 FN⊥平面 BCE.若平面 BCE⊥平面 BEF,则过 F 作直线与平面 BCE 垂直,其垂足在 BE 上,矛盾,故 D 错误. 答案:D

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.一个棱台被平行于底面的平面所截,若上底底面面积、截面面积与下底底面面积之比 为 4∶ 9∶ 16,则此棱台的侧棱被分成上下两部分之比为 .
解析:根据还台于锥的办法可得,此棱台的侧棱被分成上下两部分之比为 1∶ 1.

答案:1∶ 1

14.已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,若 ① m∥n,n∥α;② m⊥n,n⊥α;③ m?α,m∥β,α∥β;④ m⊥β,α⊥β,则其中能使 m∥α 成立的充分条件有 (填序号).
解析:① m∥n,n∥α,不能推得 m∥α,这是因为 m 可能在平面 α 内;② m⊥n,n⊥α,不能推得 m∥α,这是因为 m 可能在平面 α 内;③ m?α,m∥β,α∥β,能推得 m∥α;④ m⊥β,α⊥β,不能推得 m∥α,这是因为 m 可能在平面 α 内. 答案:③

15.已知在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P、Q、R 分别是表面 A1B1C1D1、 BCC1B1、ABB1A1 的中心,给出下列四个结论: ① PR 与 BQ 是异面直线; ② RQ⊥平面 BCC1B1; ③ 平面 PQR∥平面 D1AC; ④ 过 P、Q、R 的平面截该正方体所得的截面是边长为 2的等边三角形. 以上结论中正确的是
解析:据图可知③ ④ 正确. 答案:③ ④

.(写出所有正确结论的序号)

16.如图所示,在直角梯形 ABCD 中,AD⊥AB 且 AB=7,AD=3,CD=4,DE=3,若沿 AE 折起,使 得平面 ADE⊥平面 ABCE,则四棱锥 D—ABCE 的外接球的体积为 .

解析:因为平面 ADE⊥平面 ABCE 且△ADE 为直角三角形,所以四边形 ABCE 的外接圆的圆心即为 四棱锥 D—ABCE 的外接球的球心,在△ABC 中,AB=7,BC=3 2,AC=5,∠ABC= ,由正弦定理得四边形 ABCE 的外接圆的直径为 为
125 2 π. 3 5 = =5 sin∠ sin∠ π 4

2,即得四棱锥 D—ABCE 的外接球的半径为

5 2 ,其体积 2

答案:

125 2 π 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧面 ABB1A1,ACC1A1 均为正方 形,∠BAC=90° ,AB=2,点 D1、D 分别是棱 B1C1、BC 的中点. (1)求证:A1D1⊥平面 BB1C1C; (2)求证:AB1∥平面 CA1D1.
解析:(1)由已知得 AA1⊥平面 A1B1C1, ∴ 侧面 BCC1B1⊥平面 A1B1C1,又 A1B1=A1C1,∴ A1D1⊥B1C1, ∴ A1D1⊥平面 BB1C1C,5 分 (2)∵ D1、D 分别是棱 B1C1、BC 的中点,∴ B1D∥CD1,∴ CD1∥平面 AB1D. 又 ADD1A1 为矩形,∴ A1D1∥AD,∴ A1D1∥平面 AB1D. ∵ AD∩DB1=D,∴ 平面 CA1D1∥平面 ADB1. 又 AB1?平面 AB1D,∴ AB1∥平面 CA1D1.10 分

18.(本小题满分 12 分)

如图所示,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AB=2,E,F,G 分别为 PC、PD、BC 的中点. (1)求证:PA∥平面 EFG; (2)求三棱锥 P—EFG 的体积.
解析:(1)∵ E,F 分别为 PC,PD 的中点,∴ EF∥CD. ∵ ABCD 为正方形,∴ CD∥AB, ∴ EF∥AB, ∵ E,G 分别是 PC,BC 的中点, ∴ EG∥PB, ∴ 平面 EFG∥平面 PAB. ∵ PA?平面 PAB, ∴ PA∥平面 EFG.6 分 (2)∵ PD⊥平面 ABCD,GC?平面 ABCD,∴ GC⊥PD. ∵ ABCD 为正方形,∴ GC⊥CD. ∵ PD∩CD=D,∴ GC⊥平面 PCD. ∵ PF= PD=1,EF= CD=1,∴ S△PEF= EF× PF= .
1 2 1 2 1 2 1 2

∵ GC= BC=1, ∴ VP—EFG=VG—PEF= S△PEF·GC= × × 1= .12 分
1 3 1 1 3 2 1 6

1 2

19.(本小题满分 12 分)

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE. (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.
解析:(1)∵ 多面体 ABCD—A1B1C1D1 为正方体, ∴ B1C1⊥平面 ABB1A1; ∵ A1B?平面 ABB1A1,∴ B1C1⊥A1B. 又∵ A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,∴ A1B⊥平面 ADC1B1, ∵ A1B?平面 A1BE,∴ 平面 ADC1B1⊥平面 A1BE.5 分 (2)当点 F 为 C1D1 中点时,可使 B1F∥平面 A1BE. 以下证明之: 易知 EF∥C1 ,且 EF= C1D, 设 AB1∩A1B=O,则 B1O∥C1D 且 B1O= C1D, 所以 EF∥B1O 且 EF=B1O, 所以四边形 B1OEF 为平行四边形.所以 B1F∥OE. 又因为 B1F?平面 A1BE,OE?平面 A1BE. 所以 B1F∥平面 A1BE.12 分
1 2 1 2

20.(本小题满分 12 分) 一个多面体的三视图和直观图分别如图所示,其中 M,N 分别是 AB,AC 的中点,G 是 DF 上的一动点. (1)求证:GN⊥AC; (2)当 FG=GD 时,在边 AD 上是否存在一点 P,使得 GP∥平面 FMC?

解析:(1)如图所示,由三视图可得直观图为一个横放的侧棱垂直于底面的三棱柱,且在底面 ADF 中,AD⊥DF,DF=AD=DC,连接 DB. 可知 B,N,D 共线,且 AC⊥DN, 又 FD⊥AD,FD⊥CD,且 AD∩CD=D, 所以 FD⊥平面 ABCD,所以 FD⊥AC. 又 FD∩DN=D,所以 AC⊥平面 FDN. 所以 GN⊥AC.6 分 (2)当 FG=GD 时,在边 AD 上存在一点 P,使得 GP∥平面 FMC,此时 A,P 重合. 证明如下:取 DC 中点 S,连接 AS,GS,GA. 因为 G 是 DF 的中点,所以 GS∥FC,AS∥CM. 又 GS∩AS=S,FC∩CM=C,所以平面 GSA∥平面 FMC. 又 GA?平面 GSA,所以 GA∥平面 FMC,即 GP∥平面 FMC.12 分

21.(本小题满分 12 分)

如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90° ,AC=2a,D、E 分别为 AC、AB 的中点,沿 DE 将△ADE 折起,得到如图所示的四棱锥 A'—BCDE. (1)在棱 A'B 上找一点 F,使 EF∥平面 A'CD; (2)求四棱锥 A'—BCDE 体积的最大值.

解析:(1)F 为棱 A'B 的中点.证明如下: 取 A'C 的中点 G,连结 DG,EF,GF,则由中位线定理得 DE∥BC,DE= BC,且 GF∥BC,GF= BC, 所以 DE∥GF,DE=GF,从而四边形 DEFG 是平行四边形,EF∥DG. 又 EF?平面 A'CD,DG?平面 A'CD, 故 F 为棱 A'B 的中点时,EF∥平面 A'CD. 6 分 (2)在平面 A'CD 内作 A'H⊥CD 于点 H,
1 2 1 2

⊥ ', ?DE⊥平面 A'CD?A'H⊥DE. ⊥ , '? =
又 DE∩CD=D,∴ A'H⊥底面 BCDE,即 A'H 就是四棱锥 A'—BCDE 的高. 由 A'H≤AD 知,点 H 和 D 重合时,四棱锥 A'—BCDE 的体积取最大值. 此时 V 四棱锥 A'—BCDE= S 梯形 BCDE·AD= × (a+2a)a·a= a3, 故四棱锥 A'—BCDE 体积的最大值为 a3. 12 分
1 2 1 3 1 1 3 2 1 2

22.(本小题满分 12 分)

一个多面体如图,ABCD 是边长为 a 的正方形,AB=FB,FB⊥平面 ABCD,ED∥FB,G,H 分别 为 AE,CE 中点. (1)求证:GH∥平面 ACF; (2)当平面 ACE⊥平面 ACF 时,求 DE 的长.

解析:(1)如图,连结 AC.在△ACE 中,

∵ G,H 分别为 AE,CE 中点,∴ GH∥AC, 又 AC?平面 ACF,且 GH?平面 ACF. 所以 GH∥平面 ACF.5 分

(2)如图,连结 DB,交 AC 于 O,连结 EO,FO, ∵ ABCD 是正方形,FB⊥平面 ABCD,ED∥FB, ∴ Rt△ADE≌Rt△CDE,得 AE=CE,EO⊥AC, ∵ EO?平面 ACE,AC?平面 ACF,AC∩OF=O, ∴ 只要 EO⊥FO,就有平面 ACE⊥平面 ACF, 设 DE 的长为 x,在 Rt△ODE 中,OE2=x2+ a2, 在 Rt△OBF 中,OF2=a2+ a2= a2, EF2=2a2+(a-x)2, EF2=OE2+OF2,解得 x= a, 即平面 ACE⊥平面 ACF 时,DE 的长为 a.12 分
1 2 1 2 1 2 3 2 1 2


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